Hessenin funktiot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Funktion Hessian on symmetrinen neliömuoto [1] , joka kuvaa funktion käyttäytymistä toisessa järjestyksessä.

Funktiolle, joka on kahdesti differentioituva pisteessä $f$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$

H(x)=\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}

tai

H(z)=\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}z_{i}\overline {z}_{ j}

jossa (tai ) ja funktio määritellään -ulotteisessa reaaliavaruudessa ( tai kompleksisessa avaruudessa ) koordinaattein ( tai ). Molemmissa tapauksissa Hessian on tangentiavaruudessa annettu neliömuoto , joka ei muutu muuttujien lineaarisissa muunnoksissa . Hessialaista kutsutaan usein myös matriisin determinantiksi, katso alla. $a_{{ij}}=\osittainen ^{2}f/\osittainen x_{i}\osittainen x_{j}$ $a_{{ij}}=\partial ^{2}f/\partial z_{i}\partial \overline {z}_{j}$ $f$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ $z_{1},\ldots ,z_{n}$ ${\näyttötyyli (a_{ij}),}$

Hessenin matriisi

Tämän toisen asteen muodon matriisi muodostuu funktion toisista osaderivaataista. Jos kaikki johdannaiset ovat olemassa, niin

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2))}&{\frac {\partial ^{2}f}{ \partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\ \\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ 2}^{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n))}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^{2} f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end {bmatrix}}

Tämän matriisin determinanttia kutsutaan Hessenin determinantiksi tai yksinkertaisesti Hesseniksi .

Hessian matriiseja käytetään optimointitehtävissä Newtonin menetelmällä . Hessenin matriisin täydellinen laskenta voi olla vaikeaa, joten hessimatriisin likimääräisiin lausekkeisiin on kehitetty kvasi-newtonilaisia algoritmeja. Tunnetuin niistä on Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno-algoritmi .

Hessenin matriisin symmetria

Funktion f sekaderivaatat ovat Hessen-matriisin alkioita, jotka eivät ole päädiagonaalilla . Jos ne ovat jatkuvia, erottelujärjestys ei ole tärkeä:

{\frac {\partial }{\partial x_{i))}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j))}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j))}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i))}\right)

Tämä voidaan kirjoittaa myös nimellä

f_{{x_{i}x_{j}}}=f_{{x_{j}x_{i}}},\quad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}.

Tässä tapauksessa Hessenin matriisi on symmetrinen .

Funktion kriittiset pisteet

Jos gradientti (sen vektoriderivaata ) on nolla jossain vaiheessa , niin tätä pistettä kutsutaan kriittiseksi . Riittävä ehto ääripään olemassaololle tässä kohtaa on Hessenin f :n (tässä tapauksessa kvadraattisena muotona) merkki-definiteness , nimittäin: $f$ $x_{0}$

jos Hessian on positiivinen määrätty, niin on funktion paikallinen minimipiste , $x_{0}$ $f(x)$
jos Hessian on negatiivinen definitiivinen, niin on funktion paikallinen maksimipiste , $x_{0}$ $f(x)$
jos Hessian ei ole merkkivarma (ottaa sekä positiiviset että negatiiviset arvot) ja on ei-degeneroitu , niin on funktion satulapiste . $(\det H(f)\neq 0)$ $x_{0}$ $f(x)$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Vector-funktiot

Jos on vektorifunktio , eli $f$

f=(f_{1},f_{2},\pisteet ,f_{n}),

silloin sen toiset osittaiset derivaatat eivät muodosta matriisia, vaan tensorin arvolla 3, jota voidaan pitää Hessenin matriisien matriisina: $n$

H(f)=\left(H(f_{1}),\ldots ,H(f_{n})\right).

Klo , tämä tensori rappeutuu tavalliseksi Hessin matriisiksi. $n = 1$

Banded Hessian

Ratkaistaessa ongelmaa funktion ehdollisen ääripään löytämisestä rajoituksilla $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

\left\{{\begin{array}{c}g_{1}(x)=0,\\\vdots \\g_{m}(x)=0,\end{array}}\right .

missä , , ääripään riittävien ehtojen tarkistamiseksi voidaan käyttää Lagrange-funktion ns. rajattua Hessialaista , jonka muoto on [2] $x \in \mathbb{R}^n$ $m<n$ $L(x,\lambda )$

\left({\begin{array}{cc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x^{2))}&{\dfrac {\partial ^{2}L} {\partial x\partial \lambda }}\\\left({\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial \lambda }}\right)^{\mathrm {T} }&{ \dfrac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2))}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n))} &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{1}}}\\\vdots & \ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{n}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m)){\partial x_{n))}\\{\dfrac {\partial g_{1)){\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial g_ {1}}{\partial x_{n}}}&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial g_{m}}{ \partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m)){  \partial x_{n}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right).

Riittävien äärimmäisten ehtojen varmistus koostuu rajatun Hessenin kielen tietyn osamatriisijoukon determinanttien etumerkkien laskemisesta. Nimittäin jos sellaisia on olemassa ja ${\displaystyle x^{*}\in \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle \lambda ^{*}\in \mathbb {R} ^{m))$ $\nabla L(x^{*},\lambda ^{*})=0$

(-1)^{m}{\mbox{det}}\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^ {2}}}&\lpisteet &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{p}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\ osittainen x_{1))&\lpisteet &{\dfrac {\osittais g_{m)){\osittais x_{1))}\\\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \ \{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{p}\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{ p }^{2}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p ) )}\\{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&0& \ lpisteet &0\\\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\{\dfrac {\partial g_{m)){\partial x_{1))}&\lpisteet &{\ dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right)>0

jos , funktiolla on tiukka ehdollinen minimi kohdassa . Jos $p=m+1,\ldots ,n$ $x^{*}$ $f$

(-1)^{p}{\mbox{det}}\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^ {2}}}&\lpisteet &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{p}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\ osittainen x_{1))&\lpisteet &{\dfrac {\osittais g_{m)){\osittais x_{1))}\\\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \ \{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{p}\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{ p }^{2}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p ) )}\\{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&0& \ lpisteet &0\\\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\{\dfrac {\partial g_{m)){\partial x_{1))}&\lpisteet &{\ dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right)>0

, silloin funktiolla on kohdassa tiukka ehdollinen maksimi [3] . $p=m+1,\ldots ,n$ $x^{*}$ $f$

Historia

Konseptin esitteli Ludwig Otto Hesse ( 1844 ), joka käytti eri nimeä. Termi "Hessian" loi James Joseph Sylvester .

Katso myös

Jacobilainen
Kriittinen kohta (matematiikka)
Morse Lemma
Sylvester -kriteeri on neliömatriisin positiivisen tai negatiivisen määrityksen kriteeri

Muistiinpanot

↑ Hessen . Haettu 2. huhtikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 15. huhtikuuta 2016. (määrätön)
↑ Hallam, Arne Econ 500: Kvantitatiiviset menetelmät taloudellisessa analyysissä I. Iowan osavaltio (7. lokakuuta 2004). Haettu 14. huhtikuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 19. huhtikuuta 2021. (määrätön)
↑ Neudecker, Heinz. Matriisidifferentiaalilaskenta sovelluksilla tilastoissa ja ekonometriassa / Heinz Neudecker, Jan R. Magnus. - New York: John Wiley & Sons , 1988. - s. 136. - ISBN 978-0-471-91516-4 .

Linkit

Kamynin L.I. Matemaattinen analyysi. T. 1, 2. - 2001.
Kudryavtsev L.D. ”Lyhyt kurssi matemaattisesta analyysistä. T.2. Useiden muuttujien funktioiden differentiaali- ja integraalilaskenta. Harmoninen analyysi”, FIZMATLIT, 2002, 424 s. — ISBN 5-9221-0185-4 . Tai mikä tahansa muu painos.
Golubitsky M., Guillemin V. Vakaat kartoitukset ja niiden singulariteetit, - M.: Mir, 1977.

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet