Loputon setti

Ääretön joukko on joukko , joka ei ole äärellinen . Voimme antaa useita vastaavia määritelmiä äärettömälle joukolle:

Joukko, jossa mille tahansa luonnolliselle luvulle on äärellinen alkioiden osajoukko . $n$ $n$
Joukko, joka sisältää laskettavan osajoukon.
Joukko, jossa on osajoukko, joka vastaa teholtaan jotakin (nollasta poikkeavaa) raja- kertalukua .
Joukko, jolle on olemassa bijektio , jossa on jokin oikea osajoukko .

Jokaiselle äärettömälle joukolle on joukko, jolla on vielä suurempi kardinaliteetti - näin ollen ei ole olemassa ääretöntä joukkoa, jolla on suurempi kardinaliteetti. Äärettömien joukkojen kardinaliteettia kutsutaan alefeiksi (“ alef ”, א on heprean aakkosten ensimmäinen kirjain ) ja merkitään siellä, missä indeksi kulkee kaikkien järjestyslukujen läpi . Äärettömän joukon kardinaliteetti muodostaa hyvin järjestetyn luokan - äärettömän joukon pienin kardinaliteetti on (aleph-0, luonnollisten lukujen joukon kardinaliteetti), jota seuraa $\aleph _{\alpha },$ $\alpha$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1)) ,\pisteet \aleph _{\omega _{\omega _{1))},\pisteet$

Esimerkkejä

Luonnollisten lukujen, kokonaislukujen, rationaalilukujen, reaalilukujen ja kompleksilukujen joukot ovat äärettömiä. $\N$ $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C}$
Ominaisuuksien valikoima on loputon. $\N \to \N$
Järjestetyllä äärettömällä joukolla voi olla "päät" (minimi- ja maksimielementit) - esimerkiksi segmentin rationaalilukujen joukko $[0,1].$
Kaikkien laskettavan joukon äärettömien osajoukkojen joukko on lukematon ääretön joukko.

Loputon setti

Esimerkkejä

Katso myös