Dini-johdannainen

Reaalimuuttujien funktioiden analyysissä Dini - derivaatat ovat yksi derivaatan käsitteen yleistyksistä .

f:{{\mathbb R}}\rightarrow {{\mathbb R}},

merkitty ja määritelty ${\displaystyle f'_{+))$

f'_{+}(t)\triangleq \varlimsup _{{h\to {0+}}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

missä on yläosaraja . $\varlimsup$

Alempi Dini-johdannainen määritellään seuraavasti $f'_{-},$

f'_{-}(t)\triangleq \varliminf _{{h\to {0+}}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

missä on alempi osaraja . $\varliminf$

Jos määritellään vektoriavaruudessa , niin ylempi Dini-derivaata suunnan pisteessä määritellään seuraavasti $f$ $t$ $d$

f'_{+}(t,d)\triangleq \varlimsup _{{h\to {0+}}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.

Jos on paikallisesti Lipschitz (eli jokaisella pisteellä on lähiö , jonka rajoitus on Lipschitz-funktio), niin on äärellinen. Jos se on differentioituva pisteessä , Dini-derivaata siinä pisteessä on sama kuin tavallinen derivaatta kohdassa . $f$ $f$ ${\displaystyle f'_{+))$ $f$ $t$ $t$

Muistiinpanot

Joskus merkintää käytetään sen sijaan ja käytetään sen sijaan $D^{+}f(t)$ $f'_{+}(t),$ $D_{+}f(t)$ $f'_{-}(t).$

He käyttävät myös merkintää

D^{-}f(t)\triangleq \varlimsup _{{h\to {0-}}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

D_{-}f(t)\triangleq \varliminf _{{h\to {0-}}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

Siten, kun käytetään -merkintää Dini-johdannaisille, plus- ja miinusmerkit osoittavat vasen- tai oikeakätisen rajan ja merkin sijainti osoittaa derivaatan tyypin (ylempi tai alempi). $D$

Laajennetulla numerorivillä jokainen Dini-johdannaisista on aina olemassa, mutta joskus ne voivat ottaa arvot tai $+\infty$ $-\infty$

Kirjallisuus

Royden, H.L. Todellinen analyysi (määrittämätön) . – 2. - MacMillan, 1968. - ISBN 978-0-02-404150-0 .

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet