Kriittisten pisteiden moninkertaisuus

-Sileän funktion kriittisen pisteen monikertaisuus on tämän funktion gradienttikartoituksen ns. paikallisalgebran ulottuvuus tarkasteltavassa pisteessä. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$

Määritelmä

Olkoon muuttujien -sileä funktio , jolla on kriittinen pisteensä. Vastaava gradienttikartoitus saadaan kaavalla. Otetaan käyttöön seuraava merkintä: $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $n$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ $O\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \nabla f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}).$

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ on muodollisten potenssisarjojen algebra muuttujissa, joiden keskipiste on $x_{1},\ldots,x_{n}$ $O.$
$I_{\nabla f}=(\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n})$ on ihanteellinen generaattorien tuottamien tasaisten funktioiden algebrassa $\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}.$

Kun jokainen sileä funktio liitetään sen muodolliseen Taylor-sarjaan, saadaan upotus algebraan . Gradienttikartoituksen paikallista algebraa pisteessä kutsutaan osamääräalgebraksi ja sen mittaa funktion monikertaisuudeksi pisteessä ${\displaystyle I_{\nabla f))$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f))$ $f$ $O.$

Siinä tapauksessa, että funktioilla on lineaarisesti riippumattomat gradientit pisteessä (tämä ehto vastaa sitä tosiasiaa, että funktion Hessian on nollasta poikkeava), multipliciteettia ja kriittistä pistettä kutsutaan ei- degeneroituneeksi . Se on myös kätevä sijoittaa ei-kriittisen pisteen tapauksessa. ${\displaystyle \partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n))$ $O$ $f$ $\mu=1$ $O$ $\mu=0$

Yksimuuttujafunktiot

Tässä tapauksessa ja kriittisen pisteen moninkertaisuus voidaan määrittää ehdolla: $n = 1$ $\mu$ $O$

{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(O)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\frac {d ^{\mu +1}f}{dx^{\mu +1}}}(O)\neq 0,

arvo vastaa ei-kriittistä pistettä. Todellakin, koska tässä tapauksessa funktion potenssisarja alkaa termillä, niin mikä tahansa elementti voidaan esittää muodossa , jossa ja on kertoimien antama astepolynomi, ts. $\mu=0$ ${\displaystyle \nabla f={\partial f}/{\partial x))$ $x^{\mu },$ $g\in \mathbb {R} [[x]]$ $g=p_{\mu -1}+\alpha \cdot \nabla f$ $\alpha \in \mathbb {R} [[x]]$ $p_{\mu -1}$ $\mu-1,$ $\mu$ $\dim \,\mathbb {R} [[x]]/I_{\nabla f}=\mu .$

Toujronin lause saa tässä tapauksessa triviaalin muodon: äärellisen monikertaisuuden kriittisen pisteen läheisyydessä on koordinaatit, joissa funktiolla on muoto $\mu$

f(x)=x^{\mu +1}.

Useiden muuttujien funktiot

Tässä tapauksessa tärkeä kriittisen pisteen ominaisuus on Hessenin matriisin arvo pisteessä . $O$ $r$ $H(f)$ $O$

Jos , niin ( Morse-lemman mukaan ) pisteen naapurustossa , funktio , valitsemalla tasaiset paikalliskoordinaatit, pelkistetään muotoon $r=n$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{2},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Jos , niin pisteen läheisyydessä funktio pelkistetään muotoon valitsemalla tasaiset paikalliskoordinaatit $r=n-1$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n}),\quad \alpha _{i}=\ pm1,

ja jos funktion monikertaisuus on , niin se pelkistetään muotoon

g(x_{n})

\mu </infty

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha _{ i}=\pm 1,\quad 2\leq \mu <\infty .

Jos , niin pisteen läheisyydessä funktio pelkistetään muotoon valitsemalla tasaiset paikalliskoordinaatit $r=n-2$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n-1},x_{n}),\quad \ alfa _{i}=\pm 1,

jossa funktion Taylor-sarja alkaa astemonomiaaleilla

g(x_{n-1},x_{n})

\geq 3.

Jos funktion kuutioosassa on kolme erilaista (todellista tai kompleksista) juuria, se pelkistetään muotoon $g(x_{n-1},x_{n})$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{3},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Jos funktion kuutioosassa on kaksi eri juuria (yksi niistä on monikerta), niin yleisaseman lisäehdolla funktio pelkistetään muotoon $g(x_{n-1},x_{n})$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 3\leq \mu <\infty .

Jakolause

Olkoon muuttujan sileä funktio , jonka äärellisen moninkertaisuuden kriittinen piste on muuttujan piste , ts. $f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R}$ $n+1$ ${\displaystyle x,y_{1},\ldots ,y_{n))$ $0\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $\mu \geq 0$ $x$

${\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i))}(0)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\ frac {\partial ^{\mu +1}f}{\partial x^{\mu +1))}(0)\neq 0.\quad \ (*)$

Sitten pisteen läheisyydessä funktio voidaan esittää muodossa $0$ $f$

$f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=\varphi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\cdot {\Bigl (}x^{\ mu +1}+\sum _{i=0}^{\mu }a_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})x^{\mu -i}{\Bigr )}, \quad\(**)$

missä ja ovat sujuvat funktiot argumenttinsa, ei katoa kaikille . $\varphi$ $a_{{i}}$ $\varphi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})$ $a_{i}(0,\ldots ,0)=0$ $i<\mu$

Tämän lauseen osoitti ensin Weierstrass kompleksisten muuttujien holomorfisille funktioille [1] ( Weierstrassin jakolause ). Yllä annettua todellista analogia kutsutaan usein Malgrange- tai Mather -jakolauseeksi .

Kartoitusten kriittiset kohdat

-Sileän kuvauksen kriittisen pisteen monikertaisuus on annetun kuvauksen paikallisalgebran ulottuvuus . ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},$ $n>1,$

Olkoon -sileä kartoitus, jolla on kriittinen piste. Mappaus annetaan muuttujien funktioiden joukolla . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $O\in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $n$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n))$ $n$ $x_{1},\ldots,x_{n}$

Otetaan käyttöön seuraava merkintä:

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ on muodollisten potenssisarjojen algebra muuttujissa, joiden keskipiste on $x_{1},\ldots,x_{n}$ $O.$
$I_{f}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ on ihanteellinen generaattorien tuottamien tasaisten funktioiden algebrassa $f_{1},\ldots ,f_{n}.$

Kun jokainen sileä funktio liitetään sen muodolliseen Taylor-sarjaan, saadaan upotus algebraan . Kuvauksen paikallisalgebraa pisteessä kutsutaan osamääräalgebraksi ja sen ulottuvuutta pisteen kuvauksen moninkertaisuudeksi. ${\näyttötyyli I_{f))$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f))$ $f$ $O.$

Katso myös

Morsen Lemma. Toujronin lause

Kirjallisuus

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Differentioituvien kartoitusten singularities - Mikä tahansa painos.
Brecker T., Lander L. Erilaiset bakteerit ja katastrofit, - Mikä tahansa painos.
Golubitsky M., Guillemin V. Vakaat kartoitukset ja niiden singulariteetit, - M.: Mir, 1977.
Hormander L. Johdatus useiden monimutkaisten muuttujien funktioiden teoriaan, - M .: Mir, 1968.
Artikkelikokoelma: Differentioituvien kartoitusominaisuuksien ominaisuudet, - M.: Mir, 1968.
Palamodov V.P. Holomorfisen kartoituksen moninaisuudesta, Funkts. analyysi ja sen sovellukset, 1:3 (1967), s. 54–65.
Arnold, V.I., Huomautus Weierstrassin valmistelevasta lauseesta, Funktsional. analyysi ja sen sovellukset, 1:3 (1967), s. 1–8.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Johdatus singulaarisuusteoriaan . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Muistiinpanot

↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. - Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berliini, 1895, 135–188.