Rakentavia tapoja määrittää reaaliluku

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Konstruktiivinen lähestymistapa reaaliluvun määritelmään rakentaa reaalilukuja rationaalisten lukujen perusteella , joita pidetään annetuina. Kaikissa kolmessa seuraavassa menetelmässä rationaaliluvut otetaan perustana ja luodaan uusia objekteja, joita kutsutaan irrationaalisiksi luvuiksi . Sen seurauksena, että he ovat saaneet päätökseen rationaalilukujoukon, saamme joukon reaalilukuja.

Cantorin perussekvenssien teoria

Alla kuvattua lähestymistapaa reaalilukujen määrittelyyn ehdotti G. Kantor vuonna 1872 julkaistussa artikkelissa [1] . Samanlaisia ajatuksia esittivät E. Heine ja S. Mere .

Cauchyn konvergenssikriteeri ja sen käyttö Cantorissa

Cantorin teorian lähtökohtana oli seuraava ajatus [2] . Mikä tahansa reaaliluku voidaan antaa rationaalisten lukujen sarjalla

a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots

edustavat tämän todellisen luvun likiarvoja kasvavalla tarkkuudella, toisin sanoen konvergoimalla tähän numeroon.

Ymmärretään nyt reaaliluku joksikin objektiksi , jonka määrittelee konvergentti rationaalisten lukujen sarja . $\alpha$ $a_{1},a_{2},\ldots$

Tässä piilee kuitenkin noidankehä . Konvergentin sekvenssin määrittelyssä on mukana reaaliluku, joka on sen raja - juuri se käsite, jonka haluamme määritellä konvergenttien sekvenssien avulla:

$\{a_{n}\}$ konvergoi olemassa , niin että $\Pitkävasenoikeanuoli$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\alpha$

Jotta noidankehä ei muodostuisi, on oltava jokin merkki, jonka avulla voit ilmaista sekvenssin konvergenssin edellytyksen sen jäsenten suhteen, toisin sanoen puhumatta sekvenssin rajan merkityksestä .

Cantorin aikaan tällainen kriteeri oli jo löydetty. Sen perusti yleisessä muodossa ranskalainen matemaatikko O. Cauchy [3] . Cauchyn kriteerin mukaan sekvenssi konvergoi silloin ja vain jos $a_{1},a_{2},\ldots$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{{n+m}}-a_{n}| <\varepsilon

Kuvannollisesti sanoen sekvenssin konvergenssin ehto Cauchyn kriteerissä on, että sen jäsenet tietystä määrästä alkaen ovat mielivaltaisen lähellä toisiaan.

Tietenkin Cauchy ei kyennyt antamaan mitään tiukkaa perustetta tälle kriteerille, koska todellisen luvun teoria puuttui.

Kantor käänsi tietyssä mielessä kaiken ylösalaisin. Hän kiinnitti huomion siihen, että tämä merkki itsessään luonnehtii konvergentin sekvenssin sisäisiä ominaisuuksia : se voidaan muotoilla ja tarkistaa puhumatta itse reaaliluvusta, joka on tämän sekvenssin raja. Ja siksi tätä ominaisuutta voidaan käyttää korostamaan sarjaluokkaa, jolla reaaliluvut voidaan määrittää .

Näin ollen tärkein vaihe, jonka Cantor ottaa rakentaessaan reaaliluvun teoriaa, on se, että hän pitää minkä tahansa rationaalilukusarjan , joka täyttää Cauchyn ehdon, määrittelevän jonkin (rationaalisen tai irrationaalisen) reaaliluvun. $a_{1},a_{2},\ldots$

Kun puhun numeerisesta suuresta yleistetyssä mielessä, tämä tapahtuu ensisijaisesti siinä tapauksessa, että ehdotetaan ääretöntä rationaalisten lukujen sarjaa.

a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots

jonka jokin laki antaa ja jolla on ominaisuus, että ero tulee äärettömän pieneksi kuin , mikä tahansa positiivinen kokonaisluku , tai toisin sanoen, että mielivaltaisesti valitulle (positiiviselle rationaaliselle) kokonaisluvulle on olemassa sellainen, että , ja on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. $a_{{n+m}}-a_{n}$ $n$ $m$ $\varepsilon$ $n$ $|a_{{n+m}}-a_{n}|<\varepsilon$ $m$ G. Kantor [1]

Nykyaikaisessa terminologiassa sekvenssiä, joka täyttää Cauchyn ehdon, kutsutaan Cauchyn sekvenssiksi tai perussekvenssiksi .

Reaalilukuteorian rakentaminen Cantorin mukaan

Kaksi perussekvenssiä ja voivat määrittää saman reaaliluvun. Tämä tapahtuu ehdolla $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon

Siten kaikkien rationaalisten lukujen perussekvenssien joukkoon muodostetaan ekvivalenssisuhde , ja yleisen periaatteen mukaisesti kaikki perussekvenssit jaetaan ekvivalenssiluokkiin . Tämän osion merkitys on sellainen, että saman luokan sekvenssit määrittävät saman reaaliluvun, kun taas eri luokkien sekvenssit määrittävät erilaisia. Siten reaalilukujen ja rationaalisten lukujen perussarjojen luokkien välillä on yksi yhteen vastaavuus.

Nyt voimme muotoilla Cantorin reaalilukuteorian päämääritelmän.

Määritelmä. Reaaliluku on rationaalisten lukujen perussarjojen ekvivalenssiluokka.

Reaaliluku (ekvivalenssiluokka), jonka määrittelee rationaalilukujen perussarja, on merkitty . $\{a_{n}\}$ $[a_{n}]$

Aritmeettiset operaatiot reaaliluvuilla esitellään seuraavasti. Jos kaksi todellista numeroa ja annetaan , Määritelty perustavanlaatuisia sarjoja ja , Niin että $\alpha$ $\beeta$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

$\alpha =[a_{n}]$ ja $\beta =[b_{n}]$

silloin summa on sekvenssin määrittelemä reaaliluku , eli tämän sekvenssin sisältävä ekvivalenssiluokka: $\alpha$ $\beeta$ $\{a_{n}+b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {{\text{def}}}{=}}[a_{n}+b_{n}]

On helppo tarkistaa, että tämä määritelmä on oikea, eli se ei riipu tiettyjen sekvenssien valinnasta luokasta ja luokasta . $\{a_{n}\}$ $\alpha$ $\{b_{n}\}$ $\beeta$

Reaalilukujen ero, tulo ja osamäärä määritellään samalla tavalla.

Reaaliluku on määritelmän mukaan suurempi kuin luku , eli jos $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alpha >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Tämä määritelmä ei riipu sekvenssien valinnasta luokasta ja luokasta . $\{a_{n}\}$ $\alpha$ $\{b_{n}\}$ $\beeta$

Rationaalilukujärjestelmä sisällytetään reaalilukujärjestelmään lisäsopimuksella, jonka mukaan sarja

a,a,\ldots a,\ldots

jonka kaikki jäsenet ovat yhtä suuria kuin sama rationaalinen luku määrittää tämän luvun itse, niin että . Toisin sanoen mikä tahansa luokka, joka sisältää stationaarisen sekvenssin, tunnistetaan numerolla . Siten rakennettu reaalilukujoukko on rationaalisten lukujen joukon laajennus. $a$ $[a]{\overset {{\text{def}}}{=}}a$ $[a]$ $a,a,\ldots a,\ldots$ $a$

Tämä päättää reaalilukujoukon rakentamisen. Lisäksi esitettyjen määritelmien perusteella voidaan todistaa reaalilukujen tunnetut ominaisuudet.

Reaalilukujoukon täydellisyys

Määritelmästä seuraa, että jokainen rationaalilukujen perussarja konvergoi johonkin reaalilukuun. Tämä periaate on reaaliluvun määritelmän taustalla. Hänen ansiostaan rationaalilukujen joukkoa täydennettiin uusilla elementeillä - irrationaalisilla luvuilla - rationaalilukujen perussarjojen rajoilla, joilla ei ollut rajaa vanhassa rationaalisten lukujen joukossa.

Herää luonnollinen kysymys, onko mahdollista suorittaa samanlainen täydennysmenettely uudelleen, jo konstruoidulle reaalilukujoukolle: muodostaa reaalilukujen perussarjoja ja täydentää reaalilukujoukko niiden rajoilla, joilla ei ollut. raja ennen.

Osoittautuu, että näin ei voi tehdä. Jokaisella reaalilukujen perussarjalla on raja reaalilukujen joukossa. Toisin sanoen reaalilukujoukko sisältää kaikkien sen elementtien perussekvenssien rajat. Tätä reaalilukujoukon ominaisuutta kutsutaan täydellisyydeksi . Ja juuri väite minkä tahansa reaalilukujen perussekvenssin konvergenssista on Cauchyn konvergenssikriteerin pääsisältö , joka on Cantorin teorian keskeinen lause.

F. Hausdorff käytti myöhemmin ajatusta täydentää rationaalilukujen joukko perussarjojen rajoilla, joita Cantor käytti "luomaan" irrationaalisia lukuja, ja käytti myöhemmin F. Hausdorff todistaessaan kuuluisan metrisen avaruuden täydennyslauseen .

Äärettömän desimaalin teoria

Äärettömän desimaalimurtoluvun teoria juontaa juurensa K. Weierstrassiin . Noin 1863 hän kehitti reaalilukujen teorian, joka julkaistiin hänen luentojensa muistiinpanoista vuonna 1872 [4] . Weierstrassin teorian alkuperäinen versio eroaa kuitenkin jonkin verran nykyaikaisissa matemaattisen analyysin oppikirjoissa esitetystä äärettömien desimaalilukujen teoriasta (katso Historiallinen kommentti alla ).

Rationaaliset luvut ja desimaalit

Kuten Cantorin teoriassa, oletamme, että rationaalilukujen joukko on annettu . Tiedetään, että mikä tahansa rationaalinen luku voidaan jakaa desimaaliluvuksi , jonka kirjoitamme muodossa: $\mathbb {Q}$ $p/q\in {\mathbb {Q}}$

p/q\sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Jos hajotusprosessi pysähtyy äärellisen askelmäärän jälkeen, desimaalimurtoluku on äärellinen , muuten se on ääretön .

Mitä tahansa desimaalilukua, äärellistä tai ääretöntä, voidaan pitää muodon muodollisena sarjana

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

jossa indeksi kulkee joko luonnollisen sarjan alkusegmentin tai vastaavasti koko luonnollisen sarjan läpi . Voidaan osoittaa, että sarja, joka saadaan laajentamalla rationaaliluku desimaaliluvuksi, suppenee aina ja sen summa on yhtä suuri kuin annettu rationaalinen luku. $k$ $0,1,\ldots ,n$ $0,1,2,\lpistettä$ $p/q$

Tärkeää jatkoesityksen kannalta on se, että jos rationaalilukua hajotettaessa saadaan ääretön desimaaliluku, niin tämä murtoluku on aina jaksollinen .

Näin ollen rationaalisten lukujen ja desimaalilukujen välillä on vastaavuus, jossa jokainen rationaalinen luku vastaa yhtä desimaalilukua, mutta joillekin murtoluvuille (eli äärettömälle ei-jaksollisille) ei ole niitä vastaavaa rationaalilukua. On luonnollista olettaa, että nämä murtoluvut vastaavat myös joitain hypoteettisia lukuja, jotka eivät ole rationaalisia. Ottamalla huomioon nämä hypoteettiset luvut, joita kutsumme irrationaalisiksi , näytämme täyttävän aukot kaikkien desimaalilukujen kokonaismäärässä.

Siten reaaliluvun teorian perusteella laitamme oletuksen (ajatuksen), että mikä tahansa desimaaliluku on jonkin, rationaalisen tai irrationaalisen, reaaliluvun laajennus : $\alpha$

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Samalla tulkitsemme tämän laajennuksen samalla tavalla kuin rationaalilukujen tapauksessa, eli katsomme, että reaaliluku on sarjan summa $\alpha$

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Äärettömän desimaaliluvun teorian rakentaminen

Määritelmä. Reaaliluku on ääretön desimaaliluku, eli muodon lauseke

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

jossa on yksi symboleista tai , jota kutsutaan numeromerkiksi, on ei-negatiivinen kokonaisluku, on desimaalien sarja (eli numeerisen joukon osia ). $\pm$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

Samanaikaisesti katsomme määritelmän mukaan, että murtoluvut ja edustavat samaa lukua, samoin kuin sama luku edustavat muodon ja murto-osia . Tämän sopimuksen merkitys on ilmeinen, koska näitä murtolukuja vastaavat rationaaliluvut ovat samat. [5] $+0,00\lpistettä$ $-0,00\lpistettä$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{n}999\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots (a_{n}+1)000\ldots ,\;(a_{n}\neq 9)$

On luonnollista heti olla samaa mieltä siitä, että jaksolliset äärettömät desimaaliluvut edustavat niitä vastaavia rationaalilukuja. Toisin sanoen tunnistamme jaksolliset murtoluvut rationaalisilla luvuilla. Tämän sopimuksen mukaan rationaalilukujen joukko on kaikkien reaalilukujen joukon osajoukko .

Alla on luonnos äärettömien desimaalilukujen teorian rakenteesta.

Ensin määritetään kaikkien äärettömien desimaalilukujen joukon järjestys. Tämä tehdään numeroiden peräkkäisen vertailun perusteella suurimmasta pienimpään. Esimerkiksi annetaan kaksi ei-negatiivista numeroa

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}

Antaa ja olla ensimmäiset ei-yhtenäiset merkit desimaalimuodossa ja . Sitten jos , niin määritelmän mukaan ja jos , niin . Kahden ei-negatiivisen luvun vertailun perusteella määritetään minkä tahansa kahden reaaliluvun vertailukelpoisuus. $a_n$ $b_n$ $\alpha$ $\beeta$ $a_{n}<b_{n}$ $\alpha <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alpha >\beta$

Voidaan osoittaa, että esitetty vertailurelaatio määrittelee lineaarisesti järjestetyn joukon rakenteen äärettömien desimaalilukujen joukossa . Voidaan myös osoittaa, että jaksollisille murtoluvuille muodostettu järjestyssuhde on sama kuin jo olemassa oleva rationaalisten lukujen vertailurelaatio. $<$

Kun järjestysrelaatio on otettu käyttöön äärettömien desimaalilukujen joukkoon, todistamme lauseen tarkasta ylärajasta , joka on perustavanlaatuinen reaaliluvun teorian rakentamiselle . Tämä lause ilmaisee sen tosiasian, että järjestetyllä reaalilukujen joukolla on jatkuvuuden (täydellisyyden) ominaisuus Dedekindin mukaan.

Nyt rationaalilukujen osajoukolle jo esitellyt aritmeettiset operaatiot laajennetaan jatkuvuuden avulla koko reaalilukujen joukkoon .

Nimittäin olkoon ja kaksi reaalilukua. Niiden summa on reaaliluku , joka täyttää seuraavan ehdon: $\alpha$ $\beeta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Voidaan osoittaa, että reaaliluku, joka täyttää tämän ehdon, on olemassa ja on ainutlaatuinen.

Lukujen kertolasku määritellään samalla tavalla . Kahden positiivisen reaaliluvun tulo ja sitä kutsutaan reaaliluvuksi , joka täyttää seuraavan ehdon: $\alpha$ $\beeta$ $\alpha \cdot \beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'>0)\land (b'>0)\land (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')

Kuten summauksen tapauksessa, tämän ehdon täyttävä numero on olemassa ja on ainutlaatuinen. Sen jälkeen on helppo määritellä kahden reaaliluvun kertolasku mielivaltaisilla etumerkeillä.

Voidaan todentaa, että reaalilukujen joukkoon esitettävät yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ovat yhtäpitäviä rationaalisten lukujen yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden kanssa.

Tämä päättää äärettömien desimaalilukujen teorian rakentamisen. Lisäksi esitettyjen määritelmien avulla voidaan todistaa aritmeettisiin operaatioihin ja vertailurelaatioon liittyvien reaalilukujen tunnetut ominaisuudet.

Lopuksi todetaan, että määrittämällä sekvenssin rajan ja reaalilukujen sarjan summan, voimme todistaa väitteen, joka julkaistiin, kun reaaliluvun käsite otettiin käyttöön. Nimittäin: mikä tahansa reaaliluku on sen desimaalilaajennuksen sarjan summa. Eli jos

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

sitten

$\alpha =\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

Historiallinen kommentti

Kuten edellä mainittiin, Weierstrass itse piti hieman erilaista rakennetta [4] [6] .

Yllä esitetty reaalilukuteoria voidaan määritellä lyhyesti muodon muodollisten sarjojen teoriaksi

$\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

jossa on ei-negatiivinen kokonaisluku ja ovat desimaaleja $a_{0}$ $a_{k},k=1,2,\ldots$

Weierstrass puolestaan piti muodollisia sarjoja yleisemmässä muodossa:

$\pm \sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}\cdot 1/n$

missä ovat mielivaltaisia ei-negatiivisia kokonaislukuja. $a_{n},n=1,2,\ldots$

Selvästikin tällaisessa konstruktiossa reaaliluku voidaan esittää äärettömän monella tavalla. Lisäksi on selvää, että kaikille tällaisille sarjoille ei voida antaa numeerista arvoa. Esimerkiksi rivi

$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}1/n$

poikkeaa.

Siksi Weierstrass ensinnäkin tarkastelee vain suppenevia sarjoja - hän määrittelee tällaiset sarjat sarjoiksi, joilla on rajalliset osasummat (katso ei-negatiivisten termien sarjan konvergenssikriteeri) ja toiseksi ottaa käyttöön ekvivalenssirelaation tähän joukkoon. Reaaliluku määritellään vastaavien konvergenttien sarjojen luokkaksi.

Tietenkin menetelmä todellisten lukujen määrittämiseksi desimaalimurtolukujen avulla, eli laajentamisen käyttäminen ei kaikissa alikvoottiosissa (eli muodon murto-osissa ), vaan vain kymmenen potenssissa , on kätevämpi, koska näin saavutetaan edustaa reaalilukua sarjan muodossa. Kuitenkin, jos palaamme yleiseen Weierstrass-menetelmään, niin Weierstrassin lähestymistavan ja Cantorin lähestymistavan välinen analogia tulee ilmeiseksi. Cantor määritteli reaaliluvun rationaalisten lukujen konvergenttien sekvenssien ekvivalenssiluokiksi ja käytti Cauchyn kriteeriä sekvenssin konvergenssin määrittämiseen. Weierstrass teki samoin, vain konvergenttien sijasta hän piti suppenevia sarjoja ja Cauchyn konvergenssikriteerin sijasta sekvenssin konvergenssikriteeriä sarjan konvergenssikriteeriä ei-negatiivisilla termeillä (muuten, vastine Lause monotonisen sekvenssin rajasta on nimetty Weierstrassin mukaan). $1/n$ $1/10^{k}$

Leikkausteoria rationaalilukujen alueella

Dedekindin teoria on yksinkertaisin ja historiallisesti ensimmäinen tiukka teoria reaaliluvusta. Toisin kuin Cantorin ja Weierstrassin analyyttiset lähestymistavat, Dedekindin teoria perustuu geometrisiin näkökohtiin; siksi sen näkyvyys.

Dedekindin teorian arvo piilee siinä, että se paljasti reaalilukujen muodostamisen lisäksi ensimmäisenä jatkuvuuden käsitteen matemaattisen olemuksen – käsitteen, joka on matemaattisen analyysin taustalla ja jota on käytetty vuosisatoja todisteisiin viitaten. tai geometriset näkökohdat.

Dedekindin vuonna 1858 rakennettu teoria julkaistiin vuonna 1872 pienessä pamfletissa nimeltä "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut" ( saksaksi "Stigkeit und irrationale Zahlen" ). Tähän päivään asti tämä kirja on yksi parhaista aiheen esityksen selkeyden ja saavutettavuuden suhteen. Tässä artikkelissa seuraamme pääasiassa Dedekindin itsensä ajatuskulkua.

Kysymyksen lausunto

Ymmärtääksemme Dedekindin aiheuttaman ongelman, kuvailkaamme yleisellä tasolla tuon ajan matemaattisen analyysin tilannetta.

Differentiaalilaskennan kulkua esitettäessä , joka suurimmaksi osaksi suoritettiin tiukoilla menetelmillä, jouduttiin vielä turvautumaan geometriseen selkeyteen joidenkin väitteiden todistamiseksi.

Esimerkiksi monotonisen sekvenssin rajaa koskevan lauseen todistamiseksi vedettiin suora viiva, jolle merkittiin sekvenssin jäseniä edustavat pisteet . Lisäksi lausuttiin seuraavanlaisia lauseita: "ilmeisesti" , on kohta , johon pisteet lähestyvät loputtomasti, tai "pitäisikö" olla sellainen piste, koska numeroviiva on "jatkuvasti täynnä pisteitä" . Lisäksi, koska jokin rationaalinen tai irrationaalinen luku vastaa mitä tahansa pistettä viivalla, niin pistettä vastaavalle luvulle meillä on: . $A_{n}$ $a_n$ $A$ $A_{n}$ $A$ $a$ $\lim a_{n}=a$

Usein sanotaan, että differentiaalilaskenta käsittelee jatkuvia suureita, mutta missään tätä jatkuvuutta ei ole annettu, ja jopa tiukimmassa differentiaalilaskennan esittelyssä todistukset eivät perustu jatkuvuuteen, vaan vetoavat enemmän tai vähemmän tietoisesti joko geometrisiin esityksiin tai esityksiin, jotka ovat peräisin geometriasta, tai lopuksi perustaa todistus väitteisiin, joita ei ole koskaan todistettu puhtaasti aritmeettisin keinoin.R. Dedekind, "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut"

Tarve ottaa mukaan geometrisia näkökohtia puhtaasti aritmeettisen (lukuihin perustuvan) ehdotuksen todistamiseksi aiheuttaa tietynlaisen tyytymättömyyden tunteen ja osoittaa "aritmeettisen perustelun puutteen" eli tiukan ja täydellisen teorian puuttumisesta. määrä. Mutta vaikka myönnämmekin geometrisen päättelyn mahdollisuuden, herää toinen kysymys: jatkuvuudesta itse suoran pisteiden suhteen. Ja kuten käy ilmi, suoran linjan jatkuvuuden käsitteeltä puuttuu tässä looginen määritelmä.

Tämän analyysin perusteella Dedekind asetti seuraavat kaksi tehtävää:

1. Etsi looginen muotoilu suoran viivan pääominaisuudelle, joka sisältyy visuaalisiin esityksiin "suorien viivojen jatkuvasta täytöstä" 2. Rakenna tiukka puhtaasti aritmeettinen lukuteoria niin, että ne lukujärjestelmän ominaisuudet, joiden perustelemiseksi he aiemmin turvautuivat visuaalisiin geometrisiin esityksiin, seuraavat nyt luvun yleisestä määritelmästä

Rationaalilukujen vertailu suoran pisteisiin

Dedekind lähtee joukosta rationaalilukuja, joiden ominaisuudet oletetaan tunnetuiksi. Hän vertaa rationaalilukujärjestelmää suoran pisteiden joukkoon paljastaakseen viimeksi mainitun ominaisuudet. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {L}}$

Rationaliluvut muodostavat joukon, jolle on annettu aritmeettiset yhteen- ja kertolaskuoperaatiot, joilla on tiettyjä ominaisuuksia. Mutta lisäesittelyn kannalta kokoelman lineaarinen järjestys on erittäin tärkeää : kahdelle eri numerolle , ja voimme sanoa, että toinen niistä on pienempi kuin toinen. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $a$ $b$

Pisteiden joukko suoralla on myös lineaarisesti järjestetty joukko. Kahden pisteen ja tässä välinen järjestyssuhde ilmaistaan siinä, että yksi piste sijaitsee toisen vasemmalla puolella . ${\mathbb {L}}$ $s$ $q$ $s$ $q$

Tätä rationaalilukujen ja suoran pisteiden välistä samankaltaisuutta voidaan kehittää luomalla vastaavuus niiden välille. Kuten tiedät, tätä varten valitaan tietty aloituspiste suoralle viivalle , tietty pituusyksikkö segmenttien mittaamiseen sekä positiivinen suunta . Jokaiselle , voit rakentaa vastaavan pituuden, ja siirtämällä sitä aloituspisteestä oikealle tai vasemmalle sen mukaan, onko luku positiivinen vai ei, saamme tietyn pisteen , joka vastaa rationaalilukua . $a\in {\mathbb {Q}}$ $a$ $p\in {\mathbb {L}}$ $a$

Siten jokainen rationaalinen luku voidaan liittää tiettyyn pisteeseen . Tässä tapauksessa eri numerot vastaavat eri pisteitä. Lisäksi, jos luku on pienempi kuin , kohtaa vastaava piste sijaitsee pistettä vastaavan pisteen vasemmalla puolella . Toisin sanoen vakiintunut suhde säilyttää järjestyksen. $a\in {\mathbb {Q}}$ $p\in {\mathbb {L}}$ $a$ $b$ $s$ $a$ $q$ $b$

Suoran linjan jatkuvuus

Samalla käy ilmi, että viivalla on äärettömän paljon pisteitä, jotka eivät vastaa mitään rationaalilukua. Tämä johtuu suhteettomien segmenttien olemassaolosta, joka oli muinaisten tiedossa (esimerkiksi neliön diagonaalin ja sivun yhteensopimattomuus, eli irrationaalisuus ). ${\mathbb {L}}$ ${\sqrt {2}}$

Kuvaannollisesti sanottuna suora on täytetty tiheämmin pisteillä kuin rationaalilukujen joukko on täynnä numeroita. Näemme, että rationaalisten lukujen joukossa on aukkoja , jotka vastaavat niitä suoran pisteitä, joille ei ollut vastaavaa rationaalilukua, kun taas sanomme suorasta, että se on " jatkuvasti täytetty pisteillä" . ${\mathbb {L}}$ $\mathbb {Q}$

Aiempi rationaalisten lukujen alueen vertailu suoran kanssa johti ensimmäiseen epätäydellisyyteen (Lückenhaftigkeit), epätäydellisyyteen tai epäjatkuvuuteen, kun taas suoran ansioksi katsomme täydellisyyden, aukkojen puuttumisen, jatkuvuuden.R. Dedekind, "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut"

Mitä tämä jatkuvuus oikein on? Miten tämä suoran ominaisuus voidaan ilmaista matemaattisesti ?

Dedekind tekee seuraavan havainnon. Jos viivalla on tietty piste, niin kaikki viivan pisteet jakautuvat kahteen luokkaan: vasemmalla sijaitsevat pisteet ja oikealla sijaitsevat pisteet ; itse piste voidaan määrittää mielivaltaisesti joko ensimmäiseen tai toiseen luokkaan. Suoralla viivalla oleville pisteille tapahtuu kuitenkin päinvastainen periaate: $s$ $s$ $s$ $s$

Jos suoran pisteet on jaettu kahteen luokkaan siten, että jokainen ensimmäisen luokan piste on jokaisen toisen luokan pisteen vasemmalla puolella, on yksi ja vain yksi piste, joka tuottaa tämän suoran jaon kahteen luokkaan, tämä on linjan leikkaus kahteen osaan.R. Dedekind, "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut"

Geometrisesti tämä väite näyttää ilmeiseltä, mutta emme pysty todistamaan sitä. Dedekind huomauttaa, että todellisuudessa tämä periaate ei ole muuta kuin postulaatti, joka ilmaisee suoran jatkuvuusominaisuuden olemuksen. Hyväksymällä sen annamme suoralle ominaisuuden, jota kutsumme sen jatkuvuudeksi.

Tämän suoran ominaisuuden hyväksyminen ei ole muuta kuin aksiooma, jonka avulla me yksin tunnistamme sen jatkuvuuden suoraksi, panostamme henkisesti jatkuvuuden suoraan linjaan.R. Dedekind, "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut"

Selvitetään Dedekind-periaatteen sisältö ja geometrinen tulkinta. Kuvittele, että kaikki viivan pisteet on värjätty kahdella värillä - vihreällä ja punaisella, niin että jokainen vihreä piste on kunkin punaisen pisteen vasemmalla puolella.

Geometrisesti on selvää , että viivalla täytyy olla sellainen piste, jossa värit tulevat kosketuksiin. Juuri tämä piste "jakaa viivan kahteen luokkaan": kaikki vihreät pisteet ovat sen vasemmalla puolella ja kaikki punaiset pisteet ovat oikealla. Tämä on Dedekindin periaate.

Samanaikaisesti itse "värien risteyksen" pisteen on myös oltava tietyn värinen, koska ehdon mukaan kaikki viivan pisteet maalataan poikkeuksetta. Tämän pisteen on oltava joko vihreä, tässä tapauksessa viimeinen vihreä piste, tai punainen, joka on ensimmäinen punainen piste. Kuten on helppo nähdä, nämä kaksi vaihtoehtoa sulkevat pois toisensa: ensimmäisessä tapauksessa ei ole ensimmäistä punaista pistettä - on punaisia pisteitä mielivaltaisesti lähellä risteystä, mutta ensimmäinen ei ole niiden joukossa, ja toisessa tapauksessa , samoista syistä ei ole viimeistä vihreää pistettä.

Kiinnitämme nyt huomiota siihen, mitä loogisia mahdollisuuksia , jotka voivat teoreettisesti tapahtua, olemme sulkeneet pois geometriseen selkeyteen vedoten. On helppo nähdä, että niitä on vain kaksi: ensinnäkin voi käydä niin, että sekä viimeinen vihreä että ensimmäinen punainen piste ovat olemassa samanaikaisesti; toiseksi, voi käydä niin, että ei ole viimeistä vihreää tai ensimmäistä punaista pistettä.

Ensimmäisen tilanteen sanotaan olevan hyppy . Tällainen kuva on mahdollinen suoralle, josta on jätetty pois kokonainen välipisteiden väli.

Termiä aukko käytetään kuvaamaan toista tilannetta . Tällainen kuva voi tapahtua suoralle, josta on poistettu koko segmentti, sen päät mukaan lukien - erityisesti jos yksittäinen piste on poistettu.

Siten linjan jatkuvuus tarkoittaa, että siinä ei ole hyppyjä tai aukkoja - lyhyesti sanottuna, ei ole tyhjiä paikkoja.

On huomattava, että yllä oleva jatkuvuuden määritelmä koskee mitä tahansa järjestettyä elementtijoukkoa.

Dedekind jatkuvuus

Tehdään nyt tarkka muotoilu Dedekindin jatkuvuudesta, joka soveltuu mielivaltaiseen lineaarisesti järjestetylle joukolle.

Määritelmä. Olkoon lineaarisesti järjestetty joukko. Järjestättyä joukkoparia ja kutsutaan jaksoksi , ja itse joukkoja kutsutaan vastaavasti annetun osan ala- ja yläluokiksi , jos seuraavat ehdot täyttyvät: ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$ ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$

1. Luokat eivät ole tyhjiä:

$A\neq \varnothing ,A'\neq \varnothing$

2. Jokainen elementti kuuluu vähintään yhteen luokista

{\mathsf {L}}

$A\cup A'={\mathsf {L}}$

3. Jokainen alemman luokan elementti on pienempi kuin mikään ylemmän luokan elementti :

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;(a<a')$

Merkitsemme osan . $A|A'$

Määritelmä. Lineaarisesti järjestettyä joukkoa kutsutaan jatkuvaksi (Dedekindin mukaan) , jos sen osa on mikä tahansa, tai osan alemmassa luokassa on suurin alkio, ja ylemmässä ei ole pienintä; tai ylemmässä luokassa on pienin elementti, ja alemmassa ei ole suurinta (tällaisia osia kutsutaan nimellä Dedekind ). ${\mathsf {L}}$

Harkitse esimerkkinä rationaalilukujen joukkoa. On helppo nähdä, että siinä ei voi olla hyppyjä: jos on alemman luokan maksimielementti, on ylemmän luokan minimielementti, niin keskellä oleva luku ei voi kuulua alempaan tai alaluokkaan. yläluokka, mikä on ristiriidassa osan määritelmän kanssa. $a$ $b$ $(a+b)/2$ $a$ $b$

Samaan aikaan rationaalisten lukujen joukossa on aukkoja - juuri niissä paikoissa, joissa irrationaalisten lukujen pitäisi olla. Tarkastellaan esimerkiksi joukkojen määrittelemää osaa $A|A'$

$A=\{x\in \mathbb {Q} :x\leq 0\lor (x>0\land x^{2}<2)\},A'=\{x\in \mathbb { Q} :x>0\land x^{2}>2\}$

On helppo nähdä, että tämä todellakin on osa, mutta alemmassa luokassa ei ole maksimielementtiä eikä ylemmässä luokassa minimielementtiä. Eli meillä on aukko.

Irrationaalisten lukujen rakentaminen

Näin ollen rationaalilukujen joukko, toisin kuin suora, ei ole jatkuva: siinä on aukkoja. Edellä olevan valossa käy selväksi, että jotta voidaan muodostaa joukko reaalilukuja, joiden alkiot liittyvät suoran pisteisiin, on tarpeen täyttää kaikki tyhjät paikat rationaalisten lukujen joukossa. numeroita.

Tyyppiavaruuden rationaalien joukon mille tahansa osalle lisäämme joukkoon uuden elementin (irrationaaliluvun) , joka määritelmän mukaan on suurempi kuin mikä tahansa luku alemmasta luokasta ja pienempi kuin mikä tahansa luku ylemmästä luokasta . Täten täytämme osioluokkien välisen tyhjän tilan. Sanomme, että leikkaus määrää irrationaaliluvun , tai muuten, että irrationaaliluku tuottaa leikkauksen . $A|A'$ $\mathbb {Q}$ $\alpha$ $a$ $a'$ $A|A'$ $\alpha$ $\alpha$ $A|A'$

Yhdistämällä kaikki mahdolliset tapaukset, voimme sanoa, että mikä tahansa leikkaus rationaalilukujen alueella määrittää jonkin rationaalisen tai irrationaalisen luvun, jonka tämä leikkaus tuottaa.

Määritelmä. Irrationaaliluku on mikä tahansa osa rationaalisten lukujen joukosta, jonka alemmassa luokassa ei ole suurinta alkiota ja ylemmässä luokassa ei ole pienintä.

Määritelmä. Reaalilukujen joukko on rationaalisten ja irrationaalisten lukujen joukkojen liitto. Reaalilukujoukon jokaista elementtiä kutsutaan reaaliluvuksi .

Reaalilukujen joukko, kuten on helppo nähdä, on järjestetty lineaarisesti käyttöönotetun järjestyssuhteen mukaisesti. Seuraava tosiasia on perustavanlaatuinen.

Lause. Reaalilukujen joukko on Dedekind jatkuva.

Tämä lause ei seuraa automaattisesti irrationaalisten lukujen määritelmästä, joka täytti rationaalisten lukujen joukossa olevat aukot. Se vaatii todisteita.

Yhteen- ja kertolaskuoperaatiot tuodaan todellisten lukujen joukkoon jatkuvuuden mukaan (kuten äärettömien desimaalilukujen teoriassa). Nimittäin kahden reaaliluvun summaa kutsutaan reaaliluvuksi , joka täyttää seuraavan ehdon: $\alpha$ $\beeta$ $\gamma$

$\forall a,a',b,b'\;(a\leqslant \alpha \leqslant a')\land (b\leqslant \beta \leqslant b')\Rightarrow (a+b\leqslant \gamma \leqslant a'+b')$

Reaalilukujen jatkuvuudesta seuraa, että tällainen reaaliluku on olemassa ja on ainutlaatuinen. Lisäksi, jos ja ovat rationaalilukuja, tämä määritelmä on yhdenmukainen kahden rationaaliluvun summan tavanomaisen määritelmän kanssa. Kertominen esitellään samalla tavalla ja operaatioiden ja järjestyssuhteiden ominaisuudet todistetaan. $\gamma$ $\alpha$ $\beeta$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Kantor G. Teoksia joukkoteoriasta / toim. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Juskevitš,. - M .: NAUKA, 1985. - S. 9-10. - (tieteen klassikot).
↑ Arnold I. V. Teoreettinen aritmetiikka. - S. 277.
↑ Itse asiassa Cauchy asetti kriteerin sarjan lähentymiselle, joka myös kantaa hänen nimeään, mutta jokaisesta näistä kahdesta kriteeristä seuraa helposti toinen.
↑ 1 2 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta. - S. 287-289.
↑ Joskus, jotta todellisten lukujen joukon ja äärettömien desimaalilukujen joukon välinen vastaavuus olisi yksi yhteen, he eivät pidä kaikkia, vaan vain hyväksyttäviä äärettömiä desimaalilukuja, ymmärtäen sellaisenaan kaikki ne, joilla ei ole jakso, joka koostuu yhdestä yhdeksästä ja johon myös murto-osa ei sisälly $-0,00\lpistettä$
↑ Rybnikov K. A. Matematiikan historia. - T. 2. - S. 197.

Kirjallisuus

Viitteet

Arnold V. I. Teoreettinen aritmetiikka. - M .: UCPHEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Esseitä matematiikan historiasta / käännös. ranskasta I. G. Bashmakova, toim. K. A. Rybnikova. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963.

Hilbert D. Geometrian perusteet = Grundlagen der Geometrie / per. I. S. Gradshteinin 7. saksankielisestä painoksesta, toim. P. K. Rashevsky. - M. - L .: Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta. — Per. ranskasta - M .: MIR, 1986. - 432 s.

Dedekind R. Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. tarkistettu painos. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. - 4. painos, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Matemaattisen analyysin perusteet: 2 tunnissa Osa I. - 7. painos - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Matematiikan historiaa muinaisista ajoista 1800-luvun alkuun. Kolmessa osassa / toim. Juskevitš. - M .: NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Työskentelee joukkoteorian parissa / toim. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Juskevitš,. - M . : TIETEET, 1985. - (Tieteen klassikot).

Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Reed K. Gilbert / käänn. englannista. I. V. Dolgachev, toim. R. V. Gamkrelidze. - M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Matematiikan historia. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Matemaattisen analyysin kurssi. - 3. painos, korjattu .. - M . : FIZMATLIT, 2001. - 672 s. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol'ts G.M. Matemaattisen analyysin perusteet. - 7. painos - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Suositeltu lukema

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta.
Matematiikan historiaa muinaisista ajoista 1800-luvun alkuun. Kolmessa osassa / toim. Juskevitš. - T. 1.
Arnold V. I. Teoreettinen aritmetiikka.
Dedekind R. Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut = Stetigkeit und irrationale Zahlen. – 44 s.
Fikhtengol'ts G.M. Matemaattisen analyysin perusteet.
Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Matemaattisen analyysin kurssi.
Ilyin V. A., Poznak E. G. Matemaattisen analyysin perusteet: 2 tunnissa. Osa I.

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion