Dedekind-osasto

Dedekind-lohko on yksi tavoista rakentaa reaalilukuja rationaalisista luvuista [1] .

Reaalilukujen joukko määritellään Dedekind-osien joukoksi . Niillä on mahdollista jatkaa yhteen- ja kertolaskuoperaatioita .

Historia

Richard Dedekind [2] [3] esitteli menetelmän vuonna 1872 .

Samanlainen rakenne geometrisille suureille on implisiittisesti läsnä Euklidin elementeissä , nimittäin V-kirjassa määritelmä 5 kuuluu seuraavasti:

He sanovat, että suuret ovat samassa suhteessa ensimmäisen ja toisen ja kolmannen ja neljännen välillä, jos ensimmäisen ja kolmannen yhtä suuret kerrannaiset ovat samanaikaisesti suurempia, samanaikaisesti yhtä suuria tai samanaikaisesti pienempiä kuin toisen ja neljännen yhtä suuret kerrannaiset , kukin mille tahansa monikerroksiselle, jos otamme ne sopivassa järjestyksessä (9, 10, 11, 12). [4] .

Samanlaisia ajatuksia julkaisi vuonna 1849 ranskalainen matemaatikko Joseph Bertrand [5] .

Määritelmä

Dedekind-osio on rationaalisten lukujen joukon osio kahdeksi osajoukoksi (alempi tai vasen) ja (ylempi tai oikea) siten, että [6] : $\mathbb {Q}$ $A$ $B$

$a<b$ mille tahansa ja $a\in A$ $b\in B$
$B$ siinä ei ole pienintä elementtiä.

Lisäksi Dedekind-osio on merkitty (vaikka riittäisi osoittamaan yksi näistä joukoista, toinen täydentää sitä ). $(A, B)$ $\mathbb {Q}$

Jos joukolla on suurin alkio, niin Dedekind-osio voidaan tunnistaa tällä rationaaliluvulla. Muussa tapauksessa leikkaus määrittää irrationaalisen luvun , joka on suurempi kuin kaikki joukon luvut ja pienempi kuin kaikki joukon luvut . Kun olet määritellyt aritmeettiset operaatiot ja järjestyksen saadulle osien joukolle , saamme reaalilukujen kentän , ja jokainen osa määrittää yhden ja vain yhden reaaliluvun. $A$ $A$ $B$

Esimerkki

Reaaliluku vastaa Dedekind-osiota, jolle [7] : ${\sqrt {2}}$

paljon

A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<0\tai x^{2}<2\}.

paljon

B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\};

Intuitiivisesti voidaan kuvitella, että määrittääksemme , jaamme joukon kahteen osaan: kaikki numerot vasemmalla puolella ja kaikki numerot oikealla ; vastaavasti on yhtä suuri kuin joukon pienin alaraja . ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $B$

Dedekind-osien tilaaminen

Otetaan käyttöön järjestys osien joukkoon. Ensin määritetään, että kaksi osaa ja ovat yhtä suuret, jos (niin ja ). Määritä seuraavaksi [8] : $(A, B)$ ${\näyttötyyli (C,D)}$ $A=C$ $B=D$

{\näyttötyyli (A,B)<(C,D)}

, jos ja samaan aikaan

A\subset C

A\neq C.

On helppo tarkistaa, että kaikki lineaarisen järjestyksen vaatimukset täyttyvät. Lisäksi rationaalisten lukujen uusi järjestys on sama kuin vanha.

Tästä järjestyksen määritelmästä seuraa:

Approksimaatiolause . Mikä tahansa reaaliluku voidaan approksimoida rationaalisilla luvuilla millä tahansa tarkkuudella, eli se voidaan sulkea väliin, jossa on mielivaltaisen pienen pituisia rationaalisia rajoja [9] .

Dedekind-osien aritmetiikka

Aritmeettisten operaatioiden määrittämiseen osien avulla voidaan käyttää edellisessä osiossa muotoiltua approksimaatiolausetta.

Olkoon todellisia lukuja. Approksimaatiolauseen mukaan voidaan määrittää approksimaatiovälit, joilla on rationaaliset rajat: $\alpha ,\beta$

a_{1}<\alpha <a_{2}\quad b_{1}<\beta <b_{2}.

Tällöin summa [10] on reaaliluku, joka sisältyy muodon kaikkiin intervalleihin. Reaalilukujen summa on aina olemassa, on yksiselitteisesti määritelty ja rationaalisille luvuille vastaa edellistä summan määritelmää. Vähennys on aina mahdollista, joten näin määritellyn summausoperaation suhteen reaaliluvut muodostavat summausryhmän . $\alpha +\beta$ ${\näyttötyyli (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}).}$

Vastaavasti määritellään reaalilukujen kertolasku, joka yhdessä summauksen kanssa muuttaa reaalilukujoukon järjestykseen [11] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Katso myös: Dedekind-McNeilin viimeistely

Dedekind-osuudet voidaan määrittää samalla tavalla rationaalilukujen lisäksi myös missä tahansa muussa lineaarisesti järjestetyssä joukossa . Katso Täydellisyys (järjestysteoria) . Voidaan osoittaa, että tämän menettelyn soveltaminen reaalilukujen joukkoon antaa jälleen $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

Surrealististen lukujen muodostamiseen käytetään Dedekind-osien analogia [12] .

Katso myös

Rakentavia tapoja määrittää reaaliluku

Muistiinpanot

↑ Encyclopedia of Mathematics, 1979 .
↑ Richard Dedekind . Stetigkeit und irrationale Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. ( verkossa ).
↑ Richard Dedekind. Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut = Stetigkeit und irrationale Zahlen / per. hänen kanssaan. S. O. Shatunovsky . - 4. - Matesis , 1923.
↑ Eukleideen alku . Käännös kreikasta ja D. D. Mordukhai-Boltovskin kommentit , toimituksellisesti I. N. Veselovski ja M. Ya. Vygodsky . M.-L.: GTTI, 1949-1951. Books I-VI osoitteessa www.math.ru Arkistoitu 6. lokakuuta 2015 Wayback Machinessa tai osoitteessa mccme.ru Arkistoitu 11. elokuuta 2011 Wayback Machinessa ; Kirjat VII-X osoitteessa www.math.ru Arkistoitu 6. lokakuuta 2015 Wayback Machinessa tai osoitteessa mccme.ru Arkistoitu 18. syyskuuta 2011 Wayback Machinessa ; Kirjat XI-XIV osoitteessa www.math.ru Arkistoitu 6. lokakuuta 2015 Wayback Machinessa tai osoitteessa mccme.ru Arkistoitu 20. syyskuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ Bertrand, Joseph. Traité d'arithmétique . - 1849. - "Suurtamaton luku voidaan määritellä yksinkertaisesti osoittamalla, kuinka sen ilmaisema suuruus voidaan muodostaa yksikön avulla. Seuraavassa oletetaan, että tämä määritelmä koostuu osoituksesta, mitkä vertailukelpoiset luvut ovat pienempiä tai suurempia kuin annettu. Arkistoitu 17. tammikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 17-18.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 18, 36.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 19-21.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 22-24.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 28-31.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 31-34.
↑ Katso Conwayn luento, noin 0:16:30 - 0:19:30 . Haettu 11. lokakuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 9. marraskuuta 2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Kudryavtsev L. D. Dedekind-osio // Matemaattinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1979. - T. 2: D - Koo. - S. 65. - 1104 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - Toim. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - 680 s.