Liike (matematiikka)

Liike on metrisen avaruuden muunnos, joka säilyttää vastaavien pisteiden välisen etäisyyden , eli jos ja ovat pisteiden kuvat ja , sitten . Toisin sanoen liike on tilan isometria itsessään. $A'$ $B'$ $A$ $B$ $A'B'=AB$

Vaikka liike määritellään kaikissa metriavaroissa, termi on yleisempi euklidisessa geometriassa ja siihen liittyvissä kentissä. Metriisessä geometriassa (erityisesti riemannilaisessa geometriassa ) sanotaan useammin: tilan isometria itsessään . Yleisessä metriavaruudessa (esimerkiksi ei-tasaisessa Riemannin monistossa ) liikkeitä ei välttämättä aina ole.

Joskus liike ymmärretään euklidisen avaruuden muunnoksena, joka säilyttää orientaation. Erityisesti tason aksiaalista symmetriaa ei pidetä liikkeenä, kun taas pyörimistä ja yhdensuuntaista siirtymistä pidetään liikkeinä. Vastaavasti yleisten metristen avaruuksien kohdalla liike on isometriaryhmän elementti identiteettikartoituksen yhdistetystä komponentista .

Euklidisessa (tai pseudoeuklidisessa ) avaruudessa liike säilyttää automaattisesti myös kulmat, jotta kaikki pistetulot säilyvät .

Lisäksi tässä artikkelissa tarkastellaan vain euklidisen pisteavaruuden isometrioita.

Oikeat ja epäasialliset liikkeet

Olkoon euklidisen pisteavaruuden liike ja avaruuden vapaiden vektorien avaruus . Affiiniseen muunnokseen liittyvä lineaarinen operaattori on ortogonaalinen operaattori , joten sen determinantti voi olla joko ( oikea ortogonaalinen operaattori ) tai ( väärä ortogonaalinen operaattori ). Tämän mukaisesti ja liikkeet on jaettu kahteen luokkaan: oikea (jos ) ja sopimaton (jos ) [1] . $f\colon E\rightarrow E$ $E,$ $V$ $E$ $Df\colon V\rightarrow V,$ $f,$ $yksi$ $-yksi$ $\det Df=1$ $\det Df=-1$

Oikeat liikkeet säilyttävät tilan orientaation , väärät - korvaa se vastakkaisella [2] . Joskus oikeita ja sopimattomia liikkeitä kutsutaan vastaavasti siirtymiksi ja anti- siirtymäksi [3] . $E,$

Mikä tahansa n - ulotteisen euklidisen pisteavaruuden liike voidaan määrittää yksiselitteisesti määrittämällä ortonormaali kehys , johon tietyn liikkeen aikana avaruudessa ennalta valittu ortonormaali kehys kulkee. Tässä tapauksessa oikean liikkeen tapauksessa uusi kehys suunnataan samalla tavalla kuin alkuperäinen ja väärän liikkeen tapauksessa uusi kehys päinvastoin. Liikkeet säilyttävät aina avaruuden pisteiden väliset etäisyydet (eli ne ovat isometrioita ), eikä muita isometrioita ole, paitsi oikeat ja väärät liikkeet [4] . $E$ $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n}),$ $E$ $(O;e_{1},\ldots ,e_{n}).$ $E$

Mekaniikassa käsitteellä "liike" on erilainen merkitys; erityisesti sitä pidetään aina jatkuvana prosessina, joka tapahtuu tietyn ajanjakson aikana (katso mekaaninen liike ). Jos P. S. Aleksandrovin mukaan jatkuvaksi liikkeeksi kutsutaan sellaista avaruuden liikettä, joka riippuu jatkuvasti parametrista (sillä mekaniikassa tämä vastaa ehdottoman jäykän kappaleen liikettä ), niin ortonormaalikehys voidaan saada jatkuvalla liikkeellä ortonormaalista kehys jos ja vain jos molemmat vertailuarvot ovat samalla tavalla suunnattuja [5] . $E,$ ${\näyttötyyli t\in [t_{0},t_{1}]}$ $n = 3$ $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n})$ $(O;e_{1},\ldots ,e_{n})$

Tietyt isometriatyypit

Suora

Mikä tahansa suoran liike on joko yhdensuuntainen käännös (vähennettynä kaikkien suoran pisteiden siirtymiseen samalla suoralla olevalla vektorilla) tai heijastus jostakin pisteestä, joka on otettu tietyllä suoralla. Ensimmäisessä tapauksessa liike on oikea, toisessa - väärä [6] .

Lentokoneessa

Kaikki koneen liikkeet kuuluvat johonkin seuraavista tyypeistä [2] :

Rinnakkaissiirto ;
Käänny ;
Aksiaalinen symmetria ( heijastus );
Liukuva symmetria on suoran suuntaisen vektorin ja tämän suoran suhteen symmetrian käännöksen superpositio .

Kahden ensimmäisen tyypin liikkeet ovat oikeita, kaksi viimeistä epäasianmukaista [7] .

3D-avaruudessa

Mikä tahansa kolmiulotteisen avaruuden liike kuuluu johonkin seuraavista tyypeistä [2] :

Rinnakkaissiirto;
Vuoro;
Ruuviliike on tietyn suoran ympäri tapahtuvan pyörimisen superpositio ja tämän suoran suuntaisen vektorin translaatio;
Peilin symmetria (heijastus) tason suhteen ;
Liukuva symmetria on translaation superpositio vektorilla, joka on yhdensuuntainen tason kanssa, ja symmetriaa tämän tason suhteen;
Peilikierto on pyörimisen superpositio jonkin suoran ympäri ja heijastus pyörimisakseliin nähden kohtisuorassa olevasta tasosta.

Kolmen ensimmäisen tyypin liikkeet tyhjentävät kolmiulotteisen avaruuden oikeiden liikkeiden luokan ( Challin lause ), ja kolmen viimeisen tyypin liikkeet ovat epäasianmukaisia [7] .

N-ulotteisessa avaruudessa

-Dimensionaalisessa avaruudessa liikkeet pelkistetään ortogonaalisiin muunnoksiin , rinnakkaisiin käännöksiin ja molempien superpositioihin. $n$

Ortogonaaliset muunnokset puolestaan voidaan esittää (oikeiden) rotaatioiden ja peiliheijastusten superpositioina (ts. symmetriana hypertasojen suhteen ).

Liikkeet symmetrioiden superpositioina

Mikä tahansa isometria euklidisessa avaruudessa voidaan esittää enintään n+1 peiliheijastuksen superpositiona [8] . $n$

Joten rinnakkainen translaatio ja kierto ovat kahden heijastuksen superpositioita, liukuva heijastus ja peilin pyöriminen on kolme ja ruuvin liike on neljä.

Isometrioiden yleiset ominaisuudet

Isometrioiden superpositio on myös isometria [9] .
Euklidisen avaruuden E isometriat superpositiooperaation suhteen muodostavat ryhmän Iso( E ) , joka on Lie-ryhmä .
Isometria on affiinin muunnoksen erikoistapaus (siis Iso( E ) on toisen Lie-ryhmän, avaruuden E affiiniryhmän Aff ( E ) aliryhmä ) [10] .
Ryhmä Iso( E ) koostuu kahdesta yhdistetystä komponentista : oikeiden liikkeiden sarjasta Iso + ( E ) (joka itse on Lie-ryhmä) ja sopimattomien liikkeiden joukosta Iso - ( E ); jokainen näistä komponenteista on liitetty polkuun [3] .
Isometria, joka on affiinimuunnos , muuttaa segmentin aina takaisin segmentiksi.

Muistiinpanot

↑ Kostrikin ja Manin, 1986 , s. 201-204.
↑ 1 2 3 Egorov I.P. Liike // Matemaattinen tietosanakirja. Vol. 2 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1979. - 1104 jne. - Stb. 20-22.
↑ 1 2 Berger, 1984 , s. 249.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 259-262.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 210, 214.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 284.
↑ 1 2 Kostrikin ja Manin, 1986 , s. 204.
↑ Berger, 1984 , s. 255.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 267.
↑ Kostrikin ja Manin, 1986 , s. 202.

Kirjallisuus

Aleksandrov P.S. Luennot analyyttisestä geometriasta. — M .: Nauka , 1968. — 912 s.
Berge M. . Geometria. T. 1. - M . : Mir , 1984. - 560 s.
Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Lineaarinen algebra ja geometria. 2. painos — M .: Nauka , 1986. — 304 s.