Kierre

Encyclopedia of Mathematics -julkaisun mukaan spiraalit ovat tasokäyriä, jotka "yleensä kiertävät yhden (tai useamman pisteen) lähestyen sitä tai siirtyen pois siitä." Tämä termin tulkinta ei ole tiukasti formalisoitu määritelmä. Jos jonkin tunnetun käyrän nimessä on epiteetti "spiraali", sitä tulee käsitellä historiallisena nimenä.

Yksi tiukan määrittelyn vaihtoehdoista, jos oletetaan käyrän napayhtälön monotonisuutta , ei ole universaali: valitsemalla toinen napa, olemassa oleva monotonisuus voidaan rikkoa, ja vain tämän vuoksi käyrä "lakkaa olemasta spiraali". huolimatta siitä, että se itse ei ole muuttunut. Cotesin - monotoninen napayhtälö, kun taas spiraalissa on kaksi napaa, joten sitä ei voida kuvata kokonaan napakoordinaateilla.

Kaarevuuden monotonisuuteen perustuvat määritelmät

Spiraalin muodollinen määritelmä, joka perustuu kaarevuuden monotonisuuteen , on otettu käyttöön monografiassa [1] (luku 3-3, Spiraalikaaret ). Tämä edellyttää kaarevuuden jatkuvuutta käyrän kaaren pituuden funktiona ja vain kuperia käyriä otetaan huomioon [2] . Spiraali on tässä mielessä ellipsin neljännes (kahden vierekkäisen kärjen välillä). Kiinnostus tällaisia ​​käyriä kohtaan johtui suurelta osin soikeasta neljän pisteen lauseesta , jonka mukaan (käsiteltävän määritelmän mukaan) yksinkertainen suljettu käyrä jatkuvalla kaarevalla koostuu vähintään neljästä spiraalikaaresta.

Juuri näitä määritelmiä, joissa on tiettyjä selvennyksiä kuperuudesta, tiukasta / ei-tiukkasta monotonisuudesta, jatkuvuudesta ja kaarevuuden pysyvyydestä, käyrän täydellisen pyörimisen rajoituksista, käytetään sovelluksissa tietokoneavusteisen suunnittelun alalla . Tärkeimmät sovellukset liittyvät suurten teiden rakentamiseen, erityisesti siirtymäkäyrien rakentamiseen , mikä mahdollistaa asteittaisen kaarevuuden muutoksen polun varrella.

Yleisempi määritelmä, joka ei vaadi kaarevuuden jatkuvaa etumerkkiä ja jatkuvuutta, vaan ainoastaan ​​sen monotonisuutta, otetaan käyttöön artikkelissa [3] . Tämän määritelmän puitteissa käyrän ominaisuus olla spiraali on muuttumaton käyrän lineaaristen murto- osien kuvauksissa.

Katso myös

• Vogtin lause
• Biduga

Litteät spiraalit

Ympyrää voidaan pitää spiraalin rappeutuneena erikoistapauksena (kaarevuus ei ole tiukasti monotoninen, vaan vakio ).

Jotkut tärkeimmistä 2D-spiraalityypeistä ovat:

• Archimedean spiraali : ;
• Theodorian spiraali : Arkhimedeen spiraalin likiarvo, joka koostuu vierekkäisistä suorakulmaisista kolmioista
• Spiraalifarmi : ; on kärkipiste osoitteessa .
• Hyperbolinen spiraali : ;
• Rod :
• Logaritminen spiraali , jonka likimääräinen muoto löytyy luonnosta: ;
• Fibonacci-spiraali ja kultainen spiraali , joka on logaritmisen spiraalin erikoistapaus
• Cornu spiraali tai Euler spiraali tai clothoid :.

• Archimedean spiraali

• Spiraali Cornu

• Spiraalifarmi

• hyperbolinen spiraali

• Vino sauva (lituus)

• logaritminen spiraali

• Theodoren spiraali

• Fibonacci-spiraali (kultainen spiraali)

• Ympyrä evoluutio (musta) ei vastaa Arkhimedeen spiraalia (punainen).

3D-spiraalit

Kuten kaksiulotteisessa tapauksessa, r  on θ : n jatkuva monotoninen funktio .

Yksinkertaisille kolmiulotteisille spiraaleille kolmas muuttuja h  on myös θ :n jatkuva monotoninen funktio . Esimerkiksi kartiomainen heliksi voidaan määritellä spiraaliksi kartiomaisella pinnalla, jonka etäisyys kärjestä on θ :n eksponentiaalinen funktio .

Monimutkaisissa kolmiulotteisissa spiraaleissa, kuten pallospiraalissa , h kasvaa θ :lla pisteen toisella puolella ja pienenee toisella puolella.

Pallomainen spiraali

Pallomainen spiraali ( loksodromi ) on pallolla oleva käyrä, joka leikkaa kaikki meridiaanit yhdessä kulmassa (ei oikeassa ). Tällä käyrällä on ääretön määrä kierroksia. Niiden välinen etäisyys pienenee, kun lähestyt napoja.

Spiraalikappaleet

• Koton kuori _
• eukaryoottinen sytoskeleto
• Kierre mekaanisen kellon tasapainossa , spiraalijousi kellomittarin sähköisessä mittausmekanismissa
• Kierrejousi mekaanisissa kelloissa ja leluissa
• Sykloni , antisykloni
• spiraaligalaksit
• Kollageeni  on oikeanpuoleinen fibrillaarinen proteiini .
• Rullaa
• DNA
• Siementen leviäminen auringonkukassa ja muissa Compositae -heimon kasveissa
• Vortex
• Myrskytuuli
• Caduceus
• uima-allas
• poreallas
• Ammoniitit (pääjalkaiset)
• Sarvet
• Romanesco (kaali)

Katso myös

• Helicoid
• sinimuotoinen spiraali

Muistiinpanot

1. ↑ Guggenheimer HW Differentiaaligeometria.. - New York: Dover Publications, 1977. - S. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
2. ↑ ... eli sellainen, että kaari ja sen jänne muodostavat kuperan kuvion .
3. ↑ Kurnosenko A.I. Tasospiraalikäyrien yleiset ominaisuudet // Notes of Scientific Seminars POMI: Osa 353. - 2009. - S. 93-115 . — ISSN 0373-2703 .

Kirjallisuus

• Cook, T., 1903. Spiraalit luonnossa ja taiteessa . Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. Elämän käyrät . Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiraalisiirtymäkäyrät ja niiden sovellukset . Scientiae Mathematicae Japonicae 61(2), 195-206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Kohtuullinen kuutio siirtymä kahden ympyrän välillä, kun yksi ympyrä on sisällä tai tangentti toista . Numeeriset algoritmit 51, 461-476 [1]  (linkki ei käytettävissä) .
• Harary, G., Tal, A., 2011. Luonnollinen 3D-spiraali . Computer Graphics Forum 30(2), 237-246 [2] .
• Xu, L., Mold, D., 2009. Magneettiset käyrät: kaarevuusohjatut esteettiset käyrät magneettikentillä . Teoksessa: Deussen, O., Hall, P. (toim.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. Eurographs Association [3] .
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Reilun käyrän suunnittelu monotoneilla kaarevuuskappaleilla . Computer Aided Geometric Design 21(5), 515-527 [4] .
• A. Kurnosenko. Inversion käyttäminen tasomaisten, rationaalisten spiraalien rakentamiseen, jotka täyttävät kahden pisteen G2 Hermite -tiedot . Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [5] .
• A. Kurnosenko. Kaksipisteinen G2 Hermite-interpolointi spiraaleilla hyperbelin inversiolla . Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, KT, 2006. Yleinen yhtälö esteettisistä käyristä ja sen itsesaffiniteetista . Computer Aided Design and Applications 3 (1-4), 457-464 [6] .
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Esteettisten käyrien yleisen kaavan derivointi . Julkaisussa: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japani, s. 166-171 [7] .
• Meek, D., Walton, D., 1989. Cornu-spiraalien käyttö kontrolloidun kaarevuuden tasomaisten käyrien piirtämisessä . Journal of Computational and Applied Mathematics 25(1), 69-78 [8] .
• Farin, G., 2006. Luokan A Bezier-käyrät . Computer Aided Geometric Design 23(7), 573-581 [9] .
• Farouki, RT, 1997. Pythagorean-hodographin monotonisen kaarevuuden kvinttiset siirtymäkäyrät . Computer Aided Design 29(9), 601-606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interaktiiviset esteettiset käyräsegmentit . The Visual Computer 22(9), 896-905 [10] .
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Kvasiesteettiset käyrät rationaalisissa kuutio Bézier-muodoissa . Computer-Aided Design and Applications 4 (9-10), 477-486 [11] .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Log-estettisten käyrien analyyttiset parametriset yhtälöt epätäydellisten gammafunktioiden suhteen . Computer Aided Geometric Design 29(2), 129-140 [12] .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. G2-monispiraalisen siirtymäkäyrän sovitus, joka yhdistää kaksi suoraa linjaa , Computer-Aided Design 44(6), 591-596 [13] .
• Ziatdinov, R., 2012. Superspiraalien perhe, jolla on täysin monotoninen kaarevuus Gaussin hypergeometrisen funktion perusteella . Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518, 2012 [14] .
• Ziatdinov, R., Miura KT, 2012. Tasospiraalien valikoimasta ja niiden sovelluksista tietokoneavusteisessa suunnittelussa . European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [15] .