Tilattu sormus

Järjestätty rengas yleisalgebrassa on rengas (yleensä kommutatiivinen ) , jonka kaikille elementeille on määritelty lineaarinen järjestys , joka on yhdenmukainen renkaan toimintojen kanssa. Käytännössä tärkeimmät esimerkit ovat kokonaislukujen rengas ja kokonaislukukerrannaisten renkaat . $R$ $\mathbb {Z}$

Määritelmä

Olkoon rengas , jonka elementeillä on lineaarinen järjestys , eli relaatio ( pienempi tai yhtä suuri kuin ) seuraavilla ominaisuuksilla [1] . $R$ $\leqslant$

Heijastuskyky : . $x \leqslant x$
Transitiivisuus : jos ja , niin sitten . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymmetria : jos ja , niin sitten . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Lineaarisuus: kaikki elementit ovat vertailukelpoisia keskenään, eli joko , tai . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Lisäksi edellytämme, että järjestys on yhdenmukainen renkaan yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden kanssa:

Jos , niin mille tahansa z : lle : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Jos ja , niin sitten . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Jos kaikki 6 aksioomia täyttyvät, niin rengasta kutsutaan järjestetyksi [2] . $R$

Esimerkkejä tilatuista sormuksista

Kokonaislukujen rengas $\mathbb{Z}.$
Parillisten lukujen rengas ja yleensä mikä tahansa lukurengas, joka on tietyn nollasta poikkeavan reaaliluvun (ei välttämättä kokonaisluku) kerrannaisia . $k$
Kaikki järjestetyt kentät - esimerkiksi rationaali- ja reaalilukukentät ) ovat myös järjestettyjä renkaita.
Esimerkki järjestetystä renkaasta, jossa on nollajakaja : jos kokonaislukujen summausryhmässä kaikki tulot asetetaan nollien suuruisiksi, saadaan järjestettävä rengas, jossa mikä tahansa alkio on nollajakaja (yksikkö ei silloin ole neutraali alkio kertomiselle, jolloin saadaan rengas ilman yksikköä) [3 ] [4] .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Merkintöjen helpottamiseksi otetaan käyttöön muita toissijaisia suhteita:

Suhde , joka on suurempi tai yhtä suuri kuin : tarkoittaa, että .

x\geqslant y

y\leqslant x

Suhde , joka on suurempi kuin : tarkoittaa, että ja .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Suhde pienempi kuin : tarkoittaa, että .

x<y

y>x

Kaavaa, jossa on jokin näistä neljästä suhteesta, kutsutaan epäyhtälöksi .

Nollaa suurempia elementtejä kutsutaan positiivisiksi , kun taas nollaa pienempiä elementtejä kutsutaan negatiivisiksi . Järjestetyn renkaan positiivisten elementtien joukkoa merkitään usein $R$ $R_{+}.$

Diskreetti järjestetty rengas on järjestetty rengas, jossa ei ole 0:n ja 1:n välillä olevia alkioita. Kokonaisluvut ovat diskreettijärjestetty rengas, kun taas rationaaliset luvut eivät ole.

Perusominaisuudet

Kaikilla on seuraavat ominaisuudet. $x,y,z\in R$

Jokainen järjestetyn renkaan elementti kuuluu yhteen ja vain yhteen kolmesta kategoriasta: positiivinen, negatiivinen, nolla. Jos positiivinen, niin negatiivinen ja päinvastoin. $x$ $-x$
Samanlaisia epätasa-arvoja voidaan lisätä:

Jos ja , niin sitten .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Epäyhtälöt voidaan kertoa ei-negatiivisilla elementeillä:

Jos ja , niin sitten .

x \leqslant y

z\geqslant 0

zx\leqslant zy

Järjestetyssä renkaassa ei ole nollajakajia silloin ja vain, jos positiivisten alkioiden tulo on positiivinen.
Merkisääntö: nollasta poikkeavien alkioiden tulo samoilla etumerkeillä on ei-negatiivinen (jos renkaassa ei ole nollajakajia, niin positiivinen), ja positiivisen elementin tulo negatiivisella on ei-positiivinen (jos nollajakajia ei ole, sitten negatiivinen),
- Seuraus 1: järjestetyssä renkaassa nollasta poikkeavan alkion neliö on aina ei-negatiivinen (ja jos nollan jakajia ei ole, se on positiivinen) [5] .
- Seuraus 2: aina järjestetyssä renkaassa 1:n kanssa (koska 1 on itsensä neliö) [4] . $1>0$
Järjestetty rengas, joka ei ole triviaali (eli sisältää enemmän kuin vain nollan), on ääretön.
Mikä tahansa järjestettävä rengas, jossa on yksikkö ja ei nollajakajia, sisältää yhden ja vain yhden alirenkaan, joka on isomorfinen kokonaislukujen renkaan kanssa [6] . $\mathbb {Z}$

Esimerkkejä renkaista ja kentistä, jotka eivät salli tilaamista

Kompleksiluvut eivät muodosta järjestettyä rengasta, koska järjestetyssä renkaassa, kuten edellä todettiin, elementin neliö on aina ei-negatiivinen, eikä imaginaariyksikkö voi syöttää sitä.
Lopeta kentät .
p-adic-luvut .

Absoluuttinen arvo

Määritä elementin itseisarvo $x:$

|x|=\max(x,-x)

Tässä toiminto valitsee suurimman arvon. Sillä on seuraavat ominaisuudet (kaikelle renkaalle) [7] . ${\näyttötyyli \max}$ $x,y$

$|x|=0$ jos ja vain jos . $x=0$
Kaikille nollasta poikkeaville ja vain heille . $x$ $|x|>0$
Vastakkaisten lukujen absoluuttiset arvot ovat samat: $|x|=|{-x}|$
Kolmion epätasa-arvo : . $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
Monikertaisuus: $|xy|=|x||y|.$
$|x|\leqslant y$ on sama kuin $-y\leqslant x\leqslant y$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Järjestettyjen renkaiden teoria kattaa myös ei-kommutatiivisten (tai jopa ei-assosiatiivisten) renkaiden erikoistapaukset. Muita muunnelmia tutkitaan:

Rengas ei ole lineaarinen, vaan vain osittain järjestetty , eli kaikkia elementtejä ei voida verrata tietyllä järjestyksellä [8] .
Renkaan sijasta on puolirengas , eli siinä ei yleensä ole vähennyslaskua [9] . Esimerkki: luonnollinen sarja laajennettu nollalla.

Muistiinpanot

↑ Lam, TY (1983), Tilaukset, arvostukset ja toisen asteen muodot , vol. 52, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1
↑ Bourbaki, 1965 , s. 271.
↑ Bourbaki N. Algebra. Algebralliset rakenteet. Lineaarialgebra. - M .: Nauka, 1962. - S. 137. - 517 s.
↑ 1 2 Bourbaki, 1965 , s. 272.
↑ Nechaev, 1975 , s. 90.
↑ Nechaev, 1975 , s. 100.
↑ Nechaev, 1975 , s. 91.
↑ Osittain tilattu sormus . Haettu 27. tammikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 27. tammikuuta 2019. (määrätön)
↑ Nechaev, 1975 , s. 88-89.

Kirjallisuus

Bourbaki N. Algebra. Polynomit ja kentät. Tilatut ryhmät. - M .: Nauka, 1965. - S. 271-272. — 299 s.
Nechaev V. I. 6.4. Lineaarisesti järjestetyt renkaat ja rungot // Numeeriset järjestelmät. - M . : Koulutus, 1975. - S. 90-94. — 199 s.

Linkit

Tilattu sormus PlanetMathin verkkosivuilta .