Algebrallinen kokonaisluku

Algebrallisia kokonaislukuja kutsutaan kokonaislukukertoimien polynomien kompleksisiksi (ja erityisesti todellisiksi ) juuriksi , joiden alkukerroin on yksi.

Mitä tulee kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskuun, algebralliset kokonaisluvut muodostavat renkaan . Ilmeisesti on algebrallisten lukujen kentän aliluku ja sisältää kaikki tavalliset kokonaisluvut. $\Omega$ $\Omega$

Olkoon jokin kompleksiluku. Tarkastellaan rengasta , joka generoidaan lisäämällä renkaaseen tavallisia kokonaislukuja . Se muodostuu kaikista mahdollisista arvoista , jossa on polynomi kokonaislukukertoimilla. Tällöin pätee seuraava kriteeri: luku on algebrallinen kokonaisluku, jos ja vain jos on äärellisesti generoitu Abelin ryhmä . $u$ ${\mathbb {Z}}[u]$ $u$ $\mathbb {Z}$ $f(u)$ $f(z)$ $u$ ${\mathbb {Z}}[u]$

Esimerkkejä algebrallisista kokonaisluvuista

Gaussin kokonaisluvut .
Yksikön juuret ovat polynomin juuret kompleksilukukentän yli. $x^n-1$

Ominaisuudet

Kaikki kirjassa esiintyvät rationaaliluvut ovat kokonaislukuja . Toisin sanoen mikään pelkistymätön murtoluku , jonka nimittäjä on suurempi kuin yksi, ei voi olla algebrallinen kokonaisluku. $\Omega$ $m/n$
Jokaiselle algebralliselle luvulle on olemassa luonnollinen luku , joka on algebrallinen kokonaisluku. $u$ $n$ $nu$
Algebrallisen kokonaisluvun minkä tahansa asteen juuri on myös kokonaisalgebrallinen luku.

Historia

Algebrallisten kokonaislukujen teorian loivat 1800-luvulla Gauss , Jacobi , Dedekind , Kummer ja muut. Kiinnostus sitä kohtaan johtui erityisesti siitä, että historiallisesti tämä rakenne oli ensimmäinen matematiikassa, jossa havaittiin moniselitteinen faktorointi alkutekijöiksi. Klassiset esimerkit rakensi Kummer; sanotaan, että muotoa olevien algebrallisten kokonaislukujen alijoukossa tapahtuu 2 laajennusta: $a+b{\sqrt {-5}}$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))\cdot (1-{\sqrt {-5)))

lisäksi molemmissa tapauksissa kaikki tekijät ovat yksinkertaisia , eli ne ovat hajoamattomia tässä alajoukossa.

Tämän ongelman tutkiminen johti tärkeiden ideaalin ja primeideaalien käsitteiden löytämiseen , joiden rakenteessa hajoaminen alkutekijöihin tuli mahdolliseksi määrittää yksiselitteisesti.

Kirjallisuus

C. Ireland, M. Rosen. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan. Käännös englannista S. P. Demushkin, toimittanut A. N. Parshin. M.: Mir, 1987, luku 6.
Borevich Z. I., Shafarevich I. P. Numeroteoria . Moskova: Nauka, 3. painos, 1985 - 504 s.
Van der Waerden B. L. Algebra. Moskova: Mir, 1975, luku 17: Algebralliset kokonaisluvut.
Gekke E. Luennot algebrallisten lukujen teoriasta, käänn. saksasta, M. - L., 1940.
Gelfond A. O. Transsendentaaliset ja algebralliset luvut, M., 1952.
Postnikov M. M. Johdatus algebrallisten lukujen teoriaan

Algebralliset luvut
Lajikkeet	Algebralliset kokonaisluvut Chebyshev-solmut Rakentavat numerot Eisensteinin kokonaisuus Gaussin kokonaisluvut Kummerin sormus Perronin numerot Piso-Vijayaraghavan numerot Kvadraattinen irrationaalisuus ℚ Juuret yhtenäisyydestä Salem numerot
Erityinen	Conway vakio 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2