Affinaalinen pituus

Affiinipituus on tasokäyrän parametri , joka säilyy equiaffiine-muunnosten (eli alueen säilyttävien affiinisten muunnosten ) aikana.

Määritelmä

Tasaiselle käyrälle affiinipituus lasketaan kaavalla $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$

l=\int \limits _{a}^{b}|{\piste {\gamma }}(t)\times {\ddot {\gamma }}(t)|^{1/3}dt ,

jossa tarkoittaa ristituloa , ja ja ovat ensimmäinen ja toinen derivaatta. $\ajat$ ${\näyttötyyli {\piste {\gamma }}(t)}$ ${\ddot \gamma }(t)$

Erikoistapaukset

Funktiograafin affiinin pituus saadaan kaavalla $y=f(x)$ $f$ $l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,$
Käyrälle , jossa on luonnollinen parametri ja kaarevuus ${\näyttötyyli \gamma (s)}$ $\varkappa(s)$ $l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.$

Ominaisuudet

Paraabelin affiinikaaren pituus on missä S on kaaren jänteen ja kaaren päissä olevien paraabelin tangenttien muodostaman kolmion pinta-ala. $2{\sqrt[{3}]{S)),$
Kuperista suljetuista käyristä, joilla on kiinteä affiininen pituus, ellipsit (ja vain ne) rajaavat pienimmän alueen.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Affinisesta pituudesta on myös yleistyksiä avaruuskäyrien tapaukseen ja yleiseen affiiniseen ryhmään sekä sen muihin alaryhmiin.

Kirjallisuus

L. Feyesh Tot, Järjestelyt tasossa, pallolla ja avaruudessa , M., Fizmatlit, 1958. - 364 s.