Rakennus kompassilla ja suoraviivalla

Rakennus kompassilla ja suoraviivalla

Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Kompassin ja viivaimen avulla tehdyt rakenteet on osa euklidelaista geometriaa , joka tunnettiin muinaisista ajoista lähtien .

Rakennusongelmissa kompassien ja viivaimen oletetaan olevan ihanteellisia työkaluja, erityisesti:

Viivoittimella ei ole jakoja, ja sen sivu on äärettömän pitkä, mutta vain yksi.
Kompassissa voi olla mikä tahansa (suuri tai pieni) aukko (se voi piirtää mielivaltaisen säteen ympyrän) ja säilyttää viimeisen aukon, eli se voi piirtää identtiset ympyrät mihin tahansa.

Esimerkkejä

Bisiction ongelma . Jaa annettu jana AB kahteen yhtä suureen osaan kompassin ja suoraviivan avulla. Yksi ratkaisuista näkyy kuvassa:

Piirrämme kompassilla ympyröitä, joiden keskipiste on pisteissä A ja B ja joiden säde on AB .
Löydämme kahden konstruoidun ympyrän (kaaren) leikkauspisteet P ja Q.
Piirrä jana tai viiva viivainta pitkin, joka kulkee pisteiden P ja Q kautta.
Löydämme janan AB halutun keskipisteen - AB :n ja PQ :n leikkauspisteen .

Muodollinen määritelmä

Rakennustehtävissä otetaan huomioon joukko seuraavia kohteita: tason kaikki pisteet, tason kaikki suorat ja tason kaikki ympyrät. Ongelman olosuhteissa tietty joukko objekteja määritellään alun perin (katsotaan rakennettuna). On sallittua lisätä (rakentaa) rakennettujen objektien joukkoon:

mielivaltainen piste;
mielivaltainen piste annetulla suoralla;
mielivaltainen piste annetulla ympyrällä;
kahden annetun suoran leikkauspiste;
tietyn suoran ja tietyn ympyrän leikkauspisteet/tangentti;
kahden annetun ympyrän leikkauspisteet/tangentti;
mielivaltainen suora, joka kulkee tietyn pisteen kautta;
kahden tietyn pisteen kautta kulkeva suora viiva;
mielivaltainen ympyrä, joka on keskitetty tiettyyn pisteeseen;
mielivaltainen ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin kahden tietyn pisteen välinen etäisyys;
ympyrä, jonka keskipiste on tiettyyn pisteeseen ja jonka säde on yhtä suuri kuin kahden tietyn pisteen välinen etäisyys.

Näiden operaatioiden äärellisen määrän avulla on rakennettava toinen objektijoukko, joka on tietyssä suhteessa alkuperäisen joukon kanssa.

Rakennusongelman ratkaisu sisältää kolme olennaista osaa:

Kuvaus menetelmästä tietyn joukon muodostamiseksi.
Todiste siitä, että kuvatulla tavalla rakennettu joukko on todellakin tietyssä suhteessa alkuperäiseen joukkoon. Yleensä konstruktion todistus tehdään lauseen säännöllisenä todistuksena aksioomien ja muiden todistettujen lauseiden perusteella.
Kuvatun rakennusmenetelmän analyysi sen soveltuvuuden osalta eri alkuolosuhteiden muunnelmiin sekä kuvatulla menetelmällä saadun ratkaisun ainutlaatuisuudesta tai epäainutlaatuisuudesta.

Tunnetut haasteet

Apolloniuksen ongelma kolmen ympyrän tangentin muodostamisesta. Jos mikään annetuista ympyröistä ei ole toisen sisällä, niin tällä tehtävällä on 8 olennaisesti erilaista ratkaisua.
Brahmaguptan ongelma piirretyn nelikulmion rakentamisesta sen neljälle sivulle.

Säännöllisten polygonien rakentaminen

Muinaiset geometrit osasivat rakentaa säännöllisiä n - kulmia , , ja . $n = 2^k$ $n=3\cdot 2^{k}$ $n=5\cdot 2^{k}$ $n=3\cdot 5\cdot 2^{k}$

Vuonna 1796 Gauss osoitti mahdollisuuden rakentaa säännöllisiä n - goneja , joissa on erilaisia Fermat -alkulukuja . Vuonna 1836 Wanzel osoitti, että ei ollut muita säännöllisiä polygoneja , jotka voitaisiin rakentaa kompassin ja suoraviivan avulla. $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}$ $p_{i}$

Ratkaisemattomat ongelmat

Muinaiset kreikkalaiset asettivat seuraavat kolme rakennustehtävää:

kulman kolmiosa - jakaa mielivaltainen kulma kolmeen yhtä suureen osaan;
kuution kaksinkertaistaminen - muodosta kuution reuna, joka on kaksi kertaa suurempi kuin annettu kuutio;
ympyrän neliöinti tarkoittaa neliön rakentamista, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin annettu ympyrä.

Vasta 1800-luvulla todistettiin tiukasti, että kaikkia näitä kolmea ongelmaa ei voitu ratkaista käyttämällä vain kompassia ja suoraviivaa. Todiste näiden rakennusongelmien ratkaisemattomuudesta saatiin Galois'n teoriaan perustuvilla algebrallisilla menetelmillä [1] . Erityisesti mahdottomuus muodostaa ympyrän neliöinti johtuu luvun π ylityksestä .

Toinen tunnettu ja ratkaisematon ongelma kompassin ja viivaimen avulla on kolmion rakentaminen kolmen annetun puolittajan pituuden mukaan [2] . Tätä ongelmaa ei voi ratkaista edes kulman kolmiosaamista suorittavan työkalun , kuten tomahawkin , läsnä ollessa . [3]

Sallitut segmentit rakentamiseen kompassin ja suoraviivan avulla

Näitä työkaluja käyttämällä on mahdollista rakentaa segmentti, jonka pituus:

yhtä suuri kuin useiden segmenttien pituuksien summa;
yhtä suuri kuin kahden segmentin pituuksien ero;
numeerisesti yhtä suuri kuin kahden segmentin pituuden tulo;
numeerisesti yhtä suuri kuin kahden segmentin pituuden jaon osamäärä;
numeerisesti yhtä suuri kuin tietyn janan pituuden neliöjuuri (seuraa mahdollisuudesta muodostaa kahden janan geometrinen keskiarvo , katso kuva). [neljä]

Jos haluat muodostaa segmentin, jonka pituus on numeerisesti yhtä suuri kuin annettujen segmenttien pituuksien tulo, yksityinen ja neliöjuuri, on tarpeen asettaa rakennetasolle yksikkösegmentti (eli segmentti, jonka pituus on 1), muuten ongelma on ratkaisematon mittakaavan puutteen vuoksi. Juurien irrottaminen segmenteistä, joilla on muita luonnollisia voimia, jotka eivät ole 2:n potenssia, ei ole mahdollista kompassin ja suoraviivan avulla. Joten esimerkiksi on mahdotonta rakentaa pituista segmenttiä yhdestä segmentistä käyttämällä kompassia ja viivainta . Tämä tosiasia viittaa erityisesti kuution tuplausongelman ratkaisemattomuuteen. [5] ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Mahdolliset ja mahdottomat rakenteet

Formaalisesta näkökulmasta minkä tahansa rakennustehtävän ratkaisu pelkistetään jonkin algebrallisen yhtälön graafiseksi ratkaisuksi , ja tämän yhtälön kertoimet liittyvät annettujen segmenttien pituuksiin. Siksi voidaan sanoa, että rakentamisongelma on pelkistetty jonkin algebrallisen yhtälön todellisten juurien löytämiseen.

Siksi on kätevää puhua luvun rakentamisesta - graafisesta ratkaisusta tietyn tyyppiseen yhtälöön.

Segmenttien mahdollisten rakenteiden perusteella seuraavat rakenteet ovat mahdollisia:

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisujen rakentaminen .
Ratkaisujen rakentaminen yhtälöihin pelkistämällä toisen asteen yhtälöiden ratkaisuihin .

Toisin sanoen, on mahdollista rakentaa vain aritmeettisia lausekkeita vastaavia segmenttejä käyttämällä alkuperäisten lukujen neliöjuuria (annetut segmentin pituudet).

Ratkaisu on ilmaistava neliöjuurilla , ei mielivaltaisilla asteradikaaleilla. Vaikka algebrallisella yhtälöllä on ratkaisu radikaaleissa , tämä ei tarkoita mahdollisuutta rakentaa sen ratkaisua vastaava segmentti kompassin ja viivaimen avulla. Yksinkertaisin yhtälö: liittyy kuuluisaan kuution tuplausongelmaan, pelkistettynä tähän kuutioyhtälöön . Kuten edellä mainittiin, tämän yhtälön ( ) ratkaisua ei voida rakentaa kompassilla ja viivaimella. $x^{3}-2=0,$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Kyky rakentaa säännöllinen 17 kulmio seuraa sen sivun keskikulman kosinin lausekkeesta:

\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}=-{\frac {1}{16}}\;+\;{\frac {1}{16 }}{\sqrt {17}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\;+\;

+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}},

mikä puolestaan johtuu mahdollisuudesta pelkistää yhtälö, jonka muoto on missä on mikä tahansa alkuluku Fermat-luku , käyttämällä muuttujan muutosta toisen asteen yhtälöksi.

x^{F_{n}}-1=0,

F_{n}

Muunnelmia ja yleistyksiä

Rakenteet yhdellä kompassilla. Mohr-Mascheronin lauseen mukaan yhden kompassin avulla voit rakentaa minkä tahansa hahmon, joka voidaan rakentaa kompassilla ja viivaimella. Tässä tapauksessa suora katsotaan muodostuneeksi, jos sille on annettu kaksi pistettä.
Rakenteet yhdellä viivaimella. On selvää, että vain projektiivisesti invariantteja konstruktioita voidaan tehdä yhden viivaimen avulla. Erityisesti,
- on mahdotonta edes jakaa segmentti kahteen yhtä suureen osaan,
- on myös mahdotonta löytää annetun ympyrän keskipistettä.

Kuitenkin,

jos tasolle on aiemmin piirretty ympyrä, jossa on merkitty keskipiste ja yksi viivain, voidaan suorittaa samat rakenteet kuin kompassilla ja viivaimella ( Steiner-Poncelet-lause ).
Jos viivoittimessa on kaksi serifiä, niin sen avulla tehdyt rakenteet vastaavat kompassin ja viivaimen avulla tehtyjä rakenteita ( Napoleon teki tärkeän askeleen tämän todistamisessa ).

Rakenteet rajoitetuilla työkaluilla. Tällaisissa ongelmissa työkaluja (toisin kuin ongelman klassisessa muotoilussa) pidetä ei ihanteellisena, vaan rajoitettuna: suora viiva kahden pisteen läpi voidaan vetää viivaimella vain, jos näiden pisteiden välinen etäisyys ei ylitä tiettyä arvo; kompassilla piirrettyjen ympyröiden sädettä voidaan rajoittaa ylhäältä, alhaalta tai sekä ylhäältä että alhaalta.
Rakenteet, joissa käytetään litteää origamia , katso Fujitan säännöt
Saranoitujen mekanismien avulla rakennetut rakenteet ovat tasossa ja avaruudessa yksittäisiä tangoja, jotka on liitetty päistä saranoilla. Tällä tavalla voit rakentaa minkä tahansa algebrallisen luvun [6] .

Mielenkiintoisia faktoja

Iranin kansallisen lipun keskuskuvio kuvataan laillisesti kompassia ja viivainta käyttäväksi rakenteeksi [7] .

Katso myös

Dynaamisen geometrian ohjelmistopakettien avulla voit suorittaa virtuaalisia rakenteita käyttämällä kompassia ja viivainta tietokoneen näytöllä.

Muistiinpanot

↑ Kirichenko, 2005 , s. yksi.
↑ Kuka ja milloin osoitti, että kolmion rakentaminen kolmesta puolittajasta on mahdotonta? Arkistoitu 18. lokakuuta 2009 Wayback Machinessa . Etäneuvontapiste matematiikan MCNMO :lle .
↑ Onko mahdollista rakentaa kolmio kolmen puolittajan verran, jos kompassin ja suoraviivan lisäksi saa käyttää kolmisektorin arkistokopiota 26.8.2015 Wayback Machinessa . Etäneuvontapiste matematiikan MCNMO :lle .
↑ Kirichenko, 2005 , s. neljä.
↑ Kirichenko, 2005 , s. 9.
↑ Maehara, Hiroshi (1991), Etäisyydet jäykässä yksikkö-etäisyyskaaviossa tasossa , Discrete Applied Mathematics , osa 31 (2): 193–200 , DOI 10.1016/0166-218X(91)90070-D .
↑ Iranin Flag Standard arkistoitu 21. kesäkuuta 2012 Wayback Machinessa (pers.)

Kirjallisuus

Adler A. Geometristen rakennusten teoria / Saksasta kääntänyt G. M. Fikhtengolts. — Kolmas painos. - L .: Uchpedgiz, 1940. - 232 s.
Aleksandrov I. I. Kokoelma geometrisia ongelmia rakentamiseen . – Kahdeksastoista painos. - M . : Uchpedgiz, 1950. - 176 s.
Argunov B. I., Balk M. B. Geometriset rakenteet tasossa. Käsikirja pedagogisten oppilaitosten opiskelijoille . - Toinen painos. - M . : Uchpedgiz, 1957. - 268 s.
Voronets A. M. Kompassin geometria . - M. - L. : ONTI, 1934. - 40 s. — (Popular Library in Mathematics, toimittaja L. A. Lyusternik).
Geiler V. A. Ratkaisemattomat rakennusongelmat // SOZH . - 1999. - Nro 12 . - S. 115-118 .
Kirichenko V. A. Rakenteet kompassilla ja viivaimella ja Galois-teoria // Kesäkoulu "Moderni matematiikka". - Dubai, 2005.
Manin Yu. I. Kirja IV. Geometria // Alkeismatematiikan tietosanakirja . - M .: Fizmatgiz, 1963. - 568 s.
Petersen Yu. Menetelmiä ja teorioita geometristen rakennusongelmien ratkaisemiseksi . - M . : E. Lissnerin ja Yu. Romanin kirjapaino, 1892. - 114 s.
Prasolov VV Kolme klassista rakennustehtävää. Kuution tuplaus, kulman kolminleikkaus, ympyrän neliöinti . - M .: Nauka, 1992. - 80 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
Geometriset rakenteet // Matematiikan käsikirja (yleiskouluille) / Tsypkin A. G., toim. Stepanova S. A. - 3. painos - M.: Nauka, Ch. painos Phys.-Math. Kirjallisuus, 1983. - S. 200-213. – 480 s.
Steiner J. Geometriset rakenteet, jotka suoritetaan käyttämällä suoraa ja kiinteää ympyrää . - M . : Uchpedgiz, 1939. - 80 s.
Valinnainen matematiikan kurssi. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaja. - M . : Koulutus , 1991. - S. 80. - 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .

Linkit

Säännölliset polygonirakenteet Dr. Matematiikka Math Forumissa
Rakentaminen kompassilla Vain solmun kohdalla
Hippokratesin kulmakolmio leikkauskohdassa _
Weisstein, Eric W. Angle Trisection (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Hienoa norjalaista Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4792645-4