Järjestysnumero

Joukkoteoriassa järjestysluku tai järjestysluku ( latinaksi ordinalis - ordinaal) on täysin järjestetyn joukon järjestysluku . Yleensä järjestysnumerot tunnistetaan perinnöllisesti transitiivisilla joukoilla . Ordinaalit ovat yksi luonnollisten lukujen laajennuksista , jotka eroavat sekä kokonaisluvuista että kardinaaleista . Kuten muutkin luvut, ne voidaan lisätä, kertoa ja nostaa potenssiin. Äärettyjä järjestyslukuja kutsutaan transfiniteiksi ( lat. trans - for, -+ finitio - reuna, raja). Ordinaalilla on keskeinen rooli monien joukkoteorian lauseiden todistamisessa , erityisesti siihen liittyvän transfiniittisen induktion periaatteen vuoksi .

Georg Cantor otti järjestysluvut käyttöön vuonna 1883 tapana kuvata äärettömiä sarjoja sekä luokitella joukkoja, joilla on tietty järjestysrakenne . [1] Hän löysi vahingossa järjestysluvut työskennellessään trigonometrisiin sarjoihin liittyvän ongelman parissa .

Asettaa ja niillä on sama kardinaliteetti , jos niiden välille on mahdollista muodostaa bijektiivinen vastaavuus (eli osoittaa funktiota , joka on sekä injektiivinen että surjektiivinen : kukin funktioista vastaa ainoaa joukosta , ja kukin niistä on ainoan kuva / ). $S$ $S'$ $f$ $x$ $S$ $y = f(x)$ $S'$ $y$ $S'$ $x$ $S$

Oletetaan, että joukoille ja annetaan osittaisia tilauksia ja vastaavasti. Sitten osittain järjestetyt joukot ja niiden sanotaan olevan järjestystä säilyttäviä isomorfisia , jos on olemassa bijektiivinen kartta siten, että annettu järjestys säilyy. Toisin sanoen, jos ja vain jos . Mikä tahansa hyvin järjestetty joukko on järjestystä säilyttävä isomorfinen luonnollisesti järjestetyn järjestyslukujoukon suhteen, joka on pienempi kuin jokin määrätty järjestysluku (yhtä kuin järjestysluku ). $S$ $S'$ $<$ $<'$ $(S,<)$ $(S',<')$ $f$ $f(a)<'f(b)$ $a<b$ $(S,<)$ $(S,<)$

Äärelliset järjestysluvut (ja kardinaaliluvut) ovat luonnollisen sarjan lukuja: 0, 1, 2, ..., koska mitkä tahansa kaksi äärellisen joukon täydellistä järjestystä ovat isomorfisia järjestyksen säilyessä . Pienin äärettömän suuri järjestysluku tunnistetaan kardinaaliluvulla . Kuitenkin transfiniittisten lukujen tapauksessa, jotka ovat suurempia kuin , järjestysluvut - verrattuna kardinaalilukuihin - antavat meille mahdollisuuden ilmaista tarkemman joukkojen luokituksen niiden järjestystietojen perusteella. Vaikka kaikkia laskettavia joukkoja kuvataan yhdellä kardinaaliluvulla, joka on yhtä suuri , laskettavien järjestyslukujen määrä on äärettömän suuri ja lisäksi laskematon: $\omega$ $\aleph_0$ $\omega$ $\aleph_0$

\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{ 3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega )),\dots ,\varepsilon _{0},...

Tässä tapauksessa yhteen- ja kertolaskulla ei ole kommutatiivisuusominaisuutta: esimerkiksi se on sama kuin , mutta eroaa siitä ; samanlainen mutta ei sama . Kaikkien laskettavien järjestyslukujen joukko muodostaa kardinaalilukua vastaavan ensimmäisen laskemattoman järjestysluvun (seuraava numero :n jälkeen ). Hyvin järjestetyt kardinaaliluvut tunnistetaan niiden alkujärjestysluvuilla eli vastaavan kardinaaliluvun minimaalisilla järjestyksillä . Järjestysluvun potenssi määrittelee useat yhteen vastaavuuden järjestys- ja kardinaalilukujen luokkien välillä. $1+\omega$ $\omega$ $\omega +1$ $2\cdot \omega =\omega$ $\omega \cdot 2$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Yleensä mielivaltainen järjestysluku määritellään tiukasti pienempien järjestyslukujen joukon järjestysmuodoksi . Tämän ominaisuuden avulla voimme esittää minkä tahansa järjestysluvun sarjana itseään tiukasti pienempiä järjestyslukuja. Kaikki järjestysluvut voidaan jakaa kolmeen luokkaan: nolla, seuraava järjestysluku ja rajajärjestys (jälkimmäinen erottuu niiden lopullisuudesta ). Tietylle järjestyslukuluokalle voidaan määrittää sen th elementti eli luokan alkiot voidaan indeksoida (laskea). Tällainen luokka on suljettu ja rajoittamaton edellyttäen, että indeksointitoiminto on jatkuva eikä koskaan pysähdy. Cantorin normaalimuoto mahdollistaa minkä tahansa järjestysluvun esittämisen yksiselitteisesti järjestystehojen äärellisenä summana . Tätä muotoa ei kuitenkaan voida käyttää universaalin järjestysmerkintäjärjestelmän perustana, koska siinä on itseviittausesitysiä: esimerkiksi . Voit määrittää yhä suurempia järjestyslukuja, mutta niiden kasvaessa niiden kuvaus monimutkaistuu. Mikä tahansa järjestysluku voidaan esittää topologisena avaruutena määrittämällä sille järjestystopologia . Tällainen topologia on diskreetti , jos ja vain jos vastaava järjestysluku ei ylitä laskettavaa kardinaalilukua, eli on pienempi tai yhtä suuri kuin . Osajoukko on avoin järjestystopologiassa, jos ja vain jos se on kofiniitti tai ei sisällä elementtiä. $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\omega$ $\varepsilon _{0}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}}$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega$

Järjestysluvut luonnollisten lukujen joukon jatkeena

Luonnollisilla luvuilla (jotka sisältävät 0 :n tässä tapauksessa ) on kaksi pääkäyttöä: joukon koon kuvaaminen ja elementin sijainnin kuvaaminen tietyssä sekvenssissä. Äärillisten joukkojen tapauksessa nämä käsitteet ovat samat; isomorfismiin asti on vain yksi tapa järjestää äärellisen joukon alkiot sekvenssiksi. Äärettömien joukkojen tapauksessa on tarpeen erottaa koon käsite ja siihen liittyvät kardinaaliluvut aseman käsitteestä, jonka yleistyksenä ovat tässä artikkelissa kuvatut järjestysluvut. Tämä selittyy sillä, että ääretön joukko, jolla on yksilöllisesti määritelty koko ( kardinaliteetti ), voidaan järjestää hyvin useammalla kuin yhdellä ei-isomorfisella tavalla.

Vaikka joukkoon liittyvä kardinaaliluvun käsite ei edellytä rakenteen määrittämistä sille, järjestysluvut liittyvät läheisesti erityiseen joukkoon, jota kutsutaan hyvin järjestetyksi (itse asiassa nämä käsitteet ovat niin läheisiä, että jotkut matemaatikot eivät tee mitään eroa niiden välillä). Termi viittaa lineaarisesti järjestettävään joukkoon (eli joukkoon, jolla on jonkinlainen yhtenäinen tapa valita pienin ja suurin arvo mielivaltaiselle elementiparille), jossa ei ole äärettömästi pieneneviä jonoja (vaikka niitä voi olla äärettömästi kasvavia), tai vastaavassa koostumuksessa joukko, jossa mikä tahansa ei-tyhjä osajoukko sisältää pienimmän elementin. Järjestyslukuja voidaan käyttää sekä osoittamaan minkä tahansa tietyn hyvin järjestetyn joukon alkioita (pienin elementti on merkitty 0:lla, seuraava on merkitty 1:llä, seuraava on 2, "ja niin edelleen"), että mittaamaan " koko" koko joukosta määrittämällä pienin järjestysluku, joka ei ole joukon minkään elementin otsikko. Tätä "kokoa" kutsutaan joukon järjestystyypiksi .

Mikä tahansa järjestysluku määritellään joukolla edeltäviä järjestyslukuja: itse asiassa yleisin järjestysluvun määritelmä identifioi sen edellisten järjestyslukujen joukosta. Näin ollen järjestysluku 42 on edellisten järjestyslukujen joukon järjestystyyppi, eli järjestysluvut 0:sta (pienin järjestysluku) 41:een (luvun 42 välitön edeltäjä), ja se tunnistetaan yleensä joukolla . Päinvastoin on myös totta: mikä tahansa alaspäin suljettu ordinaaleiden joukko – toisin sanoen sellainen, että jokaiselle ordinaalille ja jokaiselle ordinaalille ordinaalilla on myös elementti – on itse ordinaalin (tai voidaan tunnistaa yhden kanssa). ${\näyttötyyli \{0,\,1,\,2,\ldots ,\,41\))$ $S$ $\alpha \in S$ $\beta <\alpha$ $\beeta$ $S$

Tähän asti olemme maininneet vain äärelliset järjestysluvut, jotka ovat samoja kuin luonnolliset luvut. Niiden lisäksi on olemassa myös äärettömiä järjestyslukuja: pienin niistä on luonnollisten lukujen järjestystyyppi (finite ordinaals) , joka voidaan tunnistaa jopa itse luonnollisten lukujen joukosta (tosin: luonnollisten lukujen joukko on alaspäin suljettu ja, kuten mikä tahansa järjestysluku, on täysin järjestetty, - siksi se voidaan tunnistaa vastaavalla järjestysnumerolla, joka vastaa täsmälleen :n määritelmää ). $\omega$ $\omega$

Ehkä intuitiivisempi käsitys järjestysluvuista voidaan saada ottamalla huomioon muutamia niiden ensimmäisiä edustajia: kuten edellä mainittiin, järjestyslukujen joukko alkaa luonnollisilla luvuilla. Kaikkien luonnollisten lukujen jälkeen on ensimmäinen ääretön järjestysluku , jota seuraa , , , ja niin edelleen. (Lisäyksen tarkka merkitys määritellään myöhemmin, joten pidä tätä merkintää yksinkertaisena merkintänä) Kun kaikki tällaiset luvut ovat (eli ), , , ja niin edelleen, niin , ja sen jälkeen - . Lisäksi järjestysluvuilla, jotka voidaan kirjoittaa muodossa , missä ja ovat luonnollisia lukuja, on myös oltava vastaava järjestysluku: sellainen luku on . Sitä seuraa , ,…, , sitten - paljon myöhemmin - ( "epsilon-zero" ) (luetteloidut esimerkit antavat käsityksen suhteellisen pienistä laskentajärjestysluvuista). Tätä prosessia voidaan jatkaa loputtomiin. Pienin lukematon järjestysluku on kaikkien laskettavien järjestyslukujen joukko ja sitä merkitään . $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\ldots$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega +2$ $\omega +3$ $\omega \cdot 2$ $\omega +\omega$ $\omega \cdot 2 + 1$ $\omega \cdot 2+2$ $\omega \cdot 3$ $\omega \cdot 4$ $\omega \cdot m+n$ $m$ $n$ $\omega ^{2}$ $\omega ^{3}$ $\omega ^{4}$ $\omega^\omega$ $\omega ^{{\omega ^{2}}}$ $\varepsilon_{0}$ $\omega_{1}$

Määritelmät

Pieniä kreikkalaisia kirjaimia käytetään yleensä osoittamaan järjestysnumeroita . Tämä artikkeli noudattaa tällaista merkintää. $\alpha ,\beta ,\dots$

Hyvin tilatut sarjat

Jokainen hyvin järjestetyn joukon ei-tyhjä osajoukko sisältää pienimmän elementin. Riippuvan valinnan aksiooman mukaan tämä vastaa sanomista, että joukko on lineaarisesti järjestetty eikä sisällä äärettömästi pieneneviä sekvenssejä – jälkimmäinen muotoilu on luultavasti helpompi visualisoida. Käytännössä hyvin järjestyksen käsitteen tärkeyttä selittää mahdollisuus käyttää transfiniittistä induktiota , jonka pääajatuksena on, että minkä tahansa elementin edeltäjiltä itselleen siirtyvän ominaisuuden tulee täyttyä kaikille elementeille ( sisältyy tiettyyn hyvin järjestettyyn sarjaan). Jos (tietokoneohjelman tai pelin) laskennalliset tilat voidaan järjestää täysin siten, että jokainen seuraava vaihe on "pienempi" kuin edellinen, niin laskennallinen prosessi on taatusti valmis.

Emme myöskään halua tehdä eroa kahden hyvin järjestetyn joukon välillä, jos ne eroavat vain "elementtiensä merkinnöistä" tai muodollisemmin, jos ensimmäisen joukon elementit voidaan yhdistää toisen joukon elementteihin tavalla, että yhden joukon mielivaltaisessa elementiparissa ensimmäinen on pienempi kuin toinen, jos ja vain jos sama suhde pätee niiden vastaavien kumppanien välillä toisesta joukosta. Tällaista yksi-yhteen-vastaavuutta kutsutaan järjestystä säilyttäväksi isomorfismiksi , ja kahta hyvin järjestettyä joukkoa kutsutaan järjestystä säilyttäväksi isomorfiseksi tai vastaavaksi (sellainen samankaltaisuus on ilmeisesti ekvivalenssisuhde ). Jos kaksi hyvin järjestettyä joukkoa ovat isomorfisia järjestyksen säilyessä, niin vastaava isomorfismi on ainutlaatuinen: tämä seikka antaa meille mahdollisuuden nähdä mainitut joukot käytännössä identtisinä ja toimii perustana isomorfismityyppien (luokkien) "kanonisen" esityksen etsimiselle. ). Järjestysluvut eivät ainoastaan näytä tällaisen esityksen roolia, vaan antavat meille myös kanonisen merkinnän minkä tahansa hyvin järjestetyn joukon elementeistä.

Toisin sanoen haluamme esitellä ordinaalin käsitteen hyvin järjestettävien joukkojen isomorfismien luokkana, eli " järjestystä säilyttävän isomorfismin" relaatioon perustuvana ekvivalenssiluokkana . Tässä lähestymistavassa on kuitenkin yksi tekninen vaikeus: tällä tavalla määritetty ekvivalenssiluokka osoittautuu liian suureksi mahtumaan joukon määritelmän alle joukkoteorian standardin Zermelo-Fraenkel- formalisoinnin mukaan . Tämä monimutkaisuus ei kuitenkaan aiheuta vakavia ongelmia. Kutsumme ordinaaleja mielivaltaisen joukon ordinaaliksi tällaisessa luokassa.

Järjestyslukujen määrittely ekvivalenssiluokiksi

Alkuperäisessä järjestysluvun määritelmässä, joka löytyy esimerkiksi Principia Mathematicasta , jonkin kaivojärjestyksen järjestystyypiksi ymmärretään kaikkien sitä vastaavien kaivonjärjestysten joukko (isomorfinen järjestyksen säilymisen kanssa ): toisin sanoen järjestysluku on todellakin ekvivalenssiluokan hyvin järjestetty joukko. ZFC - teoriassa ja siihen liittyvissä joukkoteorian aksiomaattisissa järjestelmissä tällaista määritelmää ei voida hyväksyä, koska vastaavat ekvivalenssiluokat ovat liian suuria, jotta niitä voitaisiin pitää joukoina. Tätä määritelmää voidaan kuitenkin käyttää tyyppiteoriassa ja Quinen aksiomaattisessa joukkoteoriassa ( New Foundations ) sekä muissa vastaavissa järjestelmissä (joissa sen avulla voimme muotoilla vaihtoehtoisen ja melko odottamattoman tavan ratkaista Burali-Forti-paradoksi suurimmasta järjestysnumero).

Järjestyslukujen määritelmä von Neumannin mukaan

Sen sijaan, että määrittelisimme ordinaalin hyvin järjestetyn joukkojen ekvivalenssiluokiksi , identifioimme sen konkreettiseen joukkoon, joka toimii tämän luokan kanonisena esityksenä. Näin ollen järjestysluku on jokin hyvin järjestetty joukko, ja mikä tahansa hyvin järjestetty joukko on kuin täsmälleen yksi järjestysluku.

Von Neumannin ehdottama standardimääritelmä on seuraava: mikä tahansa järjestysluku on hyvin järjestetty joukko, joka koostuu kaikista sitä pienemmistä ordinaaleista . Symbolisella merkinnällä: . [2] [3] Muodollisemmin sanottuna $\lambda =[0,\lambda )$

Joukko on järjestysluku silloin ja vain, jos se on tiukasti hyvin järjestetty suhteessa ja jokainen S :n alkio on samanaikaisesti sen osajoukko.

S

\sisään

Huomaa, että tämän määritelmän mukaan luonnolliset luvut ovat järjestyslukuja. Joten 2 kuuluu 4 = {0, 1, 2, 3} ja on samalla yhtä suuri kuin {0, 1}, eli se on osajoukko arvoista 0, 1, 2, 3}.

Transfiniittisellä induktiolla voidaan osoittaa, että mikä tahansa hyvin järjestetty joukko on kuin täsmälleen yksi järjestysluku – toisin sanoen niiden välille voidaan muodostaa järjestystä säilyttävä bijektiivinen vastaavuus.

Lisäksi minkä tahansa ordinaalin elementit ovat itse ordinaaleja. Jos ja ovat mielivaltaisia järjestyslukuja, se kuuluu jos ja vain, jos se on oikea osajoukko . Lisäksi kaikille järjestysluvuille ja yksi suhteista täyttyy: joko , tai , tai . Siten kaikilla järjestysluvuilla on lineaarinen järjestys ja lisäksi se on hyvin järjestetty. Tämä tulos on yleistys hyvin järjestetyistä luonnollisista lukuista. $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S\in T$ $T\in S$ $S=T$

Tämä tarkoittaa, että mielivaltaisen järjestysluvun elementit ovat täsmälleen samat kuin . Jokaisella järjestysjoukolla on esimerkiksi supremumi , joka on järjestysluku, joka on yhtä suuri kuin kaikkien annettuun joukkoon sisältyvien järjestyslukujen liitto. Liittymäaksiooman mukaan tällainen järjestysluku on aina olemassa alkuperäisen joukon koosta riippumatta. $S$ $S$

Kaikkien järjestyslukujen luokka ei ole joukko. Muuten olisi mahdollista todistaa, että tällainen joukko on itse järjestysluku ja siten oma elementtinsä, mikä on ristiriidassa tiukan -järjestyksen kanssa. Tätä väitettä kutsutaan Burali-Fortin paradoksiksi . Järjestyslukujen luokka merkitään eri tavoin: "Ord", "ON" tai "∞". $\sisään$

Järjestysluku on äärellinen silloin ja vain, jos se on täysin järjestetty ei vain luonnollisen, vaan myös vastakkaisen järjestyksen mukaan - tämä ehto täyttyy silloin ja vain, jos jokainen sen osajoukko sisältää suurimman elementin.

Muut määritelmät

Nykyaikaisessa matematiikassa järjestyslukujen määrittelyyn on olemassa muita lähestymistapoja. Joten säännöllisyyden aksiooman alla seuraavat joukosta x koskevat lauseet ovat ekvivalentteja:

x on järjestysluku,
x on transitiivinen joukko trikotomiarelaatiolla $\sisään$
x on transitiivinen joukko , joka on lineaarisesti järjestetty suhteen . Joukolle , määrittelemme kahden paikkasuhteen, joka koostuu sellaisista pareista , että tai . Joukkoa kutsutaan transitiiviseksi, jos se seuraa . Joukkoa kutsutaan järjestysluvuksi, jos se on transitiivinen ja hyvin järjestetty joukko. [neljä] $\subseteq$ $X$ $\epsilon(X)$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle \in X^{2))$ $a\in b$ $a=b$ $X$ $b\in X$ $b\subseteq X$ $\alpha$ $\langle \alpha ,\epsilon (\alpha )\rangle$
x on transitiivinen joukko, jonka elementit ovat myös transitiivisia joukkoja.

Luetteloidut määritelmät eivät sovellu joukkoteorioihin ilman perusaksioomaa . Urlementtien teorioissa määritelmiä on selvennettävä, koska urelementit ovat järjestysluvun elementtien joukosta.

Transfiniittinen sekvenssi

Jos on raja järjestysluku , ja se on jokin asetettu, niin -indeksoitu elementtisarja on funktio alkaen - . Tällä tavalla esitelty transfiniittisen sekvenssin tai järjestysluvuilla indeksoidun sekvenssin määritelmä on sekvenssin käsitteen yleistys . Tavallinen järjestys vastaa tapausta . $\alpha$ $X$ $\alpha$ $X$ $\alpha$ $X$ $\alpha=\omega$

Ominaisuudet

Jos on järjestysluku, niin jokainen elementti on järjestysluku. $\alpha$ $\alpha$
Jokaiselle , täsmälleen yksi seuraavista suhteista pätee: $\alpha ,\beta$ $\alpha \in \beta ,\alpha =\beta ,\beta \in \alpha .$
Mikä tahansa järjestyslukujen joukko on järjestetty hyvin relaatiolla (erityisesti mikä tahansa joukkona pidettävä järjestysluku on hyvin järjestetty relaatiolla ), ja se on joukon pienin elementti , on järjestysluku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin mikä tahansa setin elementtejä . Lausekkeet ja järjestysluvuille ovat samat. Seuraavassa oletetaan, että järjestyslukuja verrataan relaatiolla $\sisään$ $\sisään$ $\bigcap x$ $x$ $\bigcup x$ $x$ $\alpha <\beta$ $\alpha \in \beta$ $\sisään .$
Jokaiselle hyvin järjestetylle joukolle on ainutlaatuinen ordinaalinen isomorfinen (erityisesti mille tahansa järjestysjoukolle on ainutlaatuinen ordinaalinen isomorfi). $x$ $x$
Mikä tahansa osuu yhteen kaikkien järjestyslukujen kanssa, jotka ovat pienempiä kuin . $\alpha$ $\alpha$
Minkä tahansa järjestysluvun alkusegmentti on järjestysluku.
Tyhjä joukko on pienin järjestysluku (mikä tarkoittaa, että se on minkä tahansa muun järjestysluvun elementti). $\varno mitään$
$\alpha$ kutsutaan rajattomaksi , jos joko se on yhtä suuri kuin , tai sitä välittömästi edeltää , eli jos se on olemassa, mutta toista järjestyslukua ei voida lisätä niiden väliin. Jälkimmäisessä tapauksessa sanotaan , että se on järjestysluku , joka seuraa , ja kirjoita: järjestyslukujen summaksi). $\varno mitään$ $\beta ;$ $\beta<\alpha ,$ $\beta <\gamma <\alpha .$ $\alpha$ $\beeta$ $\alpha =\beta {\piste +}1$ $\alpha=\beta+1,$
Järjestyslukuja, jotka eivät ole ei-rajoittavia, kutsutaan rajajärjestysluvuiksi ( joskus kutsutaan myös rajajärjestysluvuiksi). $\varno mitään$
$\alpha {\piste +}1=\alpha \cup \{\alpha \}.$
Kaikkien äärellisten järjestyslukujen joukko on isomorfinen ei-negatiivisten kokonaislukujen joukon kanssa , ja niille käytetään samaa merkintää kuin kokonaislukuille. Tässä tapauksessa järjestyslukujen yhteen-, kerto- ja eksponentiooperaatiot siirretään vastaaviin kokonaislukujen operaatioihin. Useita ensimmäisiä järjestyslukuja:

{\begin{aligned}&0=\varnothing ;\\&1=\{0\}=0\cup \{0\}=\{\varnothing \};\\&2=\{0,1\}=1 \cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\};\\&3=\{0,1,2\}=2\cup \{2\}=\{\varnothing , \{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\};\\&\dots \end{tasattu))

Kaikkien äärellisten järjestyslukujen joukko on merkitty Se on pienin raja-järjestysluku ja pienin ääretön (eli laskettava ) järjestysluku. Seuraava sarjanumero on $\omega.$ $\omega {\piste +}1=\omega \cup \{\omega \}.$
Äärillinen ehto voidaan kirjoittaa muodossa tai, joka on sama, $\alpha$ $\alpha <\omega$ $\alpha \in \omega .$
Järjestyslukuja on ääretön , mutta kaikkien järjestyslukujen joukkoa ei ole olemassa . Toisin sanoen kaikkien järjestyslukujen kokonaismäärä on oikea luokka .
Jokainen järjestyslukujoukko on ylhäältä rajattu ja sillä on pienin yläraja , jota merkitään $A$ $\sup A.$ $A\subseteq \sup A.$
Jos on rajoittava järjestysluku tai , niin muuten $\alpha$ $\varno mitään$ $\up \alpha =\alpha ,$ $\ylös \alpha <\alpha .$
Laskettavien järjestyslukujen laskettavan joukon pienin yläraja on laskettava [5] .
Jokaisella järjestysluvulla α on yksilöllinen esitys Cantorin normaalimuodossa , jossa , , ja ovat järjestyslukuja. Lomakkeella voit etsiä laajennuksia, kuten seuraavat: $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_ {k}$ $k\in {\mathbb {N}}$ $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {N}$ $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ $\omega ^{\left(\omega ^{\left(\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42\right)}\cdot 1729+\omega ^{9}+88\oikea) }\cdot 3+\omega ^{\left(\omega ^{\omega }\right)}\cdot 5+65537$

Järjestysaritmetiikka

Toiminnan määritelmät

Järjestyslukujen summa määritellään rekursiivisesti seuraavasti:

{\begin{aligned}&\alpha +0=\alpha \\&\alpha +(\beta {\dot {+}}1)=(\alpha +\beta ){\piste {+}} 1\\&\alpha +\gamma =\sup\{\alpha +\beta \mid \beta <\gamma \},\end{aligned))

missä kolmas sääntö pätee milloin on rajoittava järjestysluku .

\gamma

Samaa merkintää käyttämällä määrittelemme kertolaskutoiminnon:

{\begin{aligned}&\alpha \cdot 0=0\\&\alpha \cdot (\beta {\piste +}1)=\alpha \cdot \beta +\alpha \\&\alpha \cdot \gamma =\sup\{\alpha \cdot \beta \mid \beta <\gamma \}.\end{aligned}}

Samaa merkintää käyttämällä määritämme eksponentiotoiminnon:

{\begin{aligned}&\alpha ^{0}=1\\&\alpha ^{{\beta {\piste +}1}}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha \\&\alpha ^{\gamma }=\sup\{\alpha ^{\beta }\mid \beta <\gamma \}.\end{tasattu))

Käyttöominaisuudet

Ordinaalin lisäys ei ole kommutoiva; erityisesti, $1+\omega =\omega \neq \omega +1.$
Järjestyslukujen lisääminen on assosiatiivista: voit kirjoittaa useiden termien summan ilman sulkuja. $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma ,$
Summa kasvaa oikean termin kasvaessa eikä pienene vasemman termin kasvaessa: se seuraa ja $\beta _{1}>\beta _{2}$ ${\displaystyle \alpha +\beta _{1}>\alpha +\beta _{2))$ $\beta _{1}+\alpha \geqslant \beta _{2}+\alpha .$
Jos sitten on olemassa ainutlaatuinen järjestysluku , jolle $\alpha \geqslant \beta ,$ $\gamma$ $\beta +\gamma =\alpha .$
Järjestyslukujen kertolasku on ei-kommutatiivista; erityisesti, $2\cdot \omega =\omega \neq \omega \cdot 2.$
Järjestyslukujen kertolasku on assosiatiivinen: voit kirjoittaa useiden tekijöiden tulon ilman sulkeita. $\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma )=(\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma,$
Yhteen- ja kertolasku ovat distributiivisia: $\alpha \cdot (\beta +\gamma )=\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma .$
$\alpha +0=0+\alpha =\alpha .$
$\alpha +1=\alpha {\piste +}1.$
$\alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha +\omega =\omega .$
$\alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0.$
$\alpha \cdot 1=1\cdot \alpha =\alpha .$
$\alpha \in \omega \land \alpha \neq 0\leftrightarrow \alpha \cdot \omega =\omega .$
$\alpha +\beta =0\leftrightarrow \alpha =0\land \beta =0.$
$\alpha \cdot \beta =0\leftrightarrow \alpha =0\tai \beta =0.$
$\alpha ^{0}=1.$
$\alpha ^{1}=\alpha .$
$\alpha \neq 0\leftrightarrow 0^{\alpha }=0.$
$1^{\alpha }=1.$
$\alpha \in \omega \land \alpha >1\leftrightarrow \alpha ^{\omega }=\omega .$
$\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^({\beta +\gamma }}).$
$(\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^({\beta \cdot \gamma }}).$
$\alpha >1\land \beta >\gamma \leftrightarrow \alpha ^{\beta }>\alpha ^{\gamma }.$
$\beta \in \omega \to \alpha +\beta =\alpha \underbrace {{\piste +}1{\piste +}1{\piste +}\pisteet {\piste +}1}_{\beta } .$
$\beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta =0\underbrace {+\alpha +\alpha +\dots +\alpha }_{\beta }.$
$\beta \in \omega \to \alpha ^{\beta }=1\underbrace {\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha }_{\beta }.$
Äärillisten argumenttien tapauksessa yhteen-, kerto- ja eksponentiointi menevät vastaaviin kokonaislukujen operaatioihin (lopullisilla tuloksilla).
Laskettavien argumenttien tapauksessa myös yhteen-, kertolasku- ja eksponentiointitulokset ovat laskettavissa.

Katso myös

perusluku

Muistiinpanot

↑ Tarkemman kuvauksen antoivat Levy (1979) ja Yeh (2003).
↑ von Neumann, 1923
↑ Levyn (1979, s. 52) mukaan tämä ajatus juontaa juurensa Zermelon julkaisemattomaan teokseen (1916) sekä useisiin von Neumannin 1920-luvulla kirjoittamiin kirjoihin.
↑ Ershov, 1987 , s. 84.
↑ N. K. Vereshchagin, A. Shen. Joukkoteorian alku . - 3. - M . : MTSNMO, 2008. - P. 96. Arkistokopio päivätty 20. lokakuuta 2019 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Ershov Yu.L. , Palyutin E.A. Matemaattinen logiikka. - M .: Nauka, 1987. - 336 s.
Cantor, Georg (1883), Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. , Mathematische Annalen vol. 21 (4): 545–591, doi : 10.1007 / bf01446819 , . Julkaistu erikseen nimellä: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre .
Cantor, Georg (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II , Mathematische Annalen vol. 49 (2): 207–246 , ,BF01444205/10.1007:doi .
Conway, John H. & Guy, Richard (2012), Cantor's Ordinal Numbers , The Book of Numbers , Springer, s. 266-7, 274, ISBN 978-1-4612-4072-3
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: Hänen Mathematics and Philosophy of the Infinite , Harvard University Press , ISBN 0-674-34871-0
Ewald, William B., toim. (1996), From Immanuel Kant to David Hilbert : A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2 , Oxford University Press , ISBN 0-19-850536-1
Ferreirós, José (1995), "Mikä käy minussa vuosia": Cantor's discovery of transfinite numbers , Historia Mathematica , osa 22: 33–42, doi : 10.1006/hmat.1995.1003 , < http://www.sciencedirect.com /science/article/pii/S0315086085710038 > Arkistoitu 11. huhtikuuta 2019 Wayback Machinessa
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory ja sen rooli matemaattisessa ajattelussa (2. tarkistettu painos), Birkhäuser , ISBN 3-7643-8349-6
Hallett, Michael (1986), Cantorian Set Theory and Limitation of Size , Oxford University Press, ISBN 0-19-853283-0
Hamilton, A.G. (1982), 6. Järjestys- ja kardinaaliluvut, numerot, joukot ja aksioomit: matematiikan laitteisto , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-24509-5
Kanamori, A. , Set Theory from Cantor to Cohen , julkaisussa Irvine, Andrew & Woods, John H., The Handbook of the Philosophy of Science , voi. 4 Mathematics, Cambridge University Press Arkistoitu 4. huhtikuuta 2012 Wayback Machinessa — ilmestyy.
Levy, A. (2002), Basic Set Theory , Springer-Verlag , ISBN 0-486-42079-5
Jech, Thomas (2013), Set Theory (2. painos), Springer, ISBN 978-3-662-22400-7 , < https://books.google.com/books?id=GHjmCAAAQBAJ >
Sierpiński, W. (1965), Cardinal and Ordinal Numbers (2. painos), Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe Määrittelee myös järjestysfunktiot Cantorin normaalimuodossa.
Suppes, P. (1960), Axiomatic Set Theory , D. Van Nostrand, ISBN 0-486-61630-4
Tait, William W. (1997), Frege versus Cantor ja Dedekind: On the Concept of Number , julkaisussa William W. Tait, Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein , Open Court, s. 213–248, ISBN 0-8126-9344-2 Arkistoitu 24. lokakuuta 2018 Wayback Machinessa
von Neumann, Johann (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum vol. 1: 199–208 , < http ://huusactofyx/how/acta. .action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style= > Arkistoitu 18. joulukuuta 2014 Wayback Machinessa
von Neumann, John (tammikuu 2002), Transfinite-lukujen käyttöönotosta julkaisussa Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 (3. painos), Harvard University Press, s. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 , < http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674324497 > Arkistoitu 20. elokuuta 2017 Wayback Machinessa - Englanninkielinen käännös von Neumannista1923 , ,

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion