Superquadris

Superneliöt ovat geometristen pintojen perhe, joka määritellään ellipsoidin ja muiden toisen asteen pintojen yhtälöllä , jossa 2:n eksponentit korvataan mielivaltaisella luvulla. Niitä voidaan pitää Lame-käyrien (superellipsien) kolmiulotteisina analogeina .

Superquadrics sisältää monia pintoja, jotka ovat muodoltaan samanlaisia kuin kuutio , oktaedri , sylinteri ja toru , joissa on pyöristetyt tai terävät kulmat. Monimuotoisuuden ja suhteellisen yksinkertaisuuden vuoksi ne ovat suosittu työkalu geometriseen mallinnukseen, mukaan lukien tietokonegrafiikka.

Jotkut kirjailijat, kuten Alan Barr, sisältävät superellipsoidit ja supertoroidit [1] [2] superneliöinä, mutta todelliset supertoroidit eivät täytä yllä annettua määritelmää; toisaalta jotkut superneliöt ovat superellipsoideja, vaikka mikään näistä perheistä ei sisällä toista.

Kaavat

Implisiittiset yhtälöt

Yleensä superneliöt kuvataan kaavalla

\left|x\right|^{r}+\left|y\right|^{s}+\left|z\right|^{t}=1,

missä r , s , t ovat positiivisia reaalilukuja, jotka määrittävät superneljän ominaisuudet.

Esimerkiksi jos r = s = ja t , niin niiden arvosta riippuen saadaan seuraavat geometriset muodot:

r = s = t < 1: oktaedri , jolla on koverat pinnat ja terävät reunat ja kärjet.
r = s = t = 1: säännöllinen oktaedri.
1 < r = s = t < 2: oktaedri, jolla on kupera pinta ja pyöristetyt reunat ja kärjet.
r = s = t = 2: pallo.
r = s = t > 2: kuutio, jossa on pyöristetyt reunat ja kärjet.
r = s = t = ∞: kuutio.

Monipuolisempia muotoja saadaan muuttamalla parametreja itsenäisesti. Esimerkiksi, kun r = s = 2 ja t = 4, saadaan pyörimisluku, joka on samanlainen kuin ellipsoidi, jolla on litteät päät. Tämä on superellipsoidin erikoistapaus, joka saadaan neliöistä, joissa r = s .

Jos eksponentit voivat olla negatiivisia, niin pintojen vaihtelu kasvaa entisestään. Näitä muotoja kutsutaan joskus "superhyperboloideiksi".

Kanoniset superneliöt vievät tilaa kuution sisällä, jonka kunkin koordinaatin arvot ovat −1:stä +1:een. Yleisesti ottaen superneliö on tulos kanonisen superneliön skaalaamisesta kutakin kolmea koordinaattiakselia pitkin. Yleensä yhtälöllä on muoto

\left|{\frac {x}{A}}\right|^{r}+\left|{\frac {y}{B}}\right|^{s}+\left|{\ frac {z}{C}}\right|^{t}\leq 1

Parametrinen kuvaus

Parametrien kuvaus u (pituusaste) ja v (leveysaste) -koordinaateissa saadaan kaavoista

{\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ac\left(v,{\frac {2}{r}}\right)c\left(u,{\frac {2} {r}}\oikea)\\y(u,v)&{}=Bc\left(v,{\frac {2}{s}}\right)s\left(u,{\frac {2} {s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cs\left(v,{\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{ 2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2)),\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}

missä c ja s ovat apufunktioita:

{\begin{aligned}c(\omega ,m)&{}=\operaattorinimi {sgn}(\cos \omega )|\cos \omega |^{m}\\s(\omega ,m) &{}=\operaattorinimi {sgn}(\sin \omega )|\sin \omega |^{m}\end{aligned}}

\operaattorinnimi{sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}

Piirustuskoodi

GNU Octave matematiikkapaketti luo superquadrics seuraavalla komentosarjalla :

funktio retval = superquadric ( epsilon,a ) n = 50_ _ etamax = pi / 2 ; etamiini = -pi / 2 ; _ wmax = pi ; wmin = - pi ; deta =( etamax - etamin ) / n ; dw =( wmax - wmin ) / n ; k = 0_ _ l = 0 ; [ i , j ] = verkkoverkko ( 1 : n + 1 , 1 : n + 1 ) eta = etamiini + ( i - 1 ) * deta ; w = wmin + ( j - 1 ) * dw ; x = a ( 1 ) .* merkki ( cos ( eta )) .* abs ( cos ( eta )) .^ epsilon ( 1 ) .* merkki ( cos ( w )) .* abs ( cos ( w )) .^ epsilon ( 1 ); y = a ( 2 ) .* merkki ( cos ( eta )) .* abs ( cos ( eta )) .^ epsilon ( 2 ) .* merkki ( sin ( w )) .* abs ( sin ( w )) .^ epsilon ( 2 ); z = a ( 3 ) .* merkki ( sin ( eta )) .* abs ( sin ( eta )) .^ epsilon ( 3 ); verkko ( x , y , z ); lopputoiminto ;

Muistiinpanot

↑ Barr, AH (tammikuu 1981), Superquadrics and Angle-Preserving Transformations . IEEE_CGA vol. 1 nro 1, s. 11-23
↑ Barr, A. H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics . Graphics Gems III : n luku III.8 , toimittanut D. Kirk, s. 137-159

Katso myös

Linkit

Bibliografia: Super Quadric Representations
Superquadric Tensor Glyphs -arkistoitu 4. helmikuuta 2012 Wayback Machinessa
Superquadric ellipsoidit ja toroidit, OpenGL-valaistus ja ajoitus
Superquadrics , Robert Kragler, Wolfram Demonstrations Project.
Superquadrics Pythonissa
Jaklič, A., Leonardis, A., Solina, F., Segmentation and Recovery of Superquadrics . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.