Episykloidi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8.3.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Episykloidi ( toisesta kreikasta ὲπί - päällä, yli, at ja κύκλος - ympyrä, ympyrä) - tasainen käyrä , jonka muodostaa ympyrän kiinteä piste , joka vierii toisen ympyrän ulkosivua pitkin liukumatta. Leibnizin mukaan aiemmin vuonna 1676 Ole Römer teki käytännössä tärkeän löydön, että hammaspyörän episykloidiset hampaat tuottavat vähiten kitkaa.

Yhtälöt

Jos kiinteän ympyrän keskipiste on koordinaattien origossa, sen säde on , sitä pitkin vierivän ympyrän säde on , niin episykloidi kuvataan parametrisillä yhtälöillä suhteessa : $R$ $r$ $\varphi$

{\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r))\varphi )\\y=(R+r)\ sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}

missä on episykloidia kuvaavan pisteen kiertokulma suhteessa liikkuvan ympyrän keskipisteeseen liikkeen alkamishetkellä (vastapäivään x-akselista), on parametri, mutta itse asiassa tämä on kaltevuuskulma keskipisteiden välinen segmentti akseliin . $\alpha$ $\varphi$ $HÄRKÄ$

Voit syöttää arvon , jolloin yhtälöt näkyvät muodossa $\textstyle k={\frac {R}{r}}$

{\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y =r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}

Arvo määrittää episykloidin muodon. Kun episykloidi muodostaa kardioidin ja kun se muodostaa nefroidin . If on muodon ( ) pelkistymätön murto-osa , niin on annetun episykloidin kärkien lukumäärä ja vierintäympyrän täydellisten kierrosten lukumäärä. Jos irrationaalinen luku , käyrä ei ole suljettu ja siinä on ääretön määrä yhteensopimattomia pyörteitä. $k$ $k = 1$ $k = 2$ $k$ ${\frac {m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $m$ $n$ $k$

Epikykloidit parametrin k eri arvoille:
$k = 1$ ( kardioidi )
$k = 2$ ( nefroidi )
$k = 3$
$k={\frac {3}{4))$
$k={\frac {1}{3}}$
$k=0.5={\frac {1}{2))$
$k=2.1={\frac {21}{10}}$
$k=3.8={\frac {19}{5}}$
$k=5,5={\frac {11}{2}}$
$k=7.2={\frac {36}{5}}$

Haetaan

Olkoon - haluttu piste, - pisteen poikkeamakulma kahden ympyrän kosketuspisteestä, - poikkeamakulma näiden ympyröiden keskipisteiden välillä.

P

\alpha

P

\theta

Koska ympyrä rullaa liukumatta, niin

\ell _{R}=\ell _{r}

Ympyrän kaaren pituuden määritelmän mukaan :

\ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r

Näistä kahdesta lausunnosta seuraa, että

\theta R=\alpha r

Saamme suhteet :

\alpha

\alpha ={\frac {R}{r}}\theta

Olkoon kiinteän ympyrän keskipiste, toisen ympyrän keskipiste . Se on selvää

A

B

{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}

Kirjoitetaan koordinaatit uudelleen :

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta ;\left(R+r\right)\sin \theta )))+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))))={\overrightarrow {(\left(R) +r\oikea)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right);\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \oikea))}}

Siksi pisteen sijainti on: $s$

x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\ cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\ sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

Katso myös

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto