Juuret yhtenäisyydestä

Yksikön n : nnet juuret ovat polynomin kompleksijuuret , jossa . Toisin sanoen nämä ovat kompleksilukuja, joiden n:s potenssi on yhtä suuri kuin 1. Yleisalgebrassa polynomin juuria tarkastellaan myös kompleksin lisäksi myös mielivaltaisessa toisessa kentässä , jonka ominaisuus ei ole polynomin asteen jakaja [1] . $x^n-1$ $n\geqslant 1$ $x^{n}-1$ $s$ $n$

Uniteetin juuria käytetään laajalti matematiikassa, erityisesti lukuteoriassa , nopeassa Fourier-muunnoksessa [2] , kenttälaajennusten teoriassa , kompassin ja viivaimen konstruktioteoriassa , ryhmäesittelyissä .

Esitys

Esitämme kompleksisen yksikön trigonometrisessa muodossa:

1=\cos 0+i\sin 0.

Sitten Moivren kaavan mukaan saadaan lauseke n:nnen yksikköasteen -: nnelle juurelle : $k$ $u_{k}$

u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n))+i\sin {\frac {2\pi k}{n)),\quad k=0,1,\ pisteet ,n-1.

Yhtenäisyyden juuret voidaan esittää myös eksponentiaalisessa muodossa:

u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots ,n-1.

Näistä kaavoista seuraa, että ykseyden n:nnet juuret ovat aina täsmälleen , ja ne ovat kaikki erilaisia. $n$

Esimerkkejä

Yhtenäisyyden kuutiojuuret:

\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}} \oikea\}.

4 yhtenäisyyden juuret:

\left\{1,+i,-1,-i\right\}.

Viidennelle juurelle on 4 generaattoria, joiden kunkin tehot kattavat kaikki 5. asteen juuret:

{\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \))=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}} {8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.

Kuudennessa juurissa on vain kaksi generaattoria ( ja ): $u_{1}$ $u_{5}$

\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\} .

Ominaisuudet

Geometriset ominaisuudet

Kunkin juuren moduuli on 1. Kompleksitasossa yksikköjuuret muodostavat yksikköympyrään kirjoitetun säännöllisen monikulmion kärjet . Yksi pisteistä on aina kompleksiyksikkö, jossa voi olla joko kaksi reaalijuurta, jos parillinen (yksi ja miinus yksi), tai yksi (yksi), jos pariton. Joka tapauksessa ei-todellisia juuria on parillinen määrä , ne sijaitsevat symmetrisesti vaaka-akselin ympärillä. Jälkimmäinen tarkoittaa, että jos on ykseyden juuri, niin sen konjugaattiluku on myös ykseyden juuri. $1+0i.$ $n$ $n$ $u_{k}$ ${\displaystyle {\overline {u_{k))))$

Olkoon M mielivaltainen piste yksikköympyrällä ja Silloin M :stä kaikkiin yksikköjuuriin neliöityjen etäisyyksien summa on [3] . $n>1.$ $n$ $2n$

Algebralliset ominaisuudet

Yhtenäisyyden juuret ovat algebrallisia kokonaislukuja .

Yhtenäisyyden juuret muodostavat kertomalla kommutatiivisen äärellisen järjestyksen ryhmän . Erityisesti mikä tahansa ykseyden juuren kokonaislukuvoima on myös ykseyden juuri. Tämän ryhmän kunkin elementin käänteiselementti osuu yhteen sen konjugaatin kanssa. Ryhmän neutraali elementti on kompleksiyksikkö. $n$

Yksikköjuurien ryhmä on isomorfinen jäännösluokkien additiivisen ryhmän kanssa . Tästä seuraa, että se on syklinen ryhmä; generaattoriksi ( antiderivatiiviksi ) voidaan ottaa mikä tahansa alkio, jonka indeksi on koprime . $\mathbb {Z} _{n}.$ $u_{k}$ $k$ $n$

Seuraukset:
- elementti on aina primitiivinen (se kutsutaan usein yhtenäisyyden pääjuureksi ); $u_{1}$
- jos on alkuluku , niin minkä tahansa juuren asteet paitsi , kattavat koko ryhmän (eli kaikki juuret paitsi , ovat antiderivaatteja); $n$ $\pm 1$ $\pm 1$
- primitiivisten juurien lukumäärä on , missä on Euler - funktio . $\varphi (n)$ $\varphi$

Jos , niin mille tahansa primitiiviselle yksikköjuurelle seuraavat kaavat pätevät : $n>1$ $u$

\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,

\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.

Pyöreät kentät

Ympyräkenttä eli n - asteisen ympyrän jakamiskenttä on kenttä, joka syntyy lisäämällä rationaalilukujen kenttään n :nnen yksikköasteen primitiivinen juuri . Ympyräkenttä on kompleksilukukentän alikenttä ; se sisältää kaikki ykseyden n:nnet juuret sekä niiden aritmeettisten operaatioiden tulokset. $K_{n}=\mathbb {Q} (u)$ $\mathbb {Q}$ $u$

Ympyräkenttien tutkimuksella oli merkittävä rooli algebrallisten kokonaislukujen teorian , lukuteorian ja Galois'n teorian luomisessa ja kehittämisessä .

Esimerkki: koostuu muodon kompleksiluvuista , joissa ovat rationaaliluvut. $K_{3}$ $a+b{\sqrt {3}}\,i$ $a,b$

Kronecker–Weber-lause : Jokainen rationaalilukujen kentän Abelin äärellinen laajennus sisältyy johonkin ympyräkenttään.

Yleistykset

N:nnen asteen yksikön juuret voidaan määritellä paitsi kompleksiluvuille, myös mille tahansa muulle algebralliselle kentälle ratkaisuksi yhtälöön , jossa on kentän yksikkö . Yhtenäisyyden juuret ovat missä tahansa kentässä ja muodostavat alaryhmän kentän multiplikatiivisesta ryhmästä . Päinvastoin, mikä tahansa multiplikatiivisen kenttäryhmän äärellinen aliryhmä sisältää vain juuret yksiköstä ja on syklinen [4] . $K$ $x^{n}=1$ $yksi$ $K$ $K$ $K$

Jos kentän ominaisuus on nollasta poikkeava, niin yksikön juuriryhmä muodostaa yhdessä nollan kanssa äärellisen kentän .

Historia

Gauss aloitti yhtenäisyyden juurien laajan käytön tutkimusvälineenä . Monografiassa " Aritmeettiset tutkimukset " (1801) hän ratkaisi ensin muinaisen ongelman jakaa ympyrän n yhtä suureen osaan kompassin ja suoraviivan avulla (tai, mikä on sama, rakentaa säännöllinen monikulmio, jossa on n sivua). Käyttämällä yhtenäisyyden juuria Gauss pelkisti ongelman ympyrän jakoyhtälön ratkaisemiseen:

x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.

Gaussin lisäperustelut osoittivat, että ongelmalla on ratkaisu vain, jos n voidaan esittää muodossa . Gaussin lähestymistapaa käyttivät myöhemmin Lagrange ja Jacobi . Cauchy sovelsi ykseyden juuria yleisemmän ongelman tutkimukseen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemisesta monissa tuntemattomissa (1847) [5] . $2^{2^{r}}+1$

Uusia sovelluksia yhtenäisyyden juurille löydettiin abstraktin algebran luomisen jälkeen 1900-luvun alussa . Emmy Noether ja Emil Artin käyttivät tätä käsitettä kenttälaajennusten teoriassa ja Galois'n teorian yleistyksessä [6] .

Katso myös

Kirjallisuus

Bourbaki N. Algebra. Polynomit ja kentät. Tilatut ryhmät. - M . : Nauka, 1965. - S. 188 ja sen jälkeen. — 299 s.
Van der Waerden B. L. Algebra. Määritelmät, lauseet, kaavat . - Pietari. : Lan, 2004. - 624 s. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
Root // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 15.
Milne, James S. Algebrallinen lukuteoria . Kurssin muistiinpanot (1998). Arkistoitu alkuperäisestä 2. huhtikuuta 2012. (määrätön)

Linkit

Monimutkaiset n:nnet ykseyden juuret ja yhtälöiden ratkaisu.

Muistiinpanot

↑ Bourbaki, 1965 , s. 188-189.
↑ Diskreetti Fourier-muunnos . Haettu 9. huhtikuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 18. kesäkuuta 2013. (määrätön)
↑ Duzhin S. V., Chebotarevskii B. D. Koristeista differentiaaliyhtälöihin. Suosittu johdanto muunnosryhmien teoriaan. - Minsk: Higher School, 1988. - S. 34. - 253 s. - (Viihdyttävän tieteen maailma). — ISBN 5-339-00101-6 .
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1982 .
↑ Vileitner G. Matematiikan historiaa Descartesista 1800-luvun puoliväliin . - M .: GIFML, 1960. - S. 87-89, 380 .. - 468 s.
↑ Van der Waerden. Algebra, 2004 , s. 150-155 ja sitä seuraavat

Algebralliset luvut
Lajikkeet	Algebralliset kokonaisluvut Chebyshev-solmut Rakentavat numerot Eisensteinin kokonaisuus Gaussin kokonaisluvut Kummerin sormus Perronin numerot Piso-Vijayaraghavan numerot Kvadraattinen irrationaalisuus ℚ Juuret yhtenäisyydestä Salem numerot
Erityinen	Conway vakio 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2