Satulapiste

Matemaattisen analyysin satulapiste on funktion toimialueelta peräisin oleva piste, joka on kiinteä tietylle funktiolle , mutta ei ole sen paikallinen ääriarvo . Se on tasapainopiste puhtaissa strategioissa . Tällaisessa pisteessä, jos tarkastellaan kahden muuttujan funktiota , funktion kuvaajan muodostama pinta yleensä muistuttaa muodoltaan satulaa tai vuoristosolia - toisesta suunnasta kupera ja toisesta kovera. Korkeuskartalla satulapiste löytyy yleensä isolinoiden leikkauspisteestä . Esimerkiksi kaksi mäkeä, joiden välissä on korkea sola , muodostavat satulapisteen tämän solan yläosaan : korkeuskartassa tämä näyttää vastaavien isolinjojen muodostaman "kahdeksan" keskipisteeltä .

Satulapiste laskennassa

Voit tarkistaa, onko kahden muuttujan funktion F ( x , y ) tietty stationaarinen piste satulapiste laskemalla funktion Hessinen matriisi tässä pisteessä: jos Hessian on epämääräinen neliömuoto , niin tämä piste on satulapiste. Esimerkiksi kääntämällä funktion Hessen-matriisi stationaariseen pisteeseen , saadaan matriisi: $z=x^{2}-y^{2}$ $(0, 0)$

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix))

joka on määrittelemätön. Siksi tämän funktion piste on satulapiste. Yllä oleva kriteeri tarjoaa kuitenkin vain riittävän ehdon satulankärjen olemassaololle. Esimerkiksi on funktion satulapiste , mutta Hessin matriisi on tässä tapauksessa nollamatriisi, jota ei määritelmän mukaan voida kutsua määrittelemättömäksi. $(0, 0)$ $(0, 0)$ $z=x^{4}-y^{4}$

Yleisessä tapauksessa sileän funktion satulapiste ( jonka kuvaaja kuvaa käyrää , pintaa tai hyperpintaa ) on kiinteä piste, jonka läheisyydessä annettu käyrä/pinta/ylipinta ei ole kokonaan tangentiavaruuden toisella puolella. annetussa kohdassa.

Yhden muuttujan funktion tapauksessa satulapiste on sellainen, joka on sekä stationaaripiste että käännepiste (käännepiste ei ole paikallinen ääripää ).

Katso myös

Kirjallisuus

Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L. & Frank, David H (1990), Calculus kaksi: lineaariset ja epälineaariset funktiot , Berlin: Springer-Verlag, s. sivu 375, ISBN 0-387-97388-5
Hilbert D., Cohn-Vossen S. , Visuaalinen geometria. — URSS, Trans. saksasta, painos 5, 2010. 344
von Petersdorff, Tobias (2006), Critical Points of Autonomous Systems , Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 luentomuistiinpanoja) , < http://www.wam.umd.edu/~petersd/stab.html > . Haettu 12. marraskuuta 2009. Arkistoitu 3. tammikuuta 2007 Wayback Machineen
Widder, DV (1989), Advanced calculus , New York: Dover Publications, s. sivu 128, ISBN 0-486-66103-2