Sisäkkäiset radikaalit

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Algebrassa sisäkkäinen radikaali on radikaali , joka sisältyy toiseen radikaaliin. Esimerkiksi

\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },

tai monimutkaisempi esimerkki

{\sqrt[ {3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[ {3}]{4}}\ }}.

Kaikkien sisäkkäisten radikaalien arvoja kutsutaan radikaali- ilmaistaviksi .

Sisäkkäisten radikaalien yksinkertaistaminen

Joitakin sisäkkäisiä radikaaleja voidaan yksinkertaistaa. Esimerkiksi:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,

{\sqrt[ {3}]{{\sqrt[ {3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[ {3}]{2}}+{\sqrt[ { 3}]{4))}{{\sqrt[ {3}]{9))))\,.

Yleisesti ottaen yksinkertaistaminen on vaikea ongelma, jos se on mahdollista. Seuraava kaava mahdollistaa yksinkertaistamisen, kun se on järkevä: $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c))$

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {\frac {a+R}{2))}\pm {\sqrt {\frac {aR}{2 }}}.

Esimerkiksi,

{\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2))))}={\sqrt {\frac {a+b}{2))}\pm {\ sqrt {\frac {ab}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).

Erityisesti kompleksiluvuille ( ): $c = -1$

{\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {{\frac {\left|z\right|+a}{2))))+i\operaattorinimi{sgn}(b){ \sqrt {{\frac {\left|z\right|-a}{2))))\oikea),

missä

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Äärettömästi sisäkkäiset radikaalit

Yleiset määräykset

Joissakin tapauksissa äärettömästi sisäkkäiset radikaalit voivat olla identtisiä jonkin rationaaliluvun kanssa, esimerkiksi lauseke

x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))))))

on yhtä suuri kuin 2. Nähdäksesi tämän, neliötetään lausekkeen molemmat puolet ja vähennetään 2:

x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))=x

;

x^{2}-x-2=0

;

x_{1}=2,x_{2}=-1

On selvää, että se ei voi olla alkuperäisen radikaalin arvo. $-yksi$

Triviaaleja tapauksia

Neliöjuurelle: ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots ))))))))))))={\frac {b+ {\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$ ;
Tutkinnon juurelle $n$ ${\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\ sqrt[ {n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$ missä on yhtälön ratkaisu . $x$ $x^{n}-bx-a=0$

Ei-triviaaleja tapauksia

Ramanujan kaava : $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\ sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots )))))))))))$

Erikoistapaukset

Kultainen suhde : $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots )))))))))$
muovinen numero : $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$
Pi-numero : ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {1}{2}}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac { 1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}\cdots$

Linkit

Weisstein, Eric W. Sisäkkäiset radikaalit Wolfram MathWorldissä .
Weisstein, Eric W. Square Root Wolfram MathWorldissä .
Neliöjuuria sisältävien ilmaisujen sisäkkäisyyden vähentäminen
Neliöjuurien neliöjuurten yksinkertaistaminen