Sylvesterin kriteeri

Sylvester-kriteeri määrittää, onko symmetrinen neliömatriisi positiivinen (negatiivinen, ei -negatiivinen) määrätty .

Olkoon neliömuodolla matriisi jossain kannassa

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\lpisteet &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\lpisteet &a_ {{2n}}\\\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\lpisteet &a_{{nn}}\end{vmatrix}}\right| .

Silloin tämä muoto on positiivinen , jos ja vain jos kaikki sen kulmamorillit , joiden koko on i × i , jossa i vaihtelee kaikkien kokonaislukujen välillä 1 - n mukaan lukien, ovat positiivisia; ja on negatiivinen, jos ja vain jos merkit vuorottelevat, lisäksi [1] . Tässä matriisin kulmamollit ovat muodon determinantteja $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{1}<0$ $A$

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ vmatrix}},\ldots ,\Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{ 2i}\\\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \\a_{i1}&a_{i2}&\lpisteet &a_{ii}\end{vmatrix}},\ldots

Todiste

Neliömuodon positiivisen määrityksen kriteeri

Kriteeri sanoo sen

Jotta neliömuoto olisi positiivinen, on välttämätöntä ja riittävää , että sen matriisin kulmamollit ovat positiivisia.

Hänen todisteensa perustuu Jacobin menetelmään pelkistää neliömuoto kanoniseksi muotoksi.

Todiste välttämättömyydestä

Antaa olla positiivinen tarkka neliömuoto. Tällöin j - as diagonaalielementti on positiivinen, koska , jossa on vektori, jolla on kaikki nollakoordinaatit paitsi j -th. Kun matriisia pelkistetään kanoniseen muotoon, rivejä ei tarvitse kulmamollien rappeutumattomuudesta johtuen järjestää uudelleen, joten tämän seurauksena matriisin päämollien merkit eivät muutu. Ja kanonisessa muodossa diagonaaliset elementit ovat positiivisia, ja siten ala-arvot ovat positiivisia; siksi (koska niiden etumerkki ei muuttunut muunnosten aikana) positiiviselle määrätylle neliömuodolle millä tahansa perusteella, matriisin päämollit ovat positiivisia. $q(x)$ $q(e_{j})>0$ $e_j$

Riittävyystodistus _

Annetaan symmetrinen neliömuoto, jonka kaikki kulmikkaat mollimerkit ovat positiivisia. Tarkastellaan ensin ensimmäistä diagonaalielementtiä sen kanonisessa muodossa: sen merkin määrää ensimmäinen kulmikas molli. Lisäksi luvun etumerkki määrittää diagonaalimuodossa olevan ( i + 1) -elementin etumerkin. Osoittautuu, että kanonisessa muodossa kaikki diagonaalin elementit ovat positiivisia, eli neliömuoto on positiivisesti määritelty. [2] ${\displaystyle \Delta _{i+1}/\Delta _{i))$

Neliömäisen muodon negatiivisen määrityksen kriteeri

Jotta neliömuoto olisi negatiivinen, on välttämätöntä ja riittävää, että sen matriisin parilliset kulmamollit ovat positiivisia ja parittomat negatiiviset.

Todistus pelkistyy edelliseen tapaukseen, koska matriisi on negatiivinen, jos ja vain jos matriisi on positiivinen. Kun matriisi korvataan vastakohdalla, parittoman järjestyksen päämollit vaihtavat etumerkkiä, kun taas parillisen järjestyksen päämollit pysyvät samoina determinanttien perusominaisuuksien vuoksi. $A$ $-A$ $A$

Kvadraattisen muodon semidefiniteness-kriteeri

Positiivisille semidefinite -matriiseille kriteeri on samanlainen: muoto on positiivinen puolimääräinen silloin ja vain, jos kaikki pää-mollit ovat ei-negatiivisia. Tässä pää-molli on päädiagonaaliin nähden symmetrisen alimatriisin determinantti, eli alimatriisin, jonka sitä määrittävät sarake- ja rivinumerot ovat samat (esim. 1. ja 3. sarake ja rivit jonka leikkauspiste matriisi sijaitsee) [3] .

Pelkästään kulmamollien ei-negatiivisuus ei riitä, mikä seuraa vastaesimerkistä : , mutta muoto ei ole positiivinen semidefiniitti. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $\Delta _{1}=\Delta _{2}=0\geqslant 0$

Katso myös

James Joseph Sylvester

Muistiinpanot

↑ Sylvesterin kriteeri neliömuodon merkkimääräisyydelle . (määrätön)
↑ D. V. Beklemishev, Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi , Moskova: FIZMATLIT, 2007.
↑ Kim G.D., Kritskov L.V. Algebra ja analyyttinen geometria: lauseita ja tehtäviä. T. 2.2 . - Moskova: Zertsalo, 2003. - S. 155. - 251 s. — ISBN 5-94373-077-X .