Käännekohta

Käännepiste  on tasokäyrän piste, jossa sen suunnattu kaarevuus muuttaa etumerkkiä. Jos käyrä on funktion kuvaaja, niin tässä vaiheessa funktion konveksi osa eroaa koverasta (eli funktion toinen derivaatta vaihtaa etumerkkiä).

Määritelmät

Säännöllisen käyrän (yksinkertainen) käännepiste on tämän käyrän sellainen piste, jossa käyrän tangentti on toisen asteen kosketuksessa sen kanssa ja jakaa käyrän , eli käyrän pisteet, jotka ovat jossain läheisyydessä tämän pisteen vastakkaisilla puolilla oleva annettu piste sijaitsee myös tangentin [1] [2] eri puolilla . Jos käyrä on 2-säännöllinen, ehto korvataan seuraavalla: käyrän suunnattu kaarevuus muuttaa etumerkkiä kulkiessaan käännepisteen läpi. Käyrän korkeimman (degeneroituneen) käänteen piste on sen piste, sen kanssa koskettavan käyrän tangentti, jonka kertaluku ei ole pienempi kuin kolme, ja tangentti jakaa käyrän [1] .

Edellytys suunnatun kaarevuuden merkin muuttamiseen ei vastaa käyrän jakamista koveraan ja kuperaan osaan. Joten kärjen tapauksessa käyrällä ei välttämättä ole tangenttia. Tämän poistamiseksi yllä olevat määritelmät edellyttävät käyrän säännöllisyyttä. Mielenkiintoisempi tapaus on funktio kun , joka pisteessä 0 koskettaa x-akselia ja leikkaa sen, mutta muuttaa etumerkkiä lähellä nollaa äärettömän monta kertaa; tässä on jopa toinen jatkuva derivaatta [3] . Tällaisen tapauksen poissulkemiseksi funktiolla on oltava eristetty ääripää (katso alla).

Käyrän pistettä kutsutaan suoristuspisteeksi, jos käyrän kaarevuus kyseisessä pisteessä on nolla [4] . Joskus käyrän suoristuspistettä, joka ei ole tämän käyrän käännepiste, kutsutaan paraboliseksi suoristuspisteeksi [1] .

Differentioituvalla funktiolla on käännepiste ( x , f ( x )) silloin ja vain jos sen ensimmäisellä derivaatalla f′ on eristetty ääriarvo kohdassa x (tämä ei ole sama kuin f :llä on ääripää tässä pisteessä). Toisin sanoen jossain pisteen x ympäristössä on yksi ja vain yksi piste, jossa f': llä on (paikallinen) minimi tai maksimi. Jos kaikki funktion f′ ääripäät ovat eristettyjä , käännepiste on f :n kuvaajan piste, jossa tangentti leikkaa käyrän [5] [6] .

Säännöllisen käyrän korkein (degeneroitunut) kärki on sen piste, jossa värähtelevä ympyrä koskettaa sitä ja jonka kertaluku on korkeampi kuin kolmas [1] .

Nouseva käännepiste  on käännepiste, jossa derivaatalla on paikallinen minimi, ja laskeva käännepiste on käännepiste, jossa derivaatalla on paikallinen maksimi.

Algebrallisella käyrällä ei-singulaarinen piste on käännepiste silloin ja vain , jos tangentin ja käyrän leikkauspisteen monikerta on pariton ja suurempi kuin kaksi [7] .

Ominaisuudet

Käännepisteelle on ominaista kaksi ominaisuutta:

Jos käyrä määritellään differentioituvan funktion kuvaajaksi , käännepiste on funktion ääripiste .

Välttämättömät ja riittävät ehdot

Jos x on f : n käännepiste , niin toinen derivaatta f″ ( x ) on nolla, jos se on olemassa, mutta tämä ehto ei ole riittävä . Vaaditaan, että nollasta poikkeavan derivaatan pienin kertaluku (toisen yläpuolella) on pariton (kolmas, viides jne. derivaatat). Jos nollasta poikkeavan derivaatan pienin kertaluku on parillinen, piste ei ole käännepiste, vaan parabolinen suoristuspiste [8] . Algebrallisessa geometriassa sekä käännepisteitä että korjauspisteitä kutsutaan kuitenkin yleisesti käännepisteiksi .

Määritelmä olettaa, että f :llä on nollasta poikkeava korkeamman asteen derivaatta suhteessa x :ään , jota ei välttämättä ole olemassa. Mutta jos se on olemassa, määritelmästä seuraa, että merkki f' ( x ) on vakio x :n molemmilla puolilla x : n ympäristössä .

Käännepisteen riittävä ehto on:

1) Riittävä ehto käännepisteelle on:

Jos f ( x ) on k kertaa jatkuvasti differentioituva jossain pisteen x ympäristössä , missä k on pariton ja k ≥ 3, f (n) ( x 0 )=0 kun n = 2,…, k  - 1 ja f ( k) ( x 0 ) ≠ 0, niin x 0 on f ( x ) käännepiste .

2) Toinen riittävä ehto edellyttää, että pisteen x läheisyydessä on eri etumerkit edellyttäen, että tässä pisteessä on tangentti [2] .

Käännepisteiden luokitus

Käännepisteet voidaan luokitella derivaatan f′ ( x ) mukaan.

Esimerkki satulapisteestä on kaavion y = x 3 piste (0,0) . Tangentti on x - akseli ja se jakaa kuvaajan tässä pisteessä.

Ei-stationaariset käännepisteet voidaan osoittaa funktion y \ u003d x 3 kuvaajalla, jos sitä kierretään hieman origon suhteen. Origon tangentti jakaa edelleen graafin kahteen osaan, mutta gradientti ei ole nolla.

Toiminnot tauoilla

Jotkut funktiot muuttavat kuperuutta/koveruutta jossain pisteessä, mutta niillä ei ole käännepistettä siinä kohdassa. Sen sijaan ne voivat muuttaa kaarevuutta pystysuoran asymptootin siirtymäkohdassa tai epäjatkuvuuspisteessä. Otetaan esimerkiksi funktio 2 x 2 /( x 2  - 1). Se on kupera kohdassa | x | > 1 ja on kovera kohdassa | x | < 1. Tällä funktiolla ei kuitenkaan ole käännepistettä, koska 1 ja −1 eivät kuulu funktion alueeseen.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 Shikin, 1997 , s. 39.
  2. ↑ 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005 , s. 231.
  3. ↑ Fikhtengolts, 2001 , s. 305.
  4. ↑ Shikin, 1997 , s. 27.
  5. ↑ Fikhtengolts, 2001 , s. 294-305.
  6. ↑ Kudrjavtsev, 1981 , s. 190-195.
  7. ↑ Käännepiste . encyclopediaofmath.org .
  8. ↑ Rashevsky, 1950 , s. 18-19.

Kirjallisuus

Linkit