Vogtin lause

Vogtin lause määrittää suhteet monotonisesti muuttuvan kaarevuuden ( spiraalikaari ) tasokäyrän rajakulmien välille kasvavan/laskevan kaarevuuden funktiona.

Nimetty saksalaisen matemaatikon Wolfgang Vogtin ( Wolfgang Wilhelm Vogt , 1883-1916) mukaan.

W. Vogtin sanamuoto

Alkuperäisessä artikkelissa [1] (Satz 12) lause esitetään seuraavasti:

Olkoon ja kaksi peräkkäistä leikkauspistettä käyrän, jolla on yksitoikkoinen kaarevuus ja suora viiva , ja ovat kulmat jänteen ja tangenttisäteiden välillä pisteissä ja ovat samalla puolella kuin kaari . Tällöin kulma on suurempi kuin, pienempi tai yhtä suuri kuin sen mukaan, kasvaako kaarevuus arvosta , pienenee vai pysyykö vakiona. $A$ $B$ $g$ $\alpha$ $\beeta$ $AB$ $A$ $B$ $g$ ${\overset {\frown }{AB}}$ $\alpha$ $\beeta$ $A$ $B$

Artikkelissa [1] (samoin kuin monografiassa [2] , Lause 3-17) otetaan huomioon vain kuperat käyrät [3] , joissa on jatkuva kaarevuus . Kuperuuden vaatimus tarkoittaa, että kaarevuus on vakiomerkkinen (käännepisteen puuttuminen käyrästä). Itse asiassa tässä muotoilussa puhumme kaarevuuden ja kulmien absoluuttisista arvoista . Muita tämän lauseen todisteita samoilla olettamuksilla on artikkeleissa [4] , [5] , [6] . $k(s)$ $|k(s)|$ $|\alpha |,\,|\beta |$

Lause on havainnollistettu kuvan 1 vasemmalla sarakkeella.

Lauseen muokattu lause

Vogtin lauseen muunneltu versio (katso [7] , Lause 1)

ottaa huomioon kulmat ja suunnattuna, mitattuna suhteessa jänteen suuntaan ; $\alpha$ $\beeta$ $\overrightarrow {AB}$
on muotoiltu ottaen huomioon kaarevuuden luonnollinen merkki (tässä mielessä, missä on käyrän tangentin kaltevuuskulma); $k(s)={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} s)),$ $\tau(s)$
ei vaadi jatkuvuutta ja kaarevuuden pysyvyyttä;
ei ulotu vain kuperaan spiraalikaareen, vaan myös kaikkiin lyhyisiin spiraaleihin - sellaisiin, jotka eivät kierry päätepisteiden ympärille, eli eivät leikkaa sointeen komplementtia äärettömään viivaan (vaikka ne voivat leikata sointeen itse, esim. käyrä kuvassa 1). $A_{6}B_{6}$

Muotoilu:

Olkoon lyhyen spiraalin kaarevuus alkupisteessä , olkoon sen kaarevuus loppupisteessä . Sitten $k_{1}$ ${\overset {\frown }{AB}}$ $A$ $k_{2}$ $B$

\operaattorinnimi {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operaattorin nimi {sgn}(\alpha +\beta ),\qquad \qquad (1)

tai tarkemmin sanottuna tapauksissa, joissa kaarevuus kasvaa tai pienenee,

{\begin{array}{llcc}{\text{if}}\quad k_{1}<k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta >0,\quad &- \pi <\alpha \leq \pi ,\;&-\pi <\beta \leq \pi ;\\{\text{if}}\quad k_{1}>k_{2}{:}\quad & \alpha {+}\beta <0,\quad &-\pi \leq \alpha <\pi ,\;&-\pi \leq \beta <\pi .\end{array}}\qquad \qquad (2 )

Kuvan 1 oikea sarake esittää Vogtin lauseen muunneltua versiota (pienenevän kaarevuuden tapauksessa). Esimerkiksi käyrät kuviossa . 1 ovat samat ja niiden kaarevuus on negatiivinen: . Vogtin epäyhtälöt tarkoittavat , että ottaen huomioon kaarevuuden merkit ja suunnatut kulmat, tarkoittaa tai (1) mukaisesti. $A_{1}B_{1}$ ${\displaystyle A_{4}B_{4))$ ${\displaystyle 0>k_{1}>k_{2))$ $k_{1}<k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha >\beta ,$ $|k_{1}|<|k_{2}|\;\Rightarrow \;|\alpha |>|\beta |,$ ${-k_{1}}<{-k_{2}}\;\Rightarrow \;\alpha >{-\beta },$ $k_{1}>k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha +\beta <0,$

Heijastamalla käyriä 4-7 symmetrisesti jänteen suhteen (mikä merkitsee muutosta y :n etumerkkeissä ), saadaan esimerkkejä, joissa kaarevuus kasvaa. $k_{1},k_{2},\alpha ,\beta$

Summan geometrinen merkitys $\alpha +\beta$

Annetaan pisteen liikkua lyhyttä spiraalia pitkin pisteestä - Muodostetaan jokaiselle liikkuvan pisteen asemalle ympyrän kaari (kuva 2). Tämän kaaren tangentin kaltevuuskulma pisteessä on merkitty . ${\overset {\frown }{AB}}$ $A$ $b.$ $P(t)$ ${\overset {\frown }{APB}}$ $A$ $\varphi (s)$

Toiminto on tiukasti monotoninen; $\varphi (s)$ $\lim \limits _{P\to A}\varphi (s)=\alpha ,$ $\lim \limits _{P\to B}\varphi (s)=-\beta .$
Kaarien lakaisu ${\overset {\frown }{APB}}$ linssi - alue , jota rajoittaa kaksi jänteeseen perustuvaa ympyräkaarta , joista toisella on yhteinen tangentti spiraalin kanssa pisteessä , toisella - pisteessä $AB$ $A$ $b.$
Mikä tahansa lyhyt spiraali, jossa on rajakulmia ja joka on suljettu linssin sisään (Lause 2 kohdassa [7] ). $\alpha$ $\beeta$
Summa on absoluuttisesti yhtä suuri kuin linssin kulman leveys, ja sen etumerkki vastaa kaarevuuden kasvua /vähennystä . $\sigma =\alpha +\beta$ ${\displaystyle {}^{(+)))$ ${\näyttötyyli {}^{(-)))$

Lauseen yleistys

Vogtin lauseen lisäyleistys koskee mielivaltaisesti kierrettyjä spiraaleja, joiden kulmat määritellään uudelleen kumulatiivisessa merkityksessä "kulmiksi, jotka muistavat historiansa". $\alpha ,\,\beta$

Harkitse kierre pituus pisteen liikkuu . Riittävän pienellä ( lyhyellä ) kaarella rajakulmien arvot suhteessa liikkuvan jänteen suuntaan mitattuna ovat lähellä nollaa ja pisteen liikkuessa niistä poispäin ne voivat saavuttaa arvot ${\overset {\frown }{AB}}$ $S$ $P(t)$ $A=P(0)$ $B=P(S)$ ${\overset {\frown }{AP}}(s)$ $\alpha (s)$ $\beta (s)$ ${\overrightarrow {AP}}(s),$ $P$ $A$ $\pm \pi .$ $\alpha (s)$ $\beta (s)$ $\pi.$

{\widetilde {\alpha }}=\alpha (S),\quad {\widetilde {\beta }}=\beta (S).

Joten kuvassa 3 kulma saavuttaa arvon , kun piste saavuttaa aseman , jonka jälkeen . $\beta (s)$ $+\pi$ $P(t)$ $P_8$ $\beta (s)>\pi$

Paperi [8] (Lause 1) osoittaa, että summa on kaaren pituuden monotoninen funktio, joka kasvaa tai pienenee kuten kaarevuus . Toiminto on tiukasti monotoninen , lukuun ottamatta vakiokaarevuuden alkuosaa (jos sellainen on), jonka sisällä formulaatio (1) ulottuu siten pitkiin spiraaleihin muodossa $\sigma (s)=\alpha (s)+\beta (s)$ $k(s)$ $\sigma (s)$ $\sigma (s)\equiv 0.$

\operaattorinnimi {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operaattorin nimi {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).

Aiheeseen liittyvät lausunnot [8] :

Spiraalin lineaarisessa murto-osanäytössä arvo säilyy . $\sigma$
Kierteen pyörimisen vaihtelua rajoittavat epätasa -arvot ja se pysyy näissä rajoissa, kun heliksi käännetään. $|\sigma |<\mathrm {Var} \,\tau (s)<|\sigma |+2\pi$

Käänteinen lause

Vogtin lauseen vastaisena väitteenä A. Ostrovsky muotoilee ehdot, jotka sallivat (kuperan) spiraalikaaren olemassaolon annetuilla rajakulmilla [6] . "Suunnitetussa" versiossa ne ovat epätasa-arvoja (2).

Kohdassa [2] (lause 3-18) muotoillaan vahvistetut ehdot tapaukseen, jossa kulmien lisäksi on annettu kaarevuussäteiden arvot.

Kohdassa [7] (Lause 3) nämä ehdot on laajennettu lyhyisiin (eikä vain kuperaan) spiraaleihin: Jotta olisi olemassa lyhyt spiraali , joka ei ole bideg , jossa on rajakulmia ja kaarevia , se on välttämätöntä ja riittävää ehtojen ( 2) ja epäyhtälö , missä ${\overset {\frown }{AB)),$ $\alpha ,\;\beta$ ${\displaystyle k_{1},\;k_{2))$ $Q<0$

Q=(k_{1}c+\sin \alpha )(k_{2}c-\sin \beta )+\sin ^{2}{\frac {\alpha {+}\beta }{2} },\quad c={\frac {1}{2}}|AB|\,.\qquad \qquad (3)

Jos kierre on bidug , niin $Q=0\,.$

Selitys ja esimerkki rakentamisesta

Antaa ja olla spiraalikaaren kaarevuuden rajapiireissä , olla niiden leikkauskulma. Tällöin epäyhtälö tarkoittaa, että kulma on puhtaasti kuvitteellinen. Tämä puolestaan voidaan tulkita seuraavasti: ympyröillä ja niillä ei ole yhteisiä pisteitä ja ne sijaitsevat siten, että lähestyttäessä niiden leikkauskohtaa edeltää kosketus - suuntautuneiden tangenttien yhteensattuma yhteisessä pisteessä. ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$ $AB$ $\psi$ $Q=\sin ^{2}{\frac {\psi }{2)),$ $Q<0$ $\psi$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$

Epäyhtälö pätee mihin tahansa vihreän ympyrän pariin kuvassa 1. 4. Valitsemalla mielivaltaisesti aloituspiste yhdeltä ja loppupiste toiselta, voit rakentaa spiraalikaaren, jolle ympyrät ovat kaarevuuden rajaympyröitä. Esimerkki tällaisesta rakenteesta on esitetty kuvion 4 fragmentissa katkoviivalla ( ). $Q<0$ $A$ $B$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$ $Q=-0,88$ $|AB|=2c=2,$ $\alpha \noin -78.34^{\circ },$ $k_{1}\noin 1,73,$ $\beta \noin -38,34^{\circ },$ $k_{2}\noin -2,76$

Mitkä tahansa kaksi sinistä ympyrää ovat tangentteja, ja niille pisteille ja valituille fragmentille ainoa mahdollinen spiraalikaari on bidug (kuvattu pisteillä) ja se on sama kuin ympyrät ja . $Q=0\;(\psi =0).$ $Q=0$ $A$ $B$ $AB$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$

Kaikille risteäville (ruskeille) ympyröille spiraalin rakentaminen tällaisilla kaarevuusympyröillä on mahdotonta. Se on myös mahdotonta punaisten ympyröiden parille : niissä on joko ( , "vastakosketus") tai $Q=1$ $\psi =\pm\pi$ $Q>1.$

Arvo (3) ei riipu pisteiden valinnasta ja ympyröistä, ja se voidaan ilmaista esimerkiksi niiden kaarevilla ja keskipisteen välisellä etäisyydellä : $K$ $A$ $B$ $L$

k_{1}k_{2}\neq 0\quad \Longrightarrow \quad Q={\frac {(k_{1}k_{2}L)^{2}-(k_{2}{-} k_{1})^{2}}{4k_{1}k_{2}}}.

CAD -sovelluksissa viime vuosikymmeninä on keskusteltu aktiivisesti spiraalikaaren muodostamisen ongelmasta tietyillä reunaehdoilla päissä (katso esimerkiksi artikkelit [9] ja [10] ).

Linkkejä ja muistiinpanoja

↑ 1 2 Vogt W. Über monotongekrümmte Kurven // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1914. - Nro 144 . - S. 239-248 .
↑ 1 2 Guggenheimer HW Differentiaaligeometria. - New York: Dover Publications, 1977. - S. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
↑ ... eli sellainen, että kaari ja sen jänne muodostavat kuperan kuvion .
↑ Katsuura S. Ein neuer Beweis des Vogtschen Satzes // Tohoku Mathematical Journal . - 1940. - T. 47 . - S. 94-95 .
↑ Hirano K. Vogtin lauseen yksinkertaisia todisteita // Tohoku Mathematical Journal . - 1940. - T. 47 . - S. 126-128 .
↑ 1 2 Ostrowski A. Über die Verbindbarkeit von Linien- und Krümmungselementen dürch monoton gekrümmte Kurvebogen // Enseignement Math., Ser.2. - 1956. - Nro 2 . - S. 277-292 .
↑ 1 2 3 Kurnosenko A.I. Lyhyet spiraalit // Tieteellisten seminaarien muistiinpanot POMI. - 2009. - S. 34-43 . [yksi]
↑ 1 2 Kurnosenko A.I. Pitkät spiraalit // Notes of Scientific Seminars POMI. - 2009. - S. 44-52 . [2]
↑ Goodman TNT, Meek DS, Walton DJ Evoluutiospiraali, joka vastaa G2 Hermite -tietoja tasossa // Computer Aided Geometric Design. - 2009. - Vol. 26 , nro. 7 . - s. 733-756 . - doi : 10.1016/j.cagd.2009.03.009 . Arkistoitu alkuperäisestä 5.9.2019.
↑ Kurnosenko AI Kaksipisteinen G2 Eremiitti-interpolointi spiraaleilla hyperbolin inversiolla // Tietokoneavusteinen geometrinen suunnittelu. - 2010. - Vol. 27 , ei. 6 . - s. 474-481 . - doi : 10.1016/j.cagd.2010.03.001 . Arkistoitu alkuperäisestä 5.9.2019.

Katso myös

Spiraali: kaarevuuden monotonisuuteen perustuvat määritelmät .
Biduga .