Affiininen muunnos

Affiininen muunnos , joskus affiini muunnos [1] ( latinan sanasta affinis "viereinen, lähellä, vierekkäinen") on tason tai tilan kartoitus itseensä, jossa yhdensuuntaiset suorat muuttuvat yhdensuuntaisiksi viivoiksi, leikkaavat suorat leikkaavat, leikkaavat suorat leikkaavat [ 2] .

Määritelmät

Geometrinen

Euklidisen avaruuden tai tason bijektiota itsessään, joka kuvaa yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi viivoiksi, kutsutaan affiiniksi muunnokseksi.

Algebrallinen

Affiininen muunnos on muodon muunnos ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

f(x)=M\cdot x+v,

missä on käännettävä matriisi ja . $M$ $v\in {\mathbb {R}}^{{n}}$

Kommentit

Huomaa, että jatkuvuutta ei ole otettu geometrisessa määritelmässä. Jatkuvuus kuitenkin seuraa määritelmästä ei aivan triviaalilla tavalla. Lisäksi molemmat määritelmät vastaavat niin sanottua affiinigeometrian peruslausetta .

Huomaa, että muunnos on affiini, jos se voidaan saada seuraavasti:
1. Valitse "uusi" avaruuspohja " uudella " alkuperällä ; $v$
2. Yhdistä jokainen piste avaruudessa pisteeseen , jolla on samat koordinaatit suhteessa "uuteen" koordinaattijärjestelmään kuin "vanhassa" koordinaatistossa. $x$ $f(x)$ $x$

Esimerkkejä

Esimerkkejä affiinisista muunnoksista ovat

Ominaisuudet

Affiinisessa muunnoksessa suorasta tulee suora viiva.
- Jos tilan ulottuvuus ${n}\geqslant 2$ , silloin mikä tahansa avaruuden muunnos (eli avaruuden bijektio itseensä), joka muuttaa viivat viivoiksi, on affininen. Tätä määritelmää käytetään affiinisen geometrian aksiomaattisessa rakentamisessa
Affiiniset muunnokset muodostavat ryhmän koostumuksen suhteen .
Mitkä tahansa kolme pistettä, jotka eivät ole samalla viivalla, ja niiden kuvat (jotka eivät sijaitse samalla viivalla) määrittelevät yksiselitteisesti tason affiinin muunnoksen.

Affiinisten muunnosten tyypit

Ekvafiinimuunnos on affiininen muunnos, joka säilyttää alueen ( affiini pituus myös säilyy ).
Sentro -affiinimuunnos on affiinimuunnos, joka säilyttää alkuperän.

Matriisiesitys

Kuten muutkin projektitiiviset muunnokset , affiinimuunnos voidaan kirjoittaa siirtymämatriisina homogeenisissa koordinaateissa : $f(x)=M\cdot x+v$

${\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix }}$

Matriisiesitystä käytetään erityisesti affiinisten muunnosten kirjoittamiseen tietokonegrafiikassa. Yllä olevaa muotoa käytetään OpenGL :ssä [3] ; DirectX :ssä (jossa koordinaatit esitetään 1×4 matriiseina) se transponoidaan [4] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yllä olevassa affiinisen muunnoksen määritelmässä voidaan käyttää mitä tahansa kenttää , ei vain reaalilukujen kenttää . $\mathbb {R}$
Metriavaruuksien välistä kartoitusta kutsutaan affiiniseksi, jos se kartoittaa geodetiikkaa geodetiikkaan (ottaen huomioon parametrisoinnin).
Avaruuden affiinimuunnokset ovat erityinen tapaus saman tilan projektiivisista muunnoksista . Avaruuden projektiiviset muunnokset puolestaan voidaan esittää affineina avaruuden muunnoksina . ${\mathbb {R}}^{{n}}$ ${\mathbb {R}}^{{n}}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$

Katso myös

Kumilevymenetelmä (paikallinen affine-muunnos)

Muistiinpanot

↑ Kagan V.F. Pintojen teorian perusteet tensoriesittelyssä. - Ripol-klassikko , 2013. - 518 s. — ISBN 9785458491099 .
↑ I. M. Vinogradov. Affine muunnos // Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)
↑ OpenGL- muunnos . Haettu 4. elokuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2011.
↑ Muuntaa (Direct3D 9 ) . Haettu 4. elokuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2011.

Linkit

Affine tasomuunnos ja sen matriisiesitys Arkistoitu 24. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa
Ershov A.V. Lineaariset ja affiiniset avaruudet ja kartoitukset Arkistoitu 3. joulukuuta 2021 Wayback Machinessa . M.: MIPT, 2016. 69 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Iso venäläinen Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4141560-7