Eisensteinin numero

Eisenstein- luku ( Euler-luku [1] ) on kompleksiluku muodossa:

z=a+b\omega

missä a ja b ovat kokonaislukuja ja

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

on ykseyden kuutiomainen ei-todellinen juuri . Eisensteinin kokonaisluvut muodostavat kolmiomaisen hilan kompleksitasossa . (Samanlainen kuin Gaussin kokonaisluvut muodostavat neliömäisen hilan.)

Saksalainen matemaatikko Ferdinand Eisenstein tutki systemaattisesti .

Ominaisuudet

Eisensteinin kokonaislukujen joukko on kommutatiivinen rengas . Tämä rengas sisältyy algebrallisten lukujen Q (ω) kenttään , joka on kolmannen asteen ympyräkenttä .

Luku ω täyttää yhtälön ja on algebrallinen kokonaisluku . Siksi kaikki Eisensteinin kokonaisluvut ovat algebrallisia kokonaislukuja . $\omega ^{2}+\omega +1=0.$

Voit myös kirjoittaa eksplisiittisesti pois polynomin , jonka juuri on z = a + b ω.

z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).

Kahden Eisensteinin luvun tulo ja antaa $a+b\omega$ $c+d\omega$

(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .

Eisensteinin kokonaisluvun normi on itseisarvon neliö

|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.

Siten Eisensteinin kokonaisluvun normi on aina luonnollinen kokonaisluku. Koska

4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},

nollasta poikkeavan Eisensteinin kokonaisluvun normi on aina positiivinen.

Eisensteinin lukujen renkaan yksikköryhmä on syklinen ryhmä , jonka muodostaa kuusi yksikköjuurta kompleksitasolla. Nimittäin

{±1, ±ω, ±ω 2 }

Ja nämä ovat yksikkönormin Eisensteinin kokonaisluvut.

Eisensteinin alkuluku

Jos x ja y ovat Eisensteinin kokonaislukuja, sanotaan, että x jakaa y :n, jos on olemassa Eisensteinin kokonaisluku z siten, että y = z x .

Tämä laajentaa luonnollisten kokonaislukujen jaollisuuden käsitettä . Voimme myös laajentaa alkuluvun käsitettä ; Ei-yksi Eisensteinin kokonaisluku x sanotaan olevan Eisensteinin alkuluku , jos kaikki sen jakajat ovat muotoa ux , jossa u on mikä tahansa kuudesta ykkösestä.

Voidaan osoittaa, että luonnolliset alkuluvut , jotka ovat verrattavissa 1 modulo 3:een, samoin kuin luku 3, voidaan esittää muodossa x 2 − xy + y 2 ( x , y ovat kokonaislukuja) ja siksi ne voidaan hajottaa ( x + ω y )( x + ω 2 y ), ja siksi ne eivät ole Eisensteinin alkulukuja. Luonnollisia alkulukuja, jotka ovat yhteneväisiä 2:n kanssa kannassa 3, ei voida esittää samalla tavalla, joten ne ovat myös Eisensteinin alkulukuja.

Jokainen Eisensteinin kokonaisluku a + b ω, jonka normi a 2 − ab + b 2 on luonnollinen alkuluku, on Eisensteinin alkuluku.

Euklidinen rengas

Eisensteinin lukujen rengas muodostaa euklidisen renkaan , jossa normi N annetaan muodolla

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

Tämä voidaan tulostaa näin:

{\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+ b \,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2 } -ab+b^{2}\end{aligned}}

Tekijäryhmä C Eisensteinin kokonaislukujen mukaan

Kompleksisen tason C tekijäryhmä suhteessa hilaan , joka sisältää kaikki Eisensteinin kokonaisluvut, on todellisen ulottuvuuden 2 kompleksinen torus , jolle on ominaista suurin symmetriaryhmä kaikkien todellisen ulottuvuuden 2 kompleksisten torien joukossa.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Surányi László. Algebra (epämääräinen) . - TYPOTEX, 1997. - s. 73. ja Szalay, Mihály. Számelmélet (uuspr.) . - Tankönyvkiadó, 1991. - P. 75. Molemmat kutsuvat näitä numeroita "Euler-egészek", eli Euler-luvuiksi.

Linkit

Eisensteinin kokonaisluku - MathWorldistä

Algebralliset luvut
Lajikkeet	Algebralliset kokonaisluvut Chebyshev-solmut Rakentavat numerot Eisensteinin kokonaisuus Gaussin kokonaisluvut Kummerin sormus Perronin numerot Piso-Vijayaraghavan numerot Kvadraattinen irrationaalisuus ℚ Juuret yhtenäisyydestä Salem numerot
Erityinen	Conway vakio 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2