Lineaarisesti tilattu sarja

Lineaarisesti järjestetty joukko ( ketju ) on osittain järjestetty joukko , jossa mikä tahansa elementtipari on vertailukelpoinen, eli kahdelle elementille ja tai tapahtuu . $a$ $b$ $a\leqslant b$ $b\leqslant a$

Yksi järjestysteorian keskeisistä käsitteistä ; on tärkeä rooli yleisalgebrassa , erityisesti järjestettyjä ryhmiä , järjestettyjä renkaita , järjestettyjä kenttiä tutkitaan erityisesti . Lineaarisesti järjestettävien sarjojen tärkein erikoistapaus on täysin tilatut sarjat .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Lineaarisesti järjestetyn joukon osa on sen osio kahdeksi osajoukoksi ja siten, että , ja mille tahansa ja : . Luokkia ja kutsutaan vastaavasti alemmiksi ja ylemmiksi leikkausluokiksi. $P$ $A$ $B$ $A\kuppi B=P$ $A\cap B=\varnothing$ $a\in A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $A$ $B$

Seuraavat osiot erotellaan:

hyppy — alemmalla luokalla on suurin elementti ja ylemmällä luokalla pienin;
Dedekind-leikkaus — yläluokassa ei ole pienintä elementtiä tai alemmassa luokassa ei ole suurinta elementtiä, mutta ei molempia;
aukko — alemmalla luokalla ei ole suurinta elementtiä, ja ylemmillä luokalla ei ole pienintä.

Lineaarisesti järjestettyä joukkoa kutsutaan jatkuvaksi , jos kaikki sen osat ovat Dedekind.

Lineaarisesti järjestetyn joukon osajoukkoa kutsutaan tiheäksi, jos jokainen joukon ei-singleton-väli sisältää ryhmään kuuluvia elementtejä . $D$ $P$ $P$ $D$

Ominaisuudet

Lineaarisesti järjestetyn joukon osajoukko on itse lineaarisesti järjestetty.

Mikä tahansa lineaarisesti järjestetyn joukon maksimi (minimi) alkio osoittautuu suurimmaksi (pienimmäksi). [yksi]

Lineaarisesti järjestettyä reaalilukujen joukkoa voidaan luonnehtia jatkuvaksi lineaarisesti järjestetyksi joukoksi, jossa ei ole suurinta eikä pienintä alkiota, mutta joka sisältää laskettavan tiheän osajoukon.

Mikä tahansa laskettava lineaarisesti järjestetty joukko on isomorfinen jollekin segmentin osajoukolle, jonka järjestys on peritty . $[0, 1]$ $\mathbb {R}$

Hila on isomorfinen lineaarisesti järjestetyn kokonaislukujoukon osajoukolle, jos ja vain jos jokainen sen alihiloista on vetäytys . $L$

Muistiinpanot

↑ Päinvastoin on aina totta - minkä tahansa joukon suurin alkio on maksimi