Neljän kärjen lause

Neljän pisteen lauseessa sanotaan, että yksinkertaisen suljetun sileän tasokäyrän kaarevuusfunktiolla on vähintään neljä paikallista ääripäätä (erityisesti vähintään kaksi paikallista maksimia ja vähintään kaksi paikallista minimiä). Lauseen nimi kuvastaa käytäntöä kutsua kaarevuusfunktion ääripisteitä pisteiksi .

Esimerkkejä

• Ellipsillä , jossa on epätasainen puoliakseli, on täsmälleen neljä kärkeä - kaksi paikallista kaarevuusmaksimia ellipsin ja pääakselin leikkauspisteissä ja kaksi paikallista minimiä sivuakselin leikkauspisteissä.
• Ympyrässä kaikki pisteet ovat sekä kaarevuuden paikallisia maksimia että paikallisia minimejä, joten siinä on äärettömän monta kärkeä.
• On itsestään leikkaavia suljettuja käyriä, joissa on kaksi kärkeä; tällainen on esimerkiksi Pascalin etana itseleikkauksella. Eli lauseen käyrän yksinkertaisuuden ehto on olennainen.

Historia

Intialainen matemaatikko Mukhopadhyaya [1] osoitti alun perin vuonna 1909 neljän pisteen lauseen kuperille käyrille (eli käyrille, joilla on ehdottomasti positiivinen kaarevuus) . Hänen todistuksensa käyttää sitä tosiasiaa, että käyrän pisteet ovat kaarevuusfunktion ääripäät silloin ja vain, jos tangenttiympyrällä on 3. kertaluvun tangentti käyrän kanssa tässä pisteessä (yleensä tangenttiympyrällä on vain 2. kertaluvun tangentti käyrän kanssa) . Neljän kärjen lauseen osoitti yleisessä tapauksessa Adolf Kneser vuonna 1912 käyttäen projektiiivisen geometrian ideoita [2] . Nykyään tunnetaan useita eri ideoihin perustuvia todisteita. [3] Yksi Robert Osermanin ehdottamista yksinkertaisimmista vaihtoehdoista perustuu minimaalisen ulottuvan ympyrän huomioimiseen . [neljä]

Käänteinen lause

Käänteinen neljän kärjen lause sanoo, että mikä tahansa jatkuva reaalifunktio ympyrässä, jossa on vähintään kaksi maksimipistettä ja vähintään kaksi minimipistettä, on jonkin yksinkertaisen suljetun tasokäyrän kaarevuusfunktio. Hermann Gluck osoitti lauseen tiukasti positiivisille funktioille vuonna 1971 n-pallojen ennalta määrättyä kaarevuutta koskevan yleisen lauseen erikoistapauksena [5] . Bjorn Dahlberg osoitti täydellisen käänteisen neljän pisteen lauseen vähän ennen kuolemaansa tammikuussa 1998 ja julkaisi sen postuumisti [6] . Dahlbergin todistuksessa käytetään pisteen järjestystä suhteessa käyrään , joka on jokin topologinen versio algebran peruslauseen todistuksesta [7] .

Sovellukset mekaniikassa

Yksi lauseen seurauksista on, että tasaisella tasaisella kiekolla, joka vierii vaakatasossa painovoiman vaikutuksesta, on vähintään 4 tasapainopistettä. Tämän lauseen diskreettiversio sanoo, että monostaattista monikulmiota ei voi olla . Kolmiulotteisessa avaruudessa on kuitenkin olemassa monostaattinen monitahoinen, ja siellä on kupera homogeeninen esine, jossa on kaksi tasapainopistettä (yksi stabiili ja yksi epävakaa) - gömböts .

Muunnelmia ja yleistyksiä

• Jokaisella tasaisella suljetulla käyrällä, jolla on vakioleveys , on vähintään 6 kärkeä.

• Pestov-Ionin-lause : Jokaisella yksinkertaisella tasaisella suljetulla säännöllisellä käyrällä tasossa on kaksi pistettä, joissa tangenttiympyrä sisältyy rajatun käyrän alueelle; on myös kaksi pistettä, joiden tangenttiympyrä sisältyy rajatun käyrän ulompaan suljetulle alueelle.
  • Mikä tahansa näistä neljästä pisteestä on käyrän kärki. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa, joten Pestov-Ionin-lause yleistää neljän kärjen lauseen.

• Lauseen on olemassa useita erillisiä versioita sekä konveksille että ei-konvekseille monikulmioille [8] . Tässä on joitain niistä:
  • ( Bilinsky ) Kuperan tasasivuisen monikulmion kulmien sarjalla on vähintään neljä ääripäätä .
  • Kuperan tasakulmaisen monikulmion sivujen pituuksien sarjalla on vähintään neljä ääripäätä .
  • (Musin) Monikulmion kolmen peräkkäisen kärjen ympärille rajattua ympyrää kutsutaan äärimmäiseksi , jos se sisältää kaikki monikulmion loput kärjet tai ei sisällä yhtään niistä. Kuperaa monikulmiota kutsutaan yleiseksi , jos samalla ympyrällä ei ole neljää kärkeä. Jokaisessa yleisessä kuperassa monikulmiossa on vähintään neljä äärimmäistä ympyrää.
  • ( Legendre - Cauchy ) Kahdella kuperalla n -kulmiolla, joilla on samanpituiset vastaavat sivut, on joko vähintään neljä merkkimuutosta vastaavien kulmien erojen sarjassa tai niillä ei ole etumerkkimuutoksia.
  • ( A.D. Aleksandrov ) Kahdella kuperalla n - kulmiolla , joilla on vastaavat yhdensuuntaiset sivut ja yhtä suuri pinta-ala, on joko vähintään 4 etumerkkimuutosta vastaavien sivujen pituuksien erojen sarjassa tai ei lainkaan etumerkkimuutoksia.

Katso myös

• Jacobin viimeinen geometrinen olettamus

Muistiinpanot

1. ↑ S. Mukhopadhyaya. Uusia menetelmiä tasokaarin geometriassa // Bull. Kalkutan matematiikka. soc. - 1909. - T. 1 . - S. 21-27 .
2. ↑ Adolf Kneser. Festschrift Heinrich Weber. - Teubner, 1912. - S. 170-180.
3. ↑ Jackson, S. B. Tasokäyrien kärjet. Sonni. amer. Matematiikka. soc. 50 (1944).
4. ↑ Osserman, Robert (1985), The four-or-more vertex theorem , American Mathematical Monthly T. 92 (5): 332-337 , DOI 10.2307/2323126  .
5. ↑ Herman Gluck. Käänteinen neljän pisteen lauseelle // L'Enseignement Math .. - 1971. - T. 17 . - S. 295-309 .
6. ↑ Björn Dahlberg. Neljän pisteen lauseen käänteinen  // Proc. amer. Matematiikka. soc. - 2005. - T. 133 , no. 7 . - S. 2131-2135 . - doi : 10.1090/S0002-9939-05-07788-9 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. joulukuuta 2007.
7. ↑ DeTruck, D., Gluck, H., Pomerleano, D., ja Vick, D.S. The Four Vertex Theorem and Its Converse  // Notices of the American Mathematical Society. - 2007. - T. 54 , no. 2 . - S. 9268 . — . — arXiv : math/0609268 . Arkistoitu alkuperäisestä 3. huhtikuuta 2018.
8. ↑ Igor Pak Diskreetin ja monitahoisen geometrian luentoja Arkistoitu 29. tammikuuta 2009. , jakso 21.

Kirjallisuus

• Luento 10, Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matemaattinen suuntaaminen . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 kappaletta.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .