Lopullisesti luotu Abelin ryhmä

Äärillisesti generoitu Abelin ryhmä on äärellisen generaattorijärjestelmän antama Abelin ryhmä , eli sellainen kommutatiivinen ryhmä, jolle on olemassa äärellinen joukko , jolla on esitys: ${\näyttötyyli (G,+)}$ $x_{1},\dots ,x_{s}\in G$ $\forall x\in G$

{\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\dots +n_{s}x_{s))

missä ovat kokonaisluvut. ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s))$

Äärimmäisen generoidut Abelin ryhmät ovat rakenteeltaan suhteellisen yksinkertaisia ja ne voidaan luokitella täysin; kykyä vähentää tiettyjen esineiden huomioimista niihin pidetään arvokkaana. Esimerkkejä ovat kokonaisluvut ja luvut modulo , mikä tahansa suora summa äärellisestä määrästä äärellisesti generoituja Abelin ryhmiä on myös äärellisesti generoitu Abelin ryhmä. Luokittelulauseen mukaan ei ole olemassa muita (isomorfismiin asti) äärellisesti generoituja Abelin ryhmiä. Esimerkiksi rationaalilukujen ryhmää ei generoida äärellisesti: jos olisi generoiva järjestelmä , niin riittäisi ottaa luonnollinen luku koprime , jossa on kaikki lukujen nimittäjät järjestelmästä, jotta saadaan , ei järjestelmän generoima . $(\mathbb {Z} ,+)$ $(\mathbb {Z} _{n},+)$ $(\mathbb {Q} ,+)$ $x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q}$ $w$ $1/w$ $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$

Luokitus

Luokittelulause äärellisesti generoiduille Abelin ryhmille (joka on erikoistapaus äärellisesti generoitujen moduulien luokittelusta pääideaalien alueen yli ) sanoo, että mikä tahansa äärellisesti generoitu Abelin ryhmäon isomorfinenyksinkertaisten syklisten ryhmien ja äärettömien syklisten ryhmien suoralle summalle , jossa yksinkertainen syklinen ryhmä on sellainen syklinen ryhmä, jonka järjestys on potenssialkuluku. Mitä tarkoittaa, että jokainen tällainen ryhmä on isomorfinen muodon ryhmälle: $G$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}}

missä , ja luvut ovat (ei välttämättä erilaisia) alkulukujen potenssia. Ryhmä määrittää arvot yksiselitteisesti (tilaukseen asti) , erityisesti se on äärellinen jos ja vain jos . $n \geqslant 0$ ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{t))$ ${\displaystyle n,m_{1},\dots ,m_{t))$ $G$ $G$ $n = 0$

Perustuen siihen tosiasiaan, että on isomorfinen tulolle ja jos ja vain jos ja ovat koprime ja , voimme myös esittää minkä tahansa äärellisesti generoidun ryhmän suoran summan muodossa $G_{m}$ ${\displaystyle G_{j))$ ${\displaystyle G_{k))$ $j$ $k$ $m=jk$ $G$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}

missä jakaa , mikä jakaa ja niin edelleen kunnes . Ja jälleen, numerot ja ovat yksilöllisesti ryhmän antama . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$ $n$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{u))$ $G$

Kirjallisuus

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Luku II. Ryhmät // Yleinen algebra / Yleisen alla. toim. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 30 000 kappaletta. — ISBN 5-02-014426-6 .