Kaaren takaa

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. kesäkuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Chase -käyrä on käyrä , joka edustaa "chase"-ongelman ratkaisua, joka esitetään seuraavasti. Anna pisteen liikkua tasaisesti tiettyä käyrää pitkin. On löydettävä pisteen tasaisen liikkeen lentorata siten, että radan tangentti kulkisi millä tahansa liikehetkellä tätä hetkeä vastaavan pisteen paikan läpi . $A$ $P$ $A$

Historia

Kaarevan takaa-ajon ongelman esitti Leonardo da Vinci ja Bouguer ratkaisi sen vuonna 1732.

Yleinen tapaus ongelman asettamisesta

Suorayhtälön johtamiseksi valitaan koordinaattijärjestelmä, jossa abskissa-akseli kulkee pisteiden alkupisteen ja pisteen kautta ja piste on xAy- koordinaattijärjestelmän origossa . Pisteiden vakionopeuksien suhdetta merkitään k . $P$ $A$ $A$

Jos oletetaan, että äärettömän lyhyessä ajassa piste ohitti etäisyyden , ja piste - etäisyyden , niin yllä olevan ehdon mukaan saadaan relaatio , tai $P$ $dS$ $A$ $dS_{1}$ $dS=kdS_{1}$

{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=k{\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}}}.

(yksi)

Lisäksi pitäisi ilmaista ja x :n, y: n ja niiden differentiaalien avulla. Ehdolla pisteen koordinaattien on täytettävä halutun käyrän tangentin yhtälö, eli $d\xi$ $d/eta$ $P$

\eta -y={\frac {dy}{dx}}(\xi -x).

Lisäämällä tähän yhtälöön ehdon antama "väittäjä"-liikkeen liikeradan yhtälö, saadaan tuloksena olevasta yhtälöjärjestelmästä ja . Kun nämä arvot on korvattu differentiaaliyhtälössä (1), se kirjoitetaan muotoon $F(\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

\Phi \left(x,y,{\frac {dy}{dx)),{\frac {d^{2}y}{dx^{2))}\right)=0

Integroinnin vakiot löytyvät alkuehdoista ( at ). $y=0;y'=0$ $x=0$

Yleisessä tapauksessa mielivaltaisesti annetulle käyrälle on melko vaikeaa löytää ratkaisua tuloksena olevaan yhtälöön. Ongelma yksinkertaistuu huomattavasti, jos tarkastellaan yksinkertaisinta tapausta, jolloin "väistäjän" liikerata on suora. $F(\xi ,\eta )$

Yksinkertainen chase curve

Yksinkertainen ajokäyrä saadaan yksinkertaisessa tapauksessa, jossa tavoiteltu piste liikkuu suorassa linjassa. Pierre Bouguer kuvasi sen ensimmäisen kerran vuonna 1732. Myöhemmin Pierre Louis de Maupertuis harkitsi muiden tapausten takaa-ajokäyrää.

Määritelmä

Olkoon tavoittelun kohteen lähtökohta ja olkoon takaa-ajan lähtökohta. Anna pisteen liikkua tasaisesti nopeudella johonkin tiettyyn suuntaan ja pisteen liikkua nopeudella , joka on aina suunnattu pisteeseen . Pisteen liikerata on yksinkertainen takaa-ajokäyrä. $A_0$ $P_0$ $A$ $V=vakio$ $P$ $W=vakio$ $A$ $P$

Yhtälö suorakulmaisina koordinaatteina

Päästää $k={\tfrac {V}{W}}$

Liikkukoon myös piste A x - akselia pitkin . Sitten $A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0),$

x(y)={1 \over 2}\left({{1-y^{(1-k)}} \over (1-k)}-{{1-y^{(1+ k)}} \yli {(1+k)}}\oikea)

varten

k\neq 1

x(y)={1 \over 4}\cdot \left({y^{2}}-\ln {y^{2}}-1\right)

varten

k = 1\;

Johtopäätös

Tarkastellaan tapausta A 0 (0,0), P 0 (0,1) , kun "väittäjä" liikkuu x -akselia pitkin ja k > 0. Satunnaisella ajanhetkellä "väittäjä" on aina päällä "Jahtaajan" liikeradan käyrän tangentti, eli

{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}={\frac {-y}{ax}},

jonka perusteella kirjoitamme differentiaaliyhtälön :

y+y'(ax)=0\;

, missä

y>0

Se seuraa ehdosta , erottelun jälkeen ajan suhteen ja , jonka perusteella: $a=V\cdot t$ ${\frac {y}{y'}}+Vt=x$ ${\piste y}=y'\cdot {\piste x}$ ${\piste y}'=y''\cdot {\piste x}$

{\piste x}={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {V\cdot y'^{2}}{y\cdot y ''}}

Kirjoitetaan lauseke käyrän pituuden määrittämiseksi :

l=Wt=k\int _{0}^{x}{\sqrt {1+(y')^{2}}}{\mathrm {d}}x

From

{\mathrm {d}}x^{2}+{\mathrm {d}}y^{2}=W^{2}{\mathrm {d}}t^{2}

w^{2}={\frac {{\mathrm {d}}x^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\frac {{\mathrm {d}} y^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}={\piste x}^{2}+(y'\cdot {\piste x})^{2}

pitäisi

{\piste x}={\frac {W}{{\sqrt {1+y'^{2))))}

Samalla tavalla eroamme suhteessa : $y$

y''-k\cdot {\frac {y'^{2}}{y}}\cdot {\sqrt {1+y'^{2}}}=0

Korvausratkaisu

u=x'={\frac {1}{y'}},y''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {{\mathrm {d}}u}{ {\mathrm {d}}x}}

kun muuttujien erottelu johtaa

{\frac {-{\mathrm {d}}u}{{\sqrt {1+u^{2}}}}}=k\cdot {\frac {{\mathrm {d}}y}{y} }

integroinnin jälkeen saamme:

\operaattorinimi {arsinh}u=k\cdot \ln y+C

ja edelleen kun käytämme sinh : n muodollista määritelmää , saamme: $C_{1}=e^{C}$

x'={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}y}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot y) ^{k}-(C_{1}\cdot y)^{{-k}}\oikea]

Integroi uudelleen integrointivakion määritelmään . Alkuolosuhteista lähtien $C_{2}$

\left.{\tfrac {dx}{dy}}\right|_{{y=1}}=0

pitäisi

C_{1}=1

yhtä hyvin kuin

\left.x\right|_{{y=1}}=0

saamme:

C_{2}={\frac {k}{1-k^{2))}

tai varten

C_{2}=-{\frac {1}{4}}

k = 1

tai:

x(y)={1 \over 2}\left({\begin{matrix}\quad \\{y^{{(1+k)}} \over (1+k)}\\\quad \end {matriisi}}-\vasen\lsulku {\begin{matrix}{y^{{(1-k)}} \over (1-k)}\\{\ln {|y|}}\end{matriisi }}\oikea\rsulke \oikea)+\vasen\lsulku {\begin{matrix}{k \over {1-k^{2}}}\\-{1 \over 4}\end{matrix}}\ oikea\rsulku \ {\begin{cases}{k\neq 1}\\{k=1}\end{cases))

Näiden yhtälöiden perusteella voidaan saada yllä olevat yhtälöt.

Ominaisuudet

Jos k > 1 , takaa-ajolinja ylittää "väistäjän" liikelinjan ja piste P todellakin ohittaa pisteen A.

Kun k ≤ 1 , takaa-ajolinja lähestyy asymptoottisesti "väistäjän" liikelinjaa ja piste P ei ohita pistettä A.

Kun rationaalinen arvo on k ≠ 1 , linja on algebrallinen käyrä. Kun k = 1 ja kun k on irrationaalinen, chase-käyrästä tulee transsendenttinen käyrä.

Kun k = 1 (samalla "takaajan" ja "väittäjän" nopeuksilla), takaa-ajokäyrä muistuttaa tractrixia , mutta siinä on eri yhtälö.

Useita harjoittajia koskeva ongelma

Käytännön sovellus

Taajuuskäyrän rakentamisen tehtävä nousi ensin esille laivan kurssia valittaessa ulkoiset tekijät (sivutuulet, virrat) huomioiden matkan määränpään optimaalisen saavuttamiseksi.

Tämä ongelma syntyi jälleen sukellusveneiden, torpedojen ja myöhemmin ohjattujen ohjusten sotilaallisessa käytössä liikkuvien kohteiden saavuttamiseksi ja tuhoamiseksi. Lisäksi chase-käyrää käytetään avaruusnavigaatiossa.

Ohjusten kohdistusjärjestelmät

Ohjuksen kohdistusjärjestelmän päätehtävänä on varmistaa, että se osuu kohteeseen tai sieppaa kohteen minimimittauksella. Koska ohjatuilla ohjuksilla on kyky muuttaa ohjuksen lentorataa välittömästi laukaisun jälkeen, on monia lentoratoja, joita pitkin suuntautuva ohjus osuu kohteeseen. Mutta käytännössä he yrittävät valita sen, joka tietyissä ampumisolosuhteissa tarjoaa suurimman todennäköisyyden osua kohteeseen.

Ohjuksen ohjausjärjestelmän toiminnan taustalla olevaa tilaa kutsutaan ohjausmenetelmäksi. Ohjausmenetelmä määrittää ohjuksen teoreettisen lentoradan. Valittu ohjausmenetelmä toteutetaan pääsääntöisesti laskentalaitteen avulla, joka vastaanottaa tietoa ohjuksen ja kohteen suhteellisesta sijainnista, niiden kulkunopeuksista ja -suunnista. Näiden tietojen perusteella lasketaan ohjuksen haluttu lentorata ja määritetään sen edullisin kohtaamispiste kohteen kanssa. Laskelmien tulosten perusteella generoidaan ohjauskomennot, jotka saapuvat ohjausperäsimelle. Peräsimet ohjaavat rakettia tietyn lain mukaan. Yksi ohjuksen ohjausmenetelmistä on matemaattisten suhteiden käyttö, jotka kuvaavat chase-käyrää [1] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Laajemmassa merkityksessä pisteen liikkeen tasaisuutta ei vaadita, ja tässä mielessä tractrix chase -käyrä on . $P$

Muistiinpanot

↑ Kurotkin V.I., Sterligov V.L. Ohjuksen haku. M.: Neuvostoliiton puolustusministeriön sotilaskustantamo. 1963, 88 s.

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto