Urysohnin käyrä

Urysonin käyrä (jäljempänä käyrä) on yleisin (mutta ei liian) käyrän määritelmä , jonka Pavel Uryson esitteli vuonna 1921 . Tämä määritelmä yleistää Cantorin määritelmän mielivaltaiseen ulottuvuuteen.

Määritelmä

Käyrä on yhdistetty kompakti topologinen avaruus, jonka topologinen ulottuvuus on 1. $C$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Pisteessä olevalla käyrällä on haarautumisindeksi , jos on olemassa pienin kardinaaliluku siten, että mille tahansa naapurustolle on olemassa pienempi lähiö, jonka rajana on joukko kardinaalisuutta, joka ei ylitä . Käyräpistettä, jonka haaraindeksi on suurempi kuin kaksi, kutsutaan haarapisteeksi ; pistettä, jonka haaraindeksi on yhtä suuri kuin yksi, kutsutaan päätepisteeksi . $C$ $x$ $\alpha$ $\alpha$ $x$ $\alpha$ $C$

Käyräpisteet niiden haarautumisindeksin suhteen luokitellaan seuraavasti.

Pisteet haaraindeksillä , jossa on luonnollinen luku . $n$ $n$
Rajoittamattoman haarautumisindeksin pisteitä. ( Käyrän pisteellä on rajoittamaton haaraindeksi, jos jollakin naapurustolla on pienempi naapurusto, jonka raja koostuu äärellisestä joukosta pisteitä; mutta haaraindeksi on ääretön.) $x$ $C$ $x$
Laskettavan haarautumisindeksin pisteet .
Jatkuvuuden haarautumisindeksin pisteet .

Esimerkkejä

Segmentin kaikissa sisäpisteissään haaraindeksi on kaksi; segmentin päiden haarautumisindeksi on yhtä suuri kuin yksi.
Ympyrän haaraindeksi on kaksi kussakin pisteessään.
Yhdestä pisteestä lähtevistä suorista osista koostuvalla käyrällä on haarautumisindeksi pisteessä . $n$ $O$ $O$ $n$
Käyrällä , joka koostuu segmenteistä , jotka alkavat origosta ja joiden pituudet lähtevät O - sta kulmassa akseliin nähden , on rajaton haarautumisindeksi $OA_{1},OA_{2},\pisteet ,OA_{n},\pisteet$ $O$ $1,1/2,\pisteet ,1/n,\pisteet$ $1,1/2,\pisteet ,1/n,\pisteet$ $HÄRKÄ$ $O$
- Jos samaan aikaan kaikki segmentit ovat yhtä pitkiä, sillä on laskettava haarautumisindeksi. $O$
Käyrällä, joka koostuu segmenteistä, jotka yhdistävät pisteen kaikkiin Cantor-joukon pisteisiin, jotka sijaitsevat toisella segmentillä, on jatkuva haaraindeksi c kaikissa pisteissään. $O$
Sierpinski-matolla on myös jatkuvuushaaroitusindeksi kaikissa kohdissaan.
Sierpinskin lautasliina on esimerkki käyrästä, joka koostuu vain pisteistä, joiden haaraindeksi on 2, 3 ja 4.
- Tässä tapauksessa vain pääkolmion kärkien haarautumisindeksi on 2. Erityisesti, jos liimaamme kaksi Sierpinski-lautasliinaa pääkolmion kärkeä pitkin, saamme käyrän, jossa on haaraindeksit 3 ja 4.

Ominaisuudet

Urysohnin käyrän määritelmä on sisäinen: sille on ominaista vain itse avaruuden ominaisuudet, eikä se riipu siitä, pidetäänkö tätä avaruutta sellaisenaan vai toisen topologisen avaruuden osajoukkona. $C$

On käyriä, jotka eivät ole homeomorfisia millekään tason alajoukolle.
- Tällainen on esimerkiksi kolmiulotteisessa avaruudessa oleva käyrä, joka koostuu kuudesta tetraedrin reunasta ja neljästä segmentistä, jotka yhdistävät tetraedrin keskustan sen kärkiin.

Jokainen käyrä on homeomorfinen jollekin kolmiulotteisen euklidisen avaruuden alajoukolle ( Mengerin lause ).
- Lisäksi on olemassa käyrä , jolla on ominaisuus, että käyrästä riippumatta on osajoukko , homeomorfinen . $M$ $C$ $M$ $C'$ $C$
  - Tämä käyrä on Sierpinski-maton kolmiulotteinen analogi, ja sitä kutsutaan Menger-sieneksi . $M$

Jos käyrällä ei ole lainkaan haarapisteitä, eli jos jokaisessa käyrän pisteessä haaraindeksi on 1 tai 2, tämä käyrä on joko yksinkertainen kaari, segmentin topologinen kuva tai yksinkertainen suljettu viiva, ympyrän topologinen kuva.
- Lisäksi, jos käyrän haarautumisindeksi kaikissa pisteissä on yhtä suuri kuin 2, niin se on yksinkertainen suljettu käyrä, mutta jos käyrällä, jolla ei ole haarautumispisteitä, on päätepisteitä (kävi ilmi, että niitä on varmasti kaksi) , se on yksinkertainen kaari.
Jos käyrässä on vain äärellinen määrä haarapisteitä ja jokaisen haaraindeksi on myös äärellinen, niin tällainen käyrä voidaan jakaa äärelliseen määrään yksinkertaisia kaaria, joilla ei ole pareittain muita yhteisiä pisteitä kuin niiden päissä.
Ympyrä on ainoa käyrä, jonka kaikilla pisteillä on sama päätehaaraindeksi 2; ei ole muita käyriä, joilla on sama lopullinen haaraindeksi kaikissa pisteissä. Lisäksi,
- Jos kaikkien käyrän pisteiden haaraindeksi on suurempi tai yhtä suuri kuin , niin on piste, jonka haaraindeksi on suurempi tai yhtä suuri kuin , ja jokaiselle luonnolliselle on olemassa käyrä, joka koostuu vain pisteistä, joilla on haaraindeksi ja (Urysohnin lause). $L$ $n$ $L$ $2n-2$ $n$ $n$ $2n-2$

Kirjallisuus

Uryson P. S. Teoksia topologiasta ja muista matematiikan alueista, osa 2, - M. - L. , 1951;

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto