Dandelin palloja

Dandelin-pallot ovat palloja , jotka osallistuvat geometriseen rakenteeseen, joka yhdistää ellipsin , hyperbolin ja paraabelin planimetrisen määritelmän polttopisteiden kautta niiden stereometriseen määritelmään kartioosana . Dandelinin ehdotus vuonna 1822 .

Kuvaus

Tarkastellaan pyöreää kartiota, joka on leikattu tasolla, joka ei kulje kartion keskustan läpi. Harkitse kahta palloa, jotka koskettavat kartion pintaa ympyröitä pitkin ja ja koskettavat sekanttitasoa kohdissa ja . Tällaisia palloja kutsutaan Dandelin-palloiksi . Siinä tapauksessa, että kartion leikkaus on ellipsi tai hyperboli, tällaisia palloja on kaksi, ja paraabelin tapauksessa on vain yksi. $C$ $C'$ $F$ $F'$

Jos palloja on kaksi, niin ellipsin tapauksessa molemmat sijaitsevat samassa kartiossa, toinen on leikkaustason yläpuolella, toinen on sen alapuolella; jos kyseessä on hyperbola, yksi pallo sijaitsee tietyssä kartiossa, toinen - kartiossa, joka on symmetrinen tietyn kanssa kärjen suhteen, molemmat ovat leikkaustason yläpuolella (tai samalla puolella leikkaustasoa kuin kartion akseli, jos leikkaustaso on yhdensuuntainen kartion akselin kanssa, mutta ei sisällä sitä). Paraabelille yksi pallo sijaitsee samassa kartiossa leikkaustason yläpuolella.

Symmetrianäkökohtien perusteella on selvää, että pallojen keskipisteet sijaitsevat kartion akselilla. Rakennamme Dandelin-palloja ellipsin tapauksessa, paraabelin ja hyperbolin tapauksessa rakenne on monessa suhteessa samanlainen. Pudotetaan kohtisuora kartion yläosasta leikkaustasoon ja vedetään suora viiva sen pohjan ja kartion akselin ja leikkaustason leikkauspisteen läpi. Tämän suoran ja kartion pinnan ylemmän leikkauspisteen kautta piirretään tämän suoran ja tämän pisteen kautta kulkevan kartion generatrixin välisen kulman puolittaja . Saman pisteen kautta piirretään toinen puolittaja - määritetyn kulman vieressä . Nämä kaksi puolittajaa leikkaavat kartion akselin kahden Dandelin-pallon keskipisteissä. On vielä piirrettävä kaksi palloa, joiden keskipisteet ovat näissä kahdessa pisteessä ja joiden säde on yhtä suuri kuin etäisyys keskustasta generatrixiin.

Sovellus osiointiin

Jos otamme mielivaltaisen pisteen kartion ja tason leikkauslinjalle ja piirrämme sen läpi kartion generatrixin, joka leikkaa ympyröiden ja pisteissä ja , niin kun piste liikkuu , pisteet ja liikkuvat pitkin ympyrät ja etäisyyden säilyttäminen . $P$ $e$ $C$ $C'$ $K$ $Q'$ $P$ $K$ $Q'$ $C$ $C'$ $QQ'$

Koska ja ovat segmentit kaksi tangenttia pallon yhdestä pisteestä , Sitten ja vastaavasti . $PQ$ $PF$ $P$ $PQ=PF$ $PQ'=PF'$

Joten pisteet leikkausviivalla

on vakiosumma , mikä tarkoittaa, että mahdollisten pisteiden joukko on ellipsi ja pisteet ja ovat sen polttopisteitä. $PF+PF'=PQ+PQ'=QQ'$ $P$ $F$ $F'$
tai niillä on vakioero , mikä tarkoittaa, että mahdollisten pisteiden joukko on hyperbola ja pisteet ja ovat sen polttopisteitä. $PF-PF'=PQ-PQ'=QQ'$ $P$ $F$ $F'$

Taso leikkaa tasot, joissa ympyrät sijaitsevat , ja pitkin suoria viivoja, jotka ovat kartioleikkauksen suuntaviivoja [1] :46,47 . Directrix-ominaisuus on sellainen, että kaikissa pisteissä, jotka sijaitsevat kartion ja tason leikkauslinjalla , etäisyyden suhde pisteestä suuntaviivaan ja vastaavaan fokukseen on sama. Todellakin, anna sen olla leikkausviivalla, - ympyrän tasolla . Olkoon tasot ja leikkaavat suorassa linjassa , - kohtisuorassa osoitteesta , - kohtisuorassa kohteesta to . On helppo nähdä, että missä on kulma tasojen ja välillä . , missä on kartion akselin ja sen generatrixin välinen kulma. Kun nämä kaksi suhdetta kerrotaan, saadaan , että , eli arvon, joka ei riipu pisteen valinnasta . Sen käänteislukua kutsutaan kartion epäkeskisyydeksi . (Toinen fokus vastaa toista suuntaviivaa, joka muodostuu sekanttitason ja ympyrän tason leikkauspisteestä .) Siinä tapauksessa, että sekantotaso on yhdensuuntainen jonkin generatriisin kanssa , josta , eli . Tämä vastaa paraabelin standardimääritelmää pisteiden paikaksi, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä (focus) ja suorasta (suuntaviiva). $e$ $C$ $C'$ $e$ $P$ $c$ $C$ $c$ $e$ $l$ ${\näyttötyyli PH}$ $P$ $l$ $PK$ $P$ $c$ ${\frac {PH}{PK}}=\sin \alpha$ $\alpha$ $c$ $e$ ${\frac {PK}{PF}}={\frac {PK}{PQ}}={\frac {1}{\cos \varphi }}$ $\varphi$ ${\frac {PH}{PF}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \varphi }}$ $P$ ${\frac {PF}{PH}}$ $C'$ $\alpha =90^{\circ }-\varphi$ ${\frac {PF}{PH}}={\frac {\cos \varphi }{\sin \alpha }}=1$ $PF=PH$

Muistiinpanot

↑ Pogorelov A. V. Geometria. — M .: Nauka , 1983. — 288 s.

Kirjallisuus

Dandelin G. Mémoire sur l'hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (s. -16).
Shal M. Temppujen rakentamismenetelmästä ja niiden ominaisuuksien osoittamisesta vinossa kartiossa // Historiallinen katsaus geometristen menetelmien alkuperään ja kehitykseen . - M. , 1883.
Hilbert D., Cohn-Vossen S. Luku 1 // Visuaalinen geometria. - Kolmas venäjä. toim. - M .: Nauka, 1981.
Akopyan A. V., Zaslavsky A. A. Toisen asteen käyrien geometriset ominaisuudet . — M .: MTSNMO , 2007. — 136 s.

Delaunay B. N., Raikov D. A. Volume 2 // Analytical Geometry. — M., L.: Gostekhizdat , 1949. — 516 s.
Veselov A.P., Troitsky E.V. Luennot analyyttisestä geometriasta . - Pietari. : Lan, 2003. - 160 s.
Protasov V. Yu. Maksimit ja minimit geometriassa . - M .: MTsNMO. — 56 s. - (Kirjasto "Mathematical Education", numero 31).
F. Nilov. Dandelin spheres YouTubessa Luento Moskovan valtionyliopiston Maly Mekhmatissa, 2011

Linkit

Wikimedia Commonsilla on Dandelin-palloihin liittyvää mediaa

Kartioprofiilit
Päätyypit	Ellipsi Hyperbeli Paraabeli
Degeneroitunut	Piste Suoraan Pari suoraa viivaa
Ellipsin erikoistapaus	Ympyrä
Geometrinen rakenne	kartiomainen leikkaus Dandelin palloja Steinerin suunnittelu
Katso myös	Kartiomainen vakio
Matematiikka • Geometria