Ilmaisukyky radikaaleissa

Ilmaisukyky radikaaleilla tarkoittaa kykyä ilmaista luku tai funktio yksinkertaisimmilla luvuilla tai funktioilla poimimalla kokonaisluvun asteen juuri ja aritmeettiset operaatiot - yhteen- , vähennys- , kerto- ja jakolasku .

Numeroille

Ensisijaiset määritelmät

Normaali määritelmä

Kenttäelementin sanotaan olevan radikaalisti ilmaistavissa kentän alikentän yli , jos on olemassa algebrallinen lauseke , joka sisältää numeroina vain ne kentän elementit, joiden arvo on yhtä suuri kuin . Jos kentän juuri on moniarvoinen funktio , katsotaan riittäväksi, että luku on yhtä suuri kuin vähintään yksi algebrallisen lausekkeen mahdollisista arvoista . $a$ $F$ $G$ $F$ $G$ $a$ $F$ $a$

Toisin sanoen radikaaleilla ilmaistujen lukujen joukko koostuu kaikkien rationaalisten lausekkeiden arvojen joukosta , radikaalien osittaisista summista rationaalisten lausekkeiden arvoista ja sisäkkäisten radikaalien osittaisista rationaalisten lausekkeiden arvoista. ilmaisuja.

Määritelmä ilman viittausta matematiikan muodolliseen kieleen

Antaa olla kentän osakenttä . Tarkastellaan rajallista sisäkkäisten kenttien ketjua siten, että ja [nb 1] mille tahansa alkaen to , Jossa on luku kentästä sellainen, että joillekin luonnollisille lukuille kuuluu . Luvun sanotaan olevan radikaalisti ilmaistava kentän alikentässä , jos joillekin on olemassa kokoelmia ja sille sellaisia, että [1] . $G$ $F$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $G_{0}=G$ $G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})$ $i$ $yksi$ $s$ $\alpha_i$ $F$ $n_{i}$ $\alpha _{i}^{n_{i))$ $G_{i-1}$ $a\in F$ $G$ $F$ $s$ $\alpha_i$ $n_{i}$ $a\in G_{s}$

Muut määritelmät

Reaaliluvun sanotaan olevan ilmaistavissa reaaliradikaaleilla, jos se on ilmaistavissa radikaaleilla rationaalilukujen kentän yli reaalilukujen kentässä . Tässä tapauksessa arvon saavan algebrallisen lausekkeen parillisen asteen juuret saa ottaa vain ei-negatiivisista luvuista , eli minkä tahansa tarkasteltavan lausekkeen osalausekkeen arvolla on oltava nolla imaginaariosa . $x$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $x$
Kompleksiluvun (joka voi olla myös todellinen ) sanotaan olevan ilmaistavissa kompleksiradikaaleissa, jos se on ilmaistavissa kompleksilukukentän rationaalisten lukujen alikentän radikaaleilla . Reaaliradikaaleissa ilmaistava luku on aina ilmaistavissa kompleksisissa radikaaleissa. Kompleksilukujen ensisijainen esiintyminen algebrallisessa lausekkeessa , joka ottaa arvon , voi tapahtua vain, koska negatiivisista luvuista erotetaan parillinen astejuuri . Kompleksilukujen juurien moniselitteisyyden käsittelyn yksinkertaistamiseksi käytetään erilaisia menetelmiä osoittamaan, mikä juurista on tarpeen tietyn luvun saamiseksi: esimerkiksi yksikön kompleksijuuret , jotka ovat tärkeitä vakioita, numeroidaan eksplisiittisesti vastapäivään tavallisella kompleksitasolla alkaen itse yksiköstä. $z$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $z$ $n$
Kentän elementin sanotaan olevan ilmaistava asteradikaaleina kentän alikentän yli , jos jokin algebrallinen lauseke mahdollisten juurien luvuilla , joiden arvo on yhtä suuri kuin , sisältää vain astejuuria . Erityisesti silloin, kun lukua kutsutaan ilmaistavaksi neliöradikaaleina ja kun se ilmaistaan kuutioradikaaleina . Myös yhdistelmät ovat mahdollisia: esimerkiksi luvut ja ovat ilmaistavissa neliö- ja kuutioradikaaleina rationaalisten lukujen kentän yli . Määritelmä, joka ei ylitä standardin formaalin kielen soveltamisalaa , on seuraavanlainen: kenttäelementin sanotaan olevan ilmaistavissa kentän alikentän asteradikaaleina , jos se on ilmaistavissa kentän radikaaleilla ja kaikki kentässä mukana olevat. radikaalin ilmaisukyvyn määritelmä yllä annetulle on yhtä suuri [1] . $a$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $a$ $n$ $n = 2$ $a$ $n = 3$ ${\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2))))$ ${\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}$ $\mathbb {Q}$ $a$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $n_{i}$ $a$ $n$
Reaalineliöradikaaleilla ilmaistavaa lukua kutsutaan todelliseksi rakennettavaksi [2] .
Olkoon kenttä . _ Tällöin kenttää [nb 2] , jossa ja , kutsutaan kentän radikaalilaajennukseksi [3] . Siten edellä rakennetussa kenttäketjussa jokainen seuraava on jokin radikaali jatke edellisestä. Tässä tapauksessa määritettyä kenttää kutsutaan kentän neliölaajennukseksi, eli neliöradikaaleina ilmaistu luku kuuluu seuraavaan kenttään alkuperäisen alikentän neliölaajennusten ketjussa [4] . $K$ $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $a\in K$ ${\sqrt[{n}]{a}}\notin K$ $K$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $n = 2$ $K$
Radikaaleilla ilmaistavaa lukua kutsutaan radikaaleilla ilmaistavaksi $n$ , jos kaikkien sitä vastaavien algebrallisten lausekkeiden joukossa niissä olevien juurien vähimmäismäärä on [5] . $n$

Esimerkkejä

Luku on ilmaistavissa reaalineliöradikaaleilla , eli se on reaalikonstruktioitava . Samalla se on ilmaistavissa muodon minkä tahansa asteen reaaliradikaaleissa , missä on luonnollinen luku, koska . ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))$ $2^{n}$ $n$ ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))={\sqrt[{2^{n))]({\Big (}3+{\sqrt[{2^{n)) ]{8^{2^{n-1)))){\Big )}^{2^{n-1))))$
Luku näyttää myös ensi silmäyksellä olevan ilmaistavissa vain muodon minkä tahansa asteen radikaaleilla , mutta itse asiassa se on ilmaistavissa kaikenasteisilla ja -lajisilla radikaaleilla , koska millä tahansa . ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))$ $2^{n}$ ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))=4={\sqrt[{n}]{4^{n }}}$ $n$
Aina ei ole mahdollista määrittää välittömästi sellaista minimiä , että tarkasteltava luku on ilmaistavissa radikaaleilla , koska kahdella neliöradikaalilla ilmaistava luku on itse asiassa yhtä suuri ja se on ilmaistavissa yhdellä neliöradikaalilla . $n$ $n$ ${\sqrt {17+{\sqrt {288))))$ ${\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3 +{\sqrt {8}}$
Lisää samanlaisia esimerkkejä on artikkelissa sisäkkäiset radikaalit .
Luku on ilmaistavissa radikaaleilla kentän alikentän yli , koska tämän algebrallisen lausekkeen parillisen asteen ainoa juuri on poimittu ei-negatiivisesta luvusta , mutta se ei ole ilmaistavissa todellisissa radikaaleissa , koska . Toisin kuin edellisissä kappaleissa, tässä tapauksessa voidaan puhua tarkasteltavan luvun negatiivisesta ominaisuudesta sen spesifisen merkintätavan perusteella, koska olettaen, että se on ilmaistavissa reaaliradikaaleilla , saisimme helposti algebrallisen lausekkeen luvulle , joka ei ei ole olemassa näiden numeroiden ylityksen vuoksi (katso Yleiset ominaisuudet -osio ). ${\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}$ $\mathbb {Q} (\pi )$ $\mathbb {R}$ $\pi$ $\pi \notin \mathbb {Q}$ $\pi$

Selitykset

Ilmaisukyky radikaaleissa suhteessa reaalilukuon, ilman muita kirjallisuudessa esitettyjä määrityksiä, tarkoittaa yleensä ilmaistavuutta kompleksisissa radikaaleissa .

Funktioille , polynomeille ja yhtälöille _

Ensisijaiset määritelmät

Normaali määritelmä

Funktion , joka ottaa arvoja kentässä ja riippuu tietystä määrästä parametreja , sanotaan olevan ilmaistavissa radikaaleina kentän alikentän yli , jos on olemassa algebrallinen lauseke , joka sisältää vain kentän elementit ja ilmoitetut parametrit numeroita, joiden arvo on sama kuin näiden parametrien kaikkien sallittujen arvojen arvo [6] . $f$ $F$ $G$ $F$ $G$ $f$

Määritelmä ilman viittausta matematiikan muodolliseen kieleen

Antaa olla kentän osakenttä . Tarkastellaan tällaista rajallista sisäkkäisten kenttien ketjua , jonka elementit ovat funktioita alkaen (mahdollisesti ilman useita pisteitä nollalla jakamisen välttämiseksi) ryhmään , joka koostuu kaikista rationaalisista funktioista yli ja [nb 3] mille tahansa alkaen to , jossa on niin jatkuva funktio päällä , että joillekin luonnollisille funktio kuuluu . Funktion sanotaan olevan ilmaistavissa radikaaleina kentän alikentän yli , jos joillekin , sille on olemassa sellaisia kokoelmia ja , että . $G$ $F$ ${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s))$ $F$ $F$ $K_{0}$ $G$ $K_{i}=K_{i-1}(f_{i})$ $i$ $yksi$ $s$ $f_{i}$ $F$ $n_{i}$ $f_{i}^{n_{i))$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f\colon F\to F$ $G$ $F$ $s$ $f_{i}$ $n_{i}$ $f\in K_{s}$

Muut määritelmät

Moniarvoista funktiota kutsutaan radikaaliksi ilmaistavaksi alikentän yli, jos kaikki siitä poimitut yksiarvoiset funktiot ovat ilmaistavissa myös alikentän radikaaleissa . $f$ $G$ $G$
Yhdessä muuttujassa olevaa polynomia , joka riippuu tietystä määrästä parametreistä (joidenkin kertoimien määrittäminen), kutsutaan radikaaleissa ratkaistavaksi , jos jatkuva ja mahdollisesti moniarvoinen funktio on ilmaistavissa radikaaleissa , jotka sopivat parametriarvojen joukkoon\ u200b\u200vastaavalla polynomijuurijoukolla .
Algebrallista yhtälöä kutsutaan radikaaleissa ratkaistavaksi, jos voimme ratkaista radikaaleissa polynomin, joka vastaa nollaa tässä yhtälössä [4] [7] .
Funktiot ja polynomit ovat kaikkien edellä mainittujen radikaalien ilmentävyyden ja erotettavuuden määritelmän rajoitusten alaisia . Esimerkiksi funktio, joka on määritelty koko reaaliviivalla, on ilmaistavissa neliökompleksiradikaaleissa . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x))))$

Esimerkkejä

Moniarvoinen funktio on ilmaistavissa radikaaleilla , koska kaikki kuusi siitä erotettua yksiarvoista funktiota täyttävät ehdon , jossa on algebrallinen lauseke , joka käyttää vain muuttujaa, joka toimii funktion argumenttina, ja kompleksilukuja. $f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ $g(x)$ $g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ ${\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$
Polynomi on ratkaistavissa kompleksisissa neliöradikaaleissa , koska mille tahansa sen juuret ovat funktiolla . Tämä polynomi voidaan kuitenkin ratkaista reaaliradikaaleissa vain sillä rajoituksella, että luku kuuluu ei-positiivisten lukujen joukkoon. $x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x$ $a$ $x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}$ $a$

Selitykset

Jos kyseessä on kompleksifunktio ilman alikentän määrittelyä , sen oletetaan yleensä olevan yhtä suuri kuin sama kompleksilukujen joukko . $G$ $\mathbb {C}$
On tärkeää huomata, että ilmaistuvuus funktion radikaaleissa ja ilmaistuvuus kunkin elementin kuvan radikaaleissa, kun sitä käytetään, eivät ole ekvivalentteja: esimerkiksi funktio, joka täyttää toisen ehdon, ei välttämättä ole jatkuva . , kun taas tämä vaatimus on pakollinen sille, joka täyttää ensimmäisen ehdon. $\mathbb {R}$

Yleiset ominaisuudet

Radikaaleilla ilmaistavien lukujen ja radikaaleilla ilmaistavien funktioiden joukot ovat kenttiä , jotka sisältävät kentät, joiden yli ne ovat ilmaistavissa radikaaleissa alikenttinä.
Mikä tahansa radikaaleilla ilmaistava kompleksiluku on algebrallinen , mutta jokainen algebrallinen luku ei ole ilmaistavissa radikaaleilla. Ensimmäinen väite johtuu rationaalilukujen algebrallisesta luonteesta ja siitä tosiasiasta, että algebrallisten lukujen joukko on kenttä ( radikaaleilla ilmaistavan luvun määritelmän siirtymän jokaisessa vaiheessa algebralliset luvut generoivat vain algebrallisia lukuja ). Toinen väite seuraa seuraavasta lauseesta asteyhtälön olemassaolosta kokonaislukukertoimilla, jonka juurista ainakin yksi on sanoin kuvaamaton radikaaleissa. Samoin mikä tahansa radikaaleilla ilmaistava funktio on algebrallinen , kun taas kaikki algebralliset funktiot eivät ole ilmaistavissa radikaaleissa. Toisin sanoen algebrallisten lukujen kenttä sisältää radikaaleilla ilmaistavien lukujen kentän ja algebrallisten funktioiden kenttä radikaaleilla ilmaistavien funktioiden kentän, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa. $G_{i-1}$ $G_{i}$ $5$
Mikä tahansa radikaaleilla ilmaistava funktio ottaa itseensä radikaaleilla, algebrallisilla luvuilla ja transsendentaalisilla luvuilla ilmaistavat lukujoukot saman kentän yli. Jos radikaaleilla ilmaistavan moniarvoisen funktion argumentti koostuu kokonaan näiden joukon luvuista, myös kuva osuu siihen. Kuitenkin vain kaksi viimeistä sarjaa ovat aina täysin kuvia itsestään. Voit saada radikaaleilla ilmaistavan luvun, joka saadaan soveltamalla radikaaleilla ilmaistavaa funktiota vain radikaaleilla ilmaisemattomiin lukuihin, seuraavasti: ota asteinen polynomi kokonaislukukertoimilla, jonka juuri ei ole ilmaistavissa radikaaleilla ja jonka vapaa termi ei ole yhtä suuri kuin nolla ( alla kuvatun Kronecker-lauseen mukaan, koska tällainen polynomi voi olla sopiva, esimerkiksi [2] ). Tällöin sellaisen polynomin antama funktio ilman vapaata termiä saa saman arvon vain tämän polynomin juurissa, jotka ovat ilmaisuttomia radikaaleilla, kun taas vapaa termi itse on kokonaisluku ja ilmeisesti ilmaistavissa millä tahansa radikaalilla. $5$ $x^{5}-4x+2$

Geometriset ja trigonometriset lauseet

Geometristen rakenteiden teorian päälause : jos tasossa on pituussegmentti , rakennamme pituussegmentin kompassilla ja viivaimella silloin ja vain, jos luku on todellisuudessa rakennettavissa (eli se voidaan ilmaista neliön reaaliradikaaleissa) [2] [1] [8] [9] . Tämä tarkoittaa, että ympyrän neliöinti ja kuution kaksinkertaistaminen kompassilla ja viivaimella on mahdotonta, koska tuloksena saadaan ei-konstruktioita reaalilukuja ja vastaavasti [1] . $yksi$ $x$ $x$ ${\sqrt {\pi ))$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$
Yleisemmässä muodossa edellä tarkasteltu lause kuulostaa tältä: annetuille pituuksille segmenteille voidaan muodostaa pituussegmentti kompassilla ja viivaimella jos ja vain jos [1] . ${\displaystyle a_{1},a_{1},\dots ,a_{n))$ $a$ $a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots ,a_{n})$
Gaussin lause : Luku on todellinen rakennettavissa silloin ja vain jos , jossa kaikki ovat pareittain erillisiä Fermat-alkulukuja . Etenkin tästä lauseesta seuraa, että luku ei ole todellisuudessa rakennettavissa, eli kulman kolmiosaa on mahdotonta piirtää kompassilla ja viivaimella ja siten mielivaltaista kulmaa [2] [1] . Samoin on todistettu mahdottomuus jakaa mielivaltainen kulma mihin tahansa määrään yhtä suuria osia, jotka eivät ole kahden potenssi - jos tällainen jako olisi mahdollista, olisi mahdollista muodostaa kulmia muotoon , mikä on mahdollista vain . ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k))$ $p_{i}$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big )))$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a^{2))))$ $a=2^{k}$

Luettelo joidenkin kulmien trigonometristen funktioiden algebrallisista lausekkeista on artikkelissa Trigonometriset vakiot . Tarkastelun lauseen sivutulos on, että trigonometristen funktioiden arvot kulmassa, joka on kokonaisluku asteita, ilmaistaan radikaaleina silloin ja vain, jos tämä luku on jaollinen luvulla .

3

Gauss-Wanzel-lause seuraa myös välittömästi yllä olevasta Gaussin lauseesta ja toteaa, että säännöllinen -gon voidaan muodostaa kompassilla ja suoraviivalla , jos ja vain jos, jossa kaikkiovat pareittain erillisiä Fermat-alkulukuja , eli jos ja vain jos kosini sen keskikulma on yhtä suurikuin , rakennamme todellisen [2] [9] [4] . $n$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k))$ $p_{i}$ ${\frac {2\pi }{n}}\,(\mathrm {rad} )$
Huolimatta yllä olevista tosiseikoista minkä tahansa kulman kosini, joka on kerrannainen , voidaan ilmaista monimutkaisina radikaaleina, koska , missä on ykkösjuuri standardinumeroinnissa itse yksikön jälkeen, ja luku ilmaistaan Tšebyševin kautta tai käyttämällä sitä. polynomit . Kuitenkin jopa niissä tapauksissa, joissa tietyn kulman kosini on ilmaistavissa vain mielivaltaisen asteen kompleksisissa radikaaleissa, mutta ei neliötodellisissa radikaaleissa, vastaavan lausekkeen radikaalien minimiaste ei välttämättä ole yhtä suuri kuin : esimerkiksi , että on, tämä luku ilmaistaan neliö- ja kuutioradikaaleina (tässä tapauksessa oikean arvon saamiseksi mahdollisen yhdeksän joukosta tulee ottaa kuutiojuurten arvot, joilla on suurin reaaliosa). $\pi \,(\mathrm {rad} )$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\) frac {1}{u_{2}}}{\Big )))$ ${\displaystyle u_{2))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ $\sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big ))))}$ $n$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3 }]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2 }}}\oikea)$

Funktiolauseet _

Kompleksiradikaaleina ilmaistun funktion Galois'n ryhmä on ratkaistavissa [6] . (Tässä tapauksessa "funktion Galois-ryhmä" tarkoittaa funktion Riemannin pinnan arkkien permutaatioiden ryhmää , jonka muodostavat rengaspermutaatiot tämän pinnan haarapisteiden ympärillä.)
Radikaaleilla ilmaistu funktion derivaatta ilmaistaan myös radikaaleilla, koska kaikkien funktioihin sovellettavien algebrallisten lausekkeiden aritmeettisten operaatioiden derivaatat ovat algebrallisia lausekkeita , jotka käyttävät vain näiden funktioiden arvoja ja juuren tapauksessa , sen aste muuttujina:

\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2))

{\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1))))}

Päinvastoin ei kuitenkaan pidä paikkaansa: esimerkiksi käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatat ovat ilmaistavissa radikaaleilla yli , kun taas käänteiset trigonometriset funktiot ovat itse transsendentaalisia funktioita , eli ne eivät ole algebrallisia (ja mikä tahansa radikaaleilla ilmaistava funktio, kuten mainittiin edellä on algebrallinen): $\mathbb {Q}$

\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)))).

\arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)))).

\operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

\operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

Polynomilauseet _

Polynomi liukenee radikaaleihin silloin ja vain, jos sen Galois-ryhmä on yleisesti liukoinen [10] .
Kroneckerin lause : ainakin yksi alkuasteen yhtälön juurista, joka ei ole pelkistymätön rationaalisissa luvuissa kokonaislukukertoimilla, voidaan ilmaista radikaaleissa lukuna vain, jos niiden joukossa on täsmälleen yksi tai täsmälleen reaali [2] [3] . Tästä rakentamalla redusoitumaton astepolynomi kokonaislukukertoimilla ja kolmella reaalijuurella (esimerkki tällaisesta polynomista voi toimia ), johdetaan välittömästi seuraavan lauseen erikoistapaus rationaalilukujen kenttään : $n$ $n$ $5$ $x^{5}-4x-2$ $\mathbb {Q}$
Abel-Ruffinin lause , jonka mukaan minkä tahansa asteen yhtälöt, jotka ovat vähintään, kokonaislukukertoimilla, eivät ole ratkaistavissa radikaaleissa yleisessä muodossa (eli kunniiden kaikki kertoimet on parametroitu ). $5$
Yhtälöt, joiden kokonaislukukertoimet enintään ja mukaan lukien, ovat kuitenkin ratkaistavissa (katso Lineaarinen yhtälö , Toisen asteen yhtälö , Kuutioyhtälö , Neljännen asteen yhtälö ). Samaan aikaan lineaariset yhtälöt ovat ratkaistavissa ilman radikaaleja, neliöyhtälöt - vain neliöradikaaleja käyttämällä (ja todellisilla juurilla myös reaali), kuutio ja neljäs astetta - vain käyttämällä todellisia neliö- ja kompleksisia kuutioradikaaleja [2] [5] . Lisäksi, kuten voidaan nähdä kaikkien näiden yhtälöiden ratkaisukaavoista ( ja tehot, katso Cardanon kaava ja Ferrarin kaava ), ne ovat ratkaistavissa jopa rationaalisten lukujen kentän yli . $neljä$ $3$ $neljä$

Kaavat asteyhtälöiden ratkaisemiseksi , ,

yksi

2

3

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$ .
$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))$
Yksi yhtälön ratkaisuista on , missä ja (sinun tulee ottaa sellaiset kuutiojuurten arvot, jotta luku on yhtä suuri kuin niiden tulo). Poistamalla kertoimen tällä juurilla, kuutioyhtälö muunnetaan lineaarisen ja toisen asteen yhtälön tuloksi, joiden ratkaisut on annettu edellä. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt ({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}$ $p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}$ $q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}$ $-{\frac {p}{3}}$

Täysi kaava yhdelle asteyhtälön ratkaisuista

3

${\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}- {\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^ {2}}}-{\frac {d}{2a}}\oikea)^{2}+\vasen({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a ^{2}}}\oikea)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+ {\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\oikea)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^ {3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\oikea)^{2}+\vasen({\frac {c}{3a }}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\oikea)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}$

Täysimuotoisen tutkinnon kaavat ovat liian hankalia. $neljä$

Kapeampi yhtälöiden luokka, jota kutsutaan käänteisyhtälöiksi , voidaan ratkaista radikaaleilla asteeseen asti. Parittoman asteen toistuvilla polynomeilla on muoto ja ne esitetään hakasulkeen ja jonkin parillisen asteen toistuvan yhtälön tulona, ja se puolestaan näyttää tältä: aste . Yllä olevan Abel-Ruffinin lauseen mukaan tällainen yhtälö on ratkaistavissa radikaaleissa aina asti , joten käänteisyhtälö on ratkaistavissa radikaaleissa asteeseen asti [11] . $9$ $2n+1$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Iso (}{\frac {\) lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $n$ $n = 4$ $2\cdot 4+1=9$
On myös helppo varmistaa induktiolla , että muodon polynomit , joissa on korkeintaan astepolynomeja, ovat ratkaistavissa yleismuodon radikaaleissa . Muodon erikoistapausta , jossa on astepolynomi , kutsutaan bikvadraattiseksi yhtälöksi ja muotoon kirjoitettuna sillä on neljä juuria yhtä suuri kuin . $n$ $P_{1}(P_{2}(\dots P_{n}(x)\dots ))$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n))$ $neljä$ $P(x^{2})$ $P$ $2$ $ax^{4}+bx^{2}+c$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))))$
Olkoon pelkistymätön polynomi kentän päällä ja sen hajoamiskenttä . Polynomi on ratkaistavissa neliöradikaaleissa silloin ja vain jos ( eli kentän lineaarisen avaruuden ulottuvuus on yhtä suuri kuin jollekin luonnolliselle ) [1] . $f(x)$ $K$ $L$ $f(x)$ $\dim _{K}L=2^{n}$ $L$ $K$ $2^{n}$ $n$

Termin alkuperä

" Radikaaleilla " kaikissa tarkasteluissa ilmauksissa tarkoitamme kokonaislukuasteen matemaattisia juuria - tämä sana tulee latinan sanasta "radix" , jolla on muun muassa sama merkitys. Koska myös algebrallisissa lausekkeissa sallitut yhteen- ja kertolaskuoperaatiot sekä niiden käänteisoperaatiot määritellään muodollisesti ennen eksponentiota ja siten juuria, juuri, "äärimmäisenä" sallittuna operaationa, esiintyy lausekkeen nimessä. omaisuutta.

Alaviitteet

↑ Tässä merkintä tarkoittaa vähimmäiskentän laajennusta , joka sisältää elementin , eli kaikkien sen sisältävien laajennusten leikkauskohtaa . $G_{i-1}(\alpha _{i})$ $G_{i-1}$ $\alpha_i$ $G_{i-1}$
↑ Tässä merkintä tarkoittaa vähimmäiskentän laajennusta , joka sisältää elementin , eli kaikkien sen sisältävien laajennusten leikkauskohtaa . $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $K$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $K$
↑ Tässä merkintä tarkoittaa vähimmäiskentän laajennusta , joka sisältää elementin , eli kaikkien sen sisältävien laajennusten leikkauskohtaa . $K_{i-1}(f_{i})$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f_{i}$ ${\displaystyle K_{i-1))$

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 E. Bunina "Separoituvat polynomit. Galois-ryhmä. Ilmaisukyky radikaaleissa. Ratkaisemattomia konstruointiongelmia." . Haettu 5. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 22. syyskuuta 2018. (määrätön)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 A. Skopenkov "Muutama todiste lisää kirjasta: yhtälöiden ratkaistavuus ja ratkaisemattomuus radikaaleissa" . Haettu 5. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 20. tammikuuta 2021. (määrätön)
↑ 1 2 V.Tikhomirov "Abel ja hänen suuri lauseensa" (Kvant-lehti, 2003, tammikuu) . Haettu 5. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 20. tammikuuta 2022. (määrätön)
↑ 1 2 3 Kulikov L.Ya. "Algebra ja lukuteoria. Oppikirja pedagogisille instituuteille"
↑ 1 2 "Yhtälöiden ratkaiseminen yhdellä radikaalilla" (Kaupunkien turnauksen kesäkonferenssi) . Haettu 5. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 20. tammikuuta 2022. (määrätön)
↑ 1 2 Alekseev V.B. "Abelin teoreema ongelmissa ja ratkaisuissa" . Haettu 5. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 6. elokuuta 2020. (määrätön)
↑ Yhtälöiden ratkaiseminen radikaaleissa (interaktiivinen tieto- ja konsultointiympäristö) . Haettu 5. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 10. elokuuta 2016. (määrätön)
↑ A. Adler "Geometristen rakenteiden teoria" (pääsemätön linkki) . Haettu 5. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 27. toukokuuta 2020. (määrätön)
↑ 1 2 M. Balandin "Johdatus rakenteisiin kompassilla ja viivaimella"
↑ Luento Kauppakorkeakoulussa . Haettu 17. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 29. maaliskuuta 2017. (määrätön)
↑ S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. "Algebra ja analyysin alku. Yhtälöt ja epäyhtälöt"

Ilmaisukyky radikaaleissa

Numeroille

Ensisijaiset määritelmät

Muut määritelmät

Esimerkkejä

Selitykset

Funktioille , polynomeille ja yhtälöille _

Ensisijaiset määritelmät

Muut määritelmät

Esimerkkejä

Selitykset

Yleiset ominaisuudet

Geometriset ja trigonometriset lauseet

Funktiolauseet _

Polynomilauseet _

Termin alkuperä

Alaviitteet

Muistiinpanot

Kirjallisuus