Superellipsi

Superellipsi ( Lame curve ) on geometrinen käyrä , joka määritellään suorakulmaisina koordinaatteina yhtälön avulla

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1

missä n , a ja b ovat positiivisia lukuja.

Kaava määrittelee suljetun käyrän, jota rajoittaa suorakulmio − a ≤ x ≤ + a ja − b ≤ y ≤ + b . Parametreja a ja b kutsutaan käyrän puoliakseleiksi tai puolihalkaisijaksi.

Kun n on välillä 0 ja 1, superellipsi näyttää nelisakaraiselta tähdeltä, jonka sivut ovat koverat. Erityisesti, jos n = 1/2, tähden sivut ovat paraboleja .

Kun n = 1, käyrä on rombi , jonka kärjet ovat (± a , 0) ja (0, ± b ). Kun n on välillä 1 ja 2, käyrä näyttää rombilta, jonka sivut ovat kuperat.

Kun n = 2, käyrä muuttuu ellipsiksi (erityisesti, jos a = b , se muuttuu ympyräksi). Jos n > 2, käyrä näyttää suorakulmiolta , jossa on pyöristetyt kulmat. Pisteissä (± a , 0) ja (0, ± b ) käyrän kaarevuus on nolla.

Kun n < 2, käyrää kutsutaan joskus "hypoellipsiksi" ja n > 2:ksi "hyperellipsiksi".

Superellipsin ääripisteet ovat yhtä suuria kuin (± a , 0) ja (0, ± b ), ja "kulmien" (eli rajatun suorakulmion lävistäjien leikkauspisteiden) koordinaatit ovat (± sa, ±sb ), missä [1] ). ${\displaystyle s=2^{-1/n))$

Algebralliset ominaisuudet

Kun n on nollasta poikkeava rationaalinen luku p / q , superellipsi on algebrallinen käyrä . Positiiviselle n :lle järjestys on pq , negatiiviselle n:lle 2 pq . Erityisesti, kun a = b = 1 ja n on parillinen kokonaisluku, superellipsi on Fermat-käyrä , jonka aste on n . Tässä tapauksessa se ei ole yksikkö, vaikka yleensä se on yksikkö ..

Esimerkiksi jos x 4/3 + y 4/3 = 1, käyrä on implisiittisen yhtälön antama kolmannen luokan algebrallinen käyrä, jonka asteen 12

{\näyttötyyli (x^{4}+y^{4})^{3}-3(x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{ 4}+3x^{2}y^{2}+y^{4})+}

+3(x^{4}+y^{4})-1=0,

tai parametrinen yhtälö

\left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \ oikea)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2} }

tai

{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n))\cdot a\operaattorinimi {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operaattorinimi {sgn}(\sin \theta ). \end{aligned}}

Superellipsin pinta-ala ilmaistaan kaavalla

S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n))\right)\right)^{2)){\Gamma \left(1+{ \tfrac {2}{n}}\right)}}.

Yleistykset

Superellipsi voidaan yleistää seuraavasti:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m n>0.

tai

{\begin{aligned}x(\theta )&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m))\cdot a\operaattorinimi {sgn}(\cos \theta )\ \y(\theta )&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operaattorinimi {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}

(tässä on parametri, jota ei pidä tulkita kulmaksi). $\theta$

Historia

Ensimmäisen kerran Gabriel Lame (1795-1870) ehdotti superellipsiä yhtälön muodossa karteesisissa koordinaateissa yleistyksenä tavallisesta ellipsistä.

Superellipsin "keksintö" on joskus virheellisesti katsottu tanskalaisen runoilijan ja tiedemiehen Piet Heinin (1905-1996) ansioksi. Vuonna 1959 Tukholman arkkitehtitoimisto julkaisi kilpailun Sergelstorgin aukion ympärille rakennetun kiertoliittymän suunnittelusta . Piet Hein voitti kilpailun ehdottamalla superellipsikuljetusrengasta, jonka n = 2,5 ja a / b = 6/5 [2] . Aukion jälleenrakennus valmistui vuonna 1967. Hein käytti superellipsiä muissa malleissa - sängyissä, lautasissa, pöydissä [3] . Pyörittämällä superellipsiä pitkän akselinsa ympäri hän tuotti " supermunan ", josta tuli suosittu lelu, koska toisin kuin tavallinen muna, se pystyi seisomaan tasaisella pinnalla.

Vuonna 1968, kun valtuuskunnat Vietnamin sodan neuvotteluissa Pariisissa eivät päässeet yksimielisyyteen pöydän muodosta, ehdotettiin superellipsitaulukkoa [2] . Azteca Stadium Mexico Cityssä , vuoden 1968 olympialaisten päästadion, on muodoltaan superelliptinen .

Waldo Tobler kehitti vuonna 1973 karttaprojektion , joka tunnetaan nimellä Toblerin hyperelliptinen projektio , jossa meridiaanit ovat superellipsejä [4] .

Hermann Zapfin vuonna 1952 luomassa Melior - kirjasimessa on superelliptiset "o"-kirjaimet. Uskotaan, että Zapf valitsi kirjaimen muodon intuitiivisesti, koska hänellä ei ollut aavistustakaan tämän lomakkeen matemaattisesta sisällöstä, ja vasta myöhemmin Piet Hein huomasi joidenkin fontin kirjainten elementtien samankaltaisuuden superellipsien kanssa. 30 vuotta myöhemmin Donald Knuth rakensi Computer Modern -kirjasinperheeseensä mahdollisuuden valita todellisten ellipsien ja superellipsien välillä (molemmat muodot on arvioitu kuutiosplineilla ).

Pittsburgh Steelers -jalkapallojoukkueen logossa on kolme nelikulmaista tähteä, jotka ovat superellipsejä, joiden n = 0,5.

iOS - mobiilikäyttöjärjestelmässä versiosta 7 lähtien superellipsejä on käytetty muodostamaan kuvakkeiden ulkoreuna (pyöristetyillä kulmilla varustettujen neliöiden sijaan) ja ryhmittelykuvakkeiden (suorakulmion sijaan). [5] iOS käyttää parametreja a = b = 60 ja n = 5.

Katso myös

Astroidi on superellipsi, jonka n = 2/3 ja a = b , hyposykloidi , jossa on neljä kulmaa.
- Hartialihas on kolmion muotoinen hyposykloidi .
Squircle on superellipsi n = 4 ja a = b , joka näyttää "nelipyörältä".
- Reuleaux'n kolmio on kolmion muotoinen pyörä.
Superkaava on superellipsin yleistys.
Superneliöt ovat superellipsien kolmiulotteisia analogeja.

Muistiinpanot

↑ Donald Knuth: The METAFONTbook , s. 126
↑ 1 2 Gardner, Martin (1977), Piet Heinin superellipsi, Mathematical Carnival. Uusi yhteenveto kiusaajista ja arvoimista Scientific Americanilta , New York: Vintage Press, s. 240-254, ISBN 978-0-394-72349-5
↑ Superellipsi arkistoitu 10. maaliskuuta 2005 Wayback Machinessa , BBC :n teoksessa The Guide to Life, The Universe and Everything (27. kesäkuuta 2003)
↑ Tobler, Waldo (1973), Hyperelliptiset ja muut uudet pseudosylinteriset tasa-alueen karttaprojektiot , Journal of Geophysical Research , osa 78 (11): 1753–1759 , DOI 10.1029/JB078i011p01753
↑ Päivitetyt sovelluskuvakkeet // Kyle Begeman. Sovelluskehitys iOS 7:ssä . Packt Publishing Ltd, 2014.

Linkit

Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa , Rensselaer Polytechnic Institute (Ph.D. väitöskirja käyttäen superellipsoideja)
Barr, Alan H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics, Kirk, David, Graphics Gems III , Academic Press, s. 137–159 ( koodi : 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature , Antwerpen: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9
Sokolov, D. D. (2001), Lamé curve , Springer Encyclopaedia of Mathematics , < http://eom.springer.de/L/l057390.htm >
Superellipsilaskin ja malligeneraattori
Superellipsi (MathWorld)
Johan Gielis' ja Bert Beirinckx' Arkistoitu 6. joulukuuta 2007 Wayback Machinessa " Superformula ".

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
Muut	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

Muut

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
Muut	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto