Asymptootti

Asymptootti , tai asymptootti [1] ( toisesta kreikasta ἀσύμπτωτος - ei-yhdenmukainen, ei kosketa käyrää äärettömällä haaralla ) - suora viiva , jolla on ominaisuus, että etäisyys käyrän pisteestä tähän suoraan pyrkii olemaan nolla, kun piste poistetaan haaraa pitkin äärettömään [2] . Termi esiintyi ensimmäisen kerran Apolloniuksessa Pergalainen , vaikka Arkhimedes tutki hyperbolan asymptootteja [3] .

Graafisten asymptoottien tyypit

Pysty

Lomakkeen suora on pystysuora asymptootti, kun vähintään yksi yhtälöistä täyttyy: $x=a$

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$ .

Pystysuuntaisia asymptootteja voi olla mikä tahansa määrä.

Viiva ei voi olla pystysuora asymptootti, jos funktio on jatkuva kohdassa . Siksi vertikaalisia asymptootteja tulisi etsiä funktion epäjatkuvuuspisteistä. $a$

Vaakasuora ja vino

Vino asymptootti on muodon suora , jos vähintään yksi yhtälöistä täyttyy: $y=kx+b$

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b$
$\lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b$ .

Lisäksi, jos ensimmäinen ehto täyttyy, he sanovat, että tämä rivi on asymptootti kohdassa , ja jos toinen, niin asymptootti kohdassa [4] . $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

Jos , niin asymptoottia kutsutaan myös horisontaaliseksi . $k = 0$

Huomautus 1: Funktion vinojen asymptoottien määrä ei voi olla enempää kuin kaksi: yksi for ja yksi for , mutta sillä voi olla yksi tai ei ollenkaan. $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

Huomautus 2: Jotkut lähteet sisältävät vaatimuksen, että käyrä ei leikkaa tätä suoraa äärettömän lähellä [5] .

Huomautus 3: Joissakin tapauksissa, kuten algebrallinen geometria, asymptootti määritellään suoraksi viivaksi, joka on "tangentti" käyrälle äärettömässä [5] .

Asymptootien etsiminen

Asymptootien etsintäjärjestys

Epäjatkuvuuspisteiden etsiminen, pisteiden valitseminen, joissa on pystysuora asymptootti (suoralla varmentamalla, että raja tässä pisteessä on ääretön).
Tarkistaa, ovatko rajat ja eivät ole rajallisia . Jos näin on , ja vastaavasti on horisontaalinen asymptootti . $\lim _{x\to +\infty }f(x)=b$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=b$ $y=b$ $+\infty$ $-\infty$
Kahden rajan löytäminen $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
Kahden rajan löytäminen , jos vähintään yksi kappaleen 3 tai 4 rajoista ei ole olemassa (tai on yhtä suuri kuin ), niin vino-asymptoottia kohdassa (tai ) ei ole olemassa. $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$ $\pm\infty$ $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

Vino asymptootti - kokonaislukuosan valinta

Myös vino asymptootti löytyy poimimalla kokonaislukuosa. Esimerkiksi:

Annettu funktio . $f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1))$

Jakamalla osoittajan nimittäjällä, saamme : $f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2} {x^{2}+1}}$

klo , , $x\to \pm \infty$ $\frac{x+2}{x^2+1} \arvoksi 0$

ja on haluttu vino asymptoottiyhtälö ja molemmilla puolilla. $y=2x+5$

Ominaisuudet

Kartioleikkauksista vain hyperboleilla on asymptootteja . Hyperbolan asymptootit kartioleikkauksena ovat samansuuntaisia kartion generaattoreiden kanssa, jotka sijaitsevat kartion kärjen kautta kulkevassa tasossa, joka on yhdensuuntainen leikkaustason kanssa [6] . Hyperbolan asymptoottien välinen maksimikulma tietylle kartiolle on yhtä suuri kuin kartion avautumiskulma ja se saavutetaan kartion akselin suuntaisella leikkaustasolla.

Katso myös

Asymptoottinen käyrä

Muistiinpanot

↑ Kaksinkertainen stressi on osoitettu Neuvostoliiton Encyclopedic Dictionary -sanakirjassa. 1800-luvun ja 1900-luvun ensimmäisen puoliskon sanakirjoissa (esimerkiksi kirjassa: Vieraiden sanojen sanakirja / Toimittaneet I.V. Lyokhin ja prof. F.N. Petrov. - M . : State Publishing House of Foreign and National. dictionaries, 1955. - s. 77. - 856 s. ), stressin "asymptootin" ainoa variantti osoitettiin.
↑ Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 1.
↑ Matemaattinen tietosanakirja Arkistokopio , päivätty 1. elokuuta 2013 Wayback Machinessa - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - 847 s.
↑ Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Business Bustard", 2003. - T. 1. - S. 374-375. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ 1 2 Louis A. Talmanin "asymptootit".
↑ Taylor C. Geometrical Conics; Mukaan lukien anharmoninen suhde ja projektio, lukuisine esimerkein . - Cambridge: Macmillan , 1863. - s. 170.

Kirjallisuus

Rashevsky P.K. Differentiaaligeometrian kurssi, 4. painos. M., 1956.
Funktiokaaviot: käsikirja / Virchenko N. A., Lyashko I. I., Shvetsov K. I. - Kiova: Nauk. Dumka, 1979, - 320 s.

Linkit

Asymptootti // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osana (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Asymptootti / E. G. Poznyak // Angola - Barzas. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1970. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 osassa] / päätoimittaja A. M. Prokhorov ; 1969-1978, osa 2).