Alefien hierarkia

Alefien hierarkia joukkoteoriassa ja matematiikassa yleensä on yleistettyjen ("kardinaali") lukujen järjestynyt järjestelmä, jota käytetään edustamaan äärettömien hyvin järjestellisten joukkojen tehoa (alkioiden lukumäärää) [1] . Äärellisen joukon kardinaalisuus on sen alkioiden lukumäärä, joten kardinaalilukujen hierarkia sisältää tavalliset luonnolliset luvut , jotka on järjestetty perinteisellä tavalla. Seuraavaksi hierarkiassa ovat äärettömät hyvin järjestetyt joukot, joiden kardinaalisuus (kardinaaliluku) on merkitty heprean aakkosten kirjaimella aleph (ℵ) indekseillä, ja itse indeksi voi olla ääretön järjestysluku . Suuremman kardinaalisuuden sarjat vastaavat suurempaa indeksin arvoa.

Ensimmäinen alefeista on luonnollisten lukujen joukon potenssi (" countable "), joka ilmaistaan symbolilla (lue: "aleph-zero"), jota seuraa (aleph-one) ja niin edelleen. $\aleph_0$ $\aleph_1$

Alefien hierarkiaa kuvasi saksalainen matemaatikko Georg Kantor artikkelissa "Transfiniittisten joukkojen opin perusteluista" (kahdessa osassa, 1895-1897) [2] .

Alef-merkintää ei pidä sekoittaa Wallisin ääretön symboliin ( ), joka esiintyy usein laskennassa ja muilla matematiikan aloilla. Wallis-symboli tarkoittaa joko funktion rajatonta lisäystä ( tarkoittaa rajatonta laskua) tai erityistä (" äärettömyydessä ") pistettä laajennetulla numeroviivalla tai kompleksitasolla , kun taas alefi on joukkojen kardinaalisuuden mitta. $\infty$ $-\infty$

Yleinen määritelmä ja ominaisuudet

Kuten edellä mainittiin, symboli tarkoittaa luonnollisen sarjan laskettavaa tehoa. Antaa olla jokin järjestysluku ; Tarkastellaan vastaavaa järjestyslukua Sitten symboli tarkoittaa [1] kaikkien järjestyslukujen joukon kardinaalisuutta, joka on pienempi kuin $\aleph_0$ $\alpha$ $\omega _{\alpha }.$ $\aleph _{\alpha }$ $\omega _{\alpha }.$

Jotkut ominaisuudet [3] .

Kaikki alefit ovat vertailukelpoisia keskenään, kahdesta alefista se, jolla on suurempi indeksi, on suurempi.
Jokainen kardinaaliluku on sama kuin yksi alefeista ( todistuksessa tarvitaan valinnan aksiooma ).
Oletus: tunnetaan jatkumohypoteesina . $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$
Kaikkien tiettyä pienempien alefien joukko on hyvin järjestetty, ja sen järjestystyyppi on yhtä suuri $\aleph _{\alpha },$ $\alpha.$
Kardinaaliluku tulee heti perässä, välipotensseja ei ole. ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1))$ $\aleph _{\alpha },$
Alefien joukossa ei ole suurinta alkuainetta. Alefien hierarkia ei muodosta joukkoa Zermelo-Fraenkelin aksiomaatiikan merkityksessä .

Esimerkkejä

Aleph zero

$\aleph_0$ (aleph-nolla) on luonnollisten lukujen joukon , ensimmäisen äärettömän kardinaalin, potenssi. Kaikkien äärellisten järjestyslukujen joukko on merkitty pienellä kreikkalaisella kirjaimella ( omega ), tai sillä on kardinaalisuus $\mathbb {N} ,$ $\omega$ $\omega _{0};$ $\aleph _{0}.$

Joukolla on teho silloin ja vain, jos se on laskettavissa , eli sen ja luonnollisten lukujen joukon välillä on yksi yhteen vastaavuus . Esimerkkejä tehosarjoista : $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\aleph_0$

kaikkien neliölukujen joukko, kaikkien kuutiolukujen joukko ;
parillisten lukujen joukko , kaikkien parittomien lukujen joukko;
kaikkien alkulukujen joukko, kaikkien yhdistelmälukujen joukko ;
kaikkien kokonaislukujen joukko ;
kaikkien rationaalilukujen joukko ;
kaikkien geometristen suureiden kokonaisuus, jotka voidaan rakentaa kompassilla ja viivaimella ;
kaikkien algebrallisten lukujen joukko ,
kaikkien laskettavien lukujen joukko ,
kaikkien määriteltävissä olevien lukujen joukko ;
kaikkien äärellisen pituisten binäärijonojen joukko ;
tietyn laskettavan joukon kaikkien äärellisten osajoukkojen joukko.

Äärettömät järjestysluvut :

{\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega \cdot 2,\omega ^{2},\omega ^{\omega ))

kaikki viittaavat laskettaviin joukkoihin [4] . Esimerkiksi seuraava sarja (järjestysluvulla ω 2), joka sisältää ensin kaikki positiiviset parittomat luvut ja sitten kaikki positiiviset parilliset luvut:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

kuvaa jotain järjestystä kardinaalisuuden positiivisten kokonaislukujen joukossa . $\aleph_0$

Jos valinnan aksiooma pätee , tai ainakin laskettavan valinnan aksiooma (heikompi), niin vähemmän kuin mikään muu ääretön kardinaali. $\aleph_0$

Aleph-one

$\aleph_1$ (aleph-one) on kaikkien laskettavien järjestyslukujen joukon kardinaalisuus , joka on merkitty (joskus ). Järjestysluku on suurempi kuin kaikki laskettavat järjestysluvut ja vastaa lukemattomia joukkoja. Siksi se ei ole sama kuin se ja on sitä suurempi. $\omega_{1}$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\omega_{1}$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Jos Zermelo-Fraenkel- aksiooma hyväksytään (jopa ilman valinnan aksioomaa ), ja välillä ei ole muita kardinaalilukuja . Valinnan aksiooman avulla voidaan osoittaa yksi joukon hyödyllisimmistä ominaisuuksista, millä tahansa laskettavalla osajoukolla on yläraja (tämä seuraa siitä tosiasiasta, että laskettavien joukkojen laskettava liitto on laskettava). Tämä tosiasia on analoginen tilanteen kanssa : jokaisella luonnollisten lukujen äärellisellä joukolla on maksimialkio, joka on myös luonnollinen luku, ja äärellisten joukkojen äärellinen liitto on äärellinen. $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\omega _{1}\colon$ $\omega_{1}$ $\omega_{1}$ $\aleph_0$

Jos hyväksymme jatkumohypoteesin , niin se osuu yhteen reaalilukukentän potenssin ( jatkumo ) kanssa. Jos jatkumohypoteesi on virheellinen, jatkumo vastaa yhtä kaukaisimmista alefeista. $\aleph_1$

Alefien aritmetiikka

Georg Cantor määritteli tavallista aritmetiikkaa muistuttavia operaatioita mille tahansa kardinaaliluvulle. Niiden ominaisuudet eroavat kuitenkin monella tapaa tavallisista ja vaativat usein valintaaksiooman soveltamista . Esimerkkejä [5] :

Minkä tahansa alefin summa itsensä kanssa antaa saman alefin: $\aleph _{\alpha }+\aleph _{\alpha }=\aleph _{\alpha }.$
Minkä tahansa alefin äärellinen aste antaa saman alefin.
Eri alefien summa ja tulo antaa niistä suurimman.

Katso myös

veto numero

Muistiinpanot

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1977 .
↑ Joseph Warren Dauben; Joseph Warren Dauben. Georg Cantor: Hänen matematiikkansa ja äärettömän filosofiansa (englanniksi) . — ISBN 9780691024479 .
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , s. 283-284.
↑ Jech, Thomas (2003), Joukkoteoria, Springer Monographs in Mathematics, Berliini, New York: Springer-Verlag
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , s. 284-286.

Kirjallisuus

Efimov B. A. Alephs // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1977. - T. 1. - S. 235.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Joukkoteoria / Englannista kääntänyt M. I. Lyhyesti, toimittanut A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Aleph-0 (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .