Quadratrix

Quadratrix on kinemaattisesti määritelty transsendenttinen tasokäyrä . Sitä ehdotettiin muinaisina aikoina (5. vuosisadalla eKr.) ympyrän neliöinnin ja kulman kolmiosaamisen ongelmien ratkaisemiseen . Nelikuristosta tuli matematiikan ensimmäinen transsendenttinen käyrä [1] .

Määritelmä

Neliön kinemaattinen määritelmä on seuraava: tarkastelemme neliötä (kuva 1), johon on piirretty ympyrän neljänneksen sektori. Liikkukoon piste tasaisesti kaaria pitkin pisteestä pisteeseen ; samalla segmentti liikkuu tasaisesti paikasta toiseen . Lopuksi edellytämme, että molemmat liikkeet alkavat ja päättyvät samaan aikaan. Tällöin säteen ja janan leikkauspiste kuvaa neliötä (katso kuvat 1 ja 2, korostettu punaisella). $ABCD$ $E$ $D$ $B$ $A'B'$ $DC$ $AB$ $AE$ $A'B'$

Muinaiset matemaatikot suhtautuivat ennakkoluuloisesti käyrien kinemaattisiin määritelmiin, koska he pitivät niitä geometrisen tieteen arvottomina. Siksi he ehdottivat kahta muuta määritelmää, jotka eivät käytä mekaanisen liikkeen käsitettä; nämä määritelmät on annettu Aleksandrian Pappusin kirjoituksissa ja ne edustavat kvadratrisia joidenkin Archimedesin kierteeseen tai spiraaliin liittyvien käyrien projektiona [2] . Nämä rakenteet ovat melko monimutkaisia, eikä niitä käytetä käytännössä.

Nykyaikana löydettiin muita rakenteita, joissa neliö näkyy; tarkastellaan esimerkiksi helikoidin kelan leikkauskohtaa tämän pinnan akselin sisältävän tason kanssa. Tällöin leikkausviivan projektio akselia vastaan kohtisuorassa tasossa on neliön haara [3] .

Historia

Ensimmäisen maininnan quadratrixista tekivät Aleksandrian Pappus [4] ja Iamblichus 300 -luvun lopulla. Papp esitti myös yksityiskohtaisen kuvauksen sen rakennusmenetelmistä. Proclus Diadochuksen mukaan käyrän löysi sofisti Hippias 500-luvulla eaa. e. ja hän käytti sitä ratkaistakseen kulman kolmiosaisen ongelman . Toinen muinainen geometria, Dinostratus , suoritettiin 4. vuosisadalla eKr. e. tämän käyrän tutkimus ja osoitti, että se tarjoaa myös ratkaisun ympyrän neliöintiongelmaan . Lähteissä tätä käyrää kutsutaan nimellä "Dinostratus quadritrix" tai "Hippias quadritrix" [5] .

Papp kirjoittaa, että 3. vuosisadan Nikea-kiistan matemaatikko esitti kaksi vakavaa vastalausetta neliön käytölle ympyrän neliöimiseksi, joista Papp on täysin samaa mieltä [6] :

On mahdotonta koordinoida tarkasti segmenttien BC ja AB liikettä, jos et tiedä etukäteen neljännesympyrän kaaren pituuden suhdetta säteeseen, joten saadaan noidankehä .
Pistettä K ei voida rakentaa, koska vastaavalla ajanhetkellä jana ja säde yhtyvät. Nykyaikaisessa terminologiassa piste K on neliön pisteiden raja - käsite, joka on vieras muinaiselle matematiikalle.

Nykyaikana käyrää tutkivat Roberval (1636), Fermat , Barrow (1670) ja muut tunnetut matemaatikot. Descartes omisti monia sivuja kvadraattisen tutkimiseen kirjassaan " Geometria " (1637) [7] . Newton määritti vuonna 1676 nelikulmakaaren pituuden , sen kaarevuuden ja segmentin alueen sarjan muodossa ja osoitti myös tangenttien piirtämismenetelmän [8] .

Käyräyhtälöt

Napakoordinaateissa : _

\rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}).

Johtopäätös
Antaa on ympyrän säde, on nykyinen kulma ja napainen säde. Mukavuussyistä otamme käyttöön ajan , joka muuttuu 0:sta 1:ksi liikkeen aikana. Sitten pisteen tasainen liike pituuden kaarella voidaan ilmaista yhtälöllä: $R$ $\varphi$ $FAG$ $\rho = AF$ $t$ $E$ $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ $\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).$ Janan tasainen liike ilmaistaan yhtälöllä: $A'B'$ $A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R$ Korvaamalla arvon ensimmäisestä yhtälöstä toiseen, saamme lopulta: $1-t$ $\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.$

Johtopäätös

Antaa on ympyrän säde, on nykyinen kulma ja napainen säde. Mukavuussyistä otamme käyttöön ajan , joka muuttuu 0:sta 1:ksi liikkeen aikana. Sitten pisteen tasainen liike pituuden kaarella voidaan ilmaista yhtälöllä:

R

\varphi

FAG

\rho = AF

t

E

\textstyle {\frac {\pi }{2}}

\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).

Janan tasainen liike ilmaistaan yhtälöllä: $A'B'$

A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R

Korvaamalla arvon ensimmäisestä yhtälöstä toiseen, saamme lopulta: $1-t$

\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.

Suorakaiteen muotoisina koordinaatteina :

x=y\,\operaattorin nimi {ctg}{\frac {\pi y}{2R))

Johtopäätös
Tuomme yhtälön napakoordinaateissa muotoon: $\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Ottaen huomioon , saamme $\rho \sin \varphi =y$ $y={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Geometrisistä syistä: . Sitten yhtälö näyttää tältä: $\textstyle \varphi =\operaattorinimi {arctg}{\frac {y}{x}}$ ${\frac {\pi y}{2R}}=\operaattorin nimi {arctg}{\frac {y}{x}}$ Otamme tangentin molemmista osista: $\operaattorinimi {tg}{\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}$ tuo on $x=y\,\operaattorin nimi {ctg}{\frac {\pi y}{2R))$

Johtopäätös

Tuomme yhtälön napakoordinaateissa muotoon:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Ottaen huomioon , saamme $\rho \sin \varphi =y$

y={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Geometrisistä syistä: . Sitten yhtälö näyttää tältä: $\textstyle \varphi =\operaattorinimi {arctg}{\frac {y}{x}}$

{\frac {\pi y}{2R}}=\operaattorin nimi {arctg}{\frac {y}{x}}

Otamme tangentin molemmista osista:

\operaattorinimi {tg}{\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}

tuo on

x=y\,\operaattorin nimi {ctg}{\frac {\pi y}{2R))

Pääominaisuus

Neliöyhtälö napakoordinaateissa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi ,

tai: missä

y=k\varphi ,

k={\frac {2R}{\pi }}.

Tämä tarkoittaa tämän käyrän [9] pääominaisuutta :

Nelitriisin minkä tahansa kahden pisteen ordinaatit ovat suhteessa näiden pisteiden napakulmiin: ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\varphi _{1}}{\varphi _{2}}}.$

Neliö on ainoa (ei-degeneroitunut) käyrä ensimmäisessä koordinaattineljänneksessä, jolla on tämä ominaisuus (se on helppo todistaa toistamalla yllä oleva päättely käänteisessä järjestyksessä).

Muut ominaisuudet

Neliösegmentin pinta -ala määritetään kaavalla [3] : $ADFG$

S={\frac {2R^{2}\ln 2}{\pi }}

Sovellus

Kulman kolmiosa

Kulman kolmiosa eli mielivaltaisen kulman jakaminen kolmeen yhtä suureen osaan toisen asteen avulla suoritetaan alkeellisesti. Olkoon (kuva 1) tietty kulma, josta kolmasosa täytyy rakentaa. Jakoalgoritmi on seuraava: $EAB$

Löydämme neliöstä pisteen ja sen ordinaatin . $F$ $A'$
Aseta sen kolmas osa sivuun segmentissä; saa jotain pointtia . $AA'$ $H$
Löydämme neliöstä pisteen , jossa on ordinaatit . $K$ $H$
Ohitamme säteen . Kulma halutaan. $AK$ $KAB$

Tämän algoritmin todistus seuraa välittömästi neliön pääominaisuudesta. On myös ilmeistä, että samalla tavalla on mahdollista jakaa kulma ei vain kolmeen, vaan myös mihin tahansa muuhun määrään osia [10] .

Ympyrän neliöinti

Ympyrän neliöintiongelma esitetään seuraavasti: rakenna neliö, jonka pinta-ala on sama kuin tietyn säteen ympyrän kanssa . Algebrallisesti tämä tarkoittaa yhtälön ratkaisemista: . $R$ $x^{2}=\pi R^{2}$

Muodostetaan alkuympyrän neliö, kuten kuvassa. 1. Käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa saadaan, että sen alemman pisteen abskissa (kuvassa 3 tämä on segmentti ) on yhtä suuri kuin . Ilmaistamme tämän suhteena: , missä on ympyrän ympärysmitta. Yllä olevan suhteen avulla voit rakentaa pituisen segmentin . Suorakulmiolla, jossa on sivut , on haluttu pinta-ala, ja samanpintaisen neliön rakentaminen on yksinkertaista, katso artikkeli Kvadratuuri (matematiikka) tai kuva. 3. $AG$ $AJ$ ${\frac {2R}{\pi ))$ $C:2R = 2R:AG$ $C=2\pi R$ $C$ $R$ $C/2$

Muunnelmia

Edellä käsitellyn Dinostratus-kvadratuurin lisäksi on olemassa joukko muita käyriä, joita voidaan käyttää ympyrän kvadratuuriin, ja siksi niitä kutsutaan myös neliöiksi [3] .

Chirnhausin (tai Chirnhausenin) kvadratriisi , affinoitunut tavalliseen sinusoidiin [11] :

y=a\sin {\frac {\pi x}{2a))

Ozanamin neliö :

x=2a\sin ^{2}{\frac {y}{2a}}

Sisäkorva [11] polaarisella yhtälöllä . $\rho =a{\frac {\sin \varphi }{\varphi ))$

Lisäksi monet kirjoittajat mieluummin vaihtavat x :n ja y :n Dinostratin toisen asteen yhtälössä [12] :

y=x\,\operaattorin nimi {ctg}{\frac {\pi x}{2R))

Tällä valinnalla ( täysi neliöllinen ) on se etu, että funktio määritellään koko reaaliakselille, lukuun ottamatta yksittäisiä pisteitä (Pisteessä funktio määritellään edelleen siirtymällä rajaan; katso sen käyrä kuvassa 4.) Napakoordinaateissa käyrän tämän version keskihaara kuvataan kaavalla [12] : $y(x)$ $\pm 2R,\pm 4R,\pm 6R\pistettä$ $x=0$ $y(x)$ $R = 1$

\rho ={\frac {R}{\pi }}\cdot {\frac {\pi -2\varphi }{\cos \varphi }}

Tällä käyrällä on ääretön määrä haaroja, joiden pystysuorat viivat singulaaripisteissä ovat asymptootteja . Käyrän pisteet, joissa on ordinaatit (paitsi y-akselin piste) ovat käännepisteitä [12] . $y={\frac {2R}{\pi }}$

Muistiinpanot

↑ Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - S. 84-85.
↑ Prasolov V.V., 1992 , s. 58-61.
↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , s. 230.
↑ Aleksandrian Pappus . Matemaattinen kokoelma, Kirja IV, 30-34.
↑ Savelov A. A., 1960 , s. 227.
↑ Prasolov, 2018 , s. 71.
↑ Prasolov V.V., 1992 , s. 61-62.
↑ Isaac Newton. Matemaattiset teokset / Käännös ja kommentit D. D. Mordukhai-Boltovsky . - M. - L. : ONTI, 1937. - S. 31 , 87-89, 99, 166, 227, 287. - 452 s. - (Luonnontieteen klassikot).
↑ Kolme kuuluisaa antiikin ongelmaa, 1963 , s. 34-35.
↑ Kolme kuuluisaa antiikin ongelmaa, 1963 , s. 35-37.
↑ 1 2 Vileitner G. Matematiikan historiaa Descartesista 1800-luvun puoliväliin. - M .: GIFML, 1960. - S. 284. - 468 s.
↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , s. 228.

Kirjallisuus

Zhukov A. V. "Numerosta π" Arkistokopio 29. helmikuuta 2008 Wayback Machinessa . M.: MTSNMO, 2002, 32 s ISBN 5-94057-030-5
Prasolov VV Matematiikan historia, kahdessa osassa. - M. : MTSNMO , 2018. - T. 1. - 296 s. - ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9.
Prasolov VV Kolme klassista rakennustehtävää. Kuution tuplaus, kulman kolminleikkaus, ympyrän neliöinti . - M .: Nauka, 1992. - 80 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja , numero 62).
Proshletsova I. L. Tietoja Dinostratin neliöstä // Historialliset ja matemaattiset tutkimukset . Pietari: Kansainvälisen tiedehistoriasäätiön kustantamo. Ongelma. 35 (1994). s. 220-229.
Savelov A. A. Tasokäyrät : Systematiikka, ominaisuudet, sovellukset (viiteopas). - M .: Fizmatlit, 1960. - S. 227-230. — 293 s. Julkaistu uudelleen vuonna 2002, ISBN 5-93972-125-7 .
Chistyakov V.D. Kolme kuuluisaa antiikin ongelmaa. - M . : Valtio. äh.-ped. RSFSR:n opetusministeriön kustantamo, 1963. - S. 33-37. - 96 s.
Shchetnikov A. I. Kuinka ratkaisut kolmeen antiikin klassiseen ongelmaan löydettiin? // Matemaattinen koulutus. - 2008. - Nro 4 (48) . - s. 3-15 .
Shchetnikov A.I. Hippias-neliö ja sen yhteys kulman kolmiosan ja ympyrän kvadratuurin ongelmiin // Proceedings of the VIII International Kolmogorov Readings. - Jaroslavl: YaGPU:n kustantaja, 2010. - S. 392 -396 . - ISBN 978-5-87555-630-2 .

Linkit

Quadratrix of Hippias Arkistoitu 4. helmikuuta 2012 Wayback Machinessa MacTutor-arkistossa. (Englanti)
Quadratrix of Hippias at Convergence . (Englanti)

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
Muut	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

Muut

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
Muut	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto