Pass-menetelmä

Satulamenetelmä on menetelmä, jota käytetään muodon integraalien lähentämiseen

\int \limits _{\gamma }\Phi (z)e^{\lambda \phi (z)}\,dz,

missä on joitain meromorfisia toimintoja , on suuri luku, ja ääriviiva voi olla ääretön. Tätä menetelmää kutsutaan usein Laplacen menetelmän yleistykseksi . ${\näyttötyyli \Phi (z),\phi (z)}$ $\lambda$ $\gamma \in {\mathbb {C}}$

Ratkaisualgoritmi

Pienennä integraali arvoon . $I(\lambda )=\int \limits _{\gamma }\Phi (z)e^{\lambda \phi (z)}\,dz$
Siitä lähtien, kun eksponentti määrittää käyttäytymisen , funktiota on tarpeen tutkia seuraavasti : $\lambda \to \infty$ $minä(\lambda)$ ${\näyttötyyli \phi (z)}$
1. Etsi satulapisteet , eli ne pisteet, joissa relaatio pätee . $\phi '(z)=0$
2. Rakenna jyrkimmän laskun viivoja.
Muovaa ääriviivaa nopeimman laskun linjoja pitkin. $\gamma$
Hanki integraalin asymptotiikka Laplacen menetelmällä .

Esimerkki: Ilmava funktion asymptotiikka

Airy-funktio saadaan seuraavalla integraalilla:

I(z)=\int \limits _{\gamma }\exp \left(pz-{\frac {p^{3}}{3}}\right)\,dp.

Ääriviivana käytämme oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää muotoa. Tehdään vaihto ja saadaan: $\gamma$ $p={\sqrt {z}}s$

I(z)={\sqrt {z}}\int \limits _{\gamma }\exp \left[z^{3/2}\left(s-{\frac {s^{3} }{3}}\right)\right]\,ds.

Siten olemme saaneet tarvittavan muodon integraalista funktion kanssa . Satulapisteet ovat siis yhtä suuret kuin: . $\phi (s)=s-{\frac {s^{3}}{3}}$ $s=\pm 1$

Cauchyn-Riemannnin ehdoista seuraa, että satulapisteissä nopeimman nousun ja nopeimman laskun käyrät leikkaavat suorassa kulmassa, eivätkä ne voi leikata missään muualla kuin satulapisteissä. Näistä yksinkertaisista pohdinnoista voidaan rakentaa ne yksiselitteisesti. Jyrkimmän laskun käyrät on esitetty kuvassa (nuolet osoittavat kasvun suunnan).

Jotta tämän integraalin asymptotiikkaa voitaisiin käyttää Laplacen menetelmällä , ääriviivaa on muutettava nopeimman laskun käyriä pitkin lineaarisilla muunnoksilla. Koska funktion globaali maksimi saavutetaan näillä käyrillä , voimme tarkastella vain pientä naapurustoa siitä. Siksi laajennamme toimintoa Taylor-sarjassa satulapisteen läheisyydessä : $\gamma$ $\phi (s)$ $\phi (s)$

Kirjat

Fedoryuk M. V. Läpäisymenetelmä . - 1977. - S. 366 .
A. I. Prilepko, D. F. Kalinichenko. Asymptoottiset menetelmät ja erikoisfunktiot. - M .: MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Svešnikov, A. N. Tikhonov. Kompleksisen muuttujan funktioteoria. - 5. painos - M . : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Pass-menetelmä

Ratkaisualgoritmi

Esimerkki: Ilmava funktion asymptotiikka

Kirjat

Katso myös