Pisot numerot

Pisot-luku [1] [2] (tai Pisot–Vijayaraghavan-luku [3] [4] tai PV-luku ) on mikä tahansa yhtä suurempi algebrallinen kokonaisluku , jonka kaikkien konjugaattien moduulit ovat tiukasti pienempiä kuin yksi. Nämä luvut löysi Axel Thue vuonna 1912 [5] , Godfrey Hardy tutki niitä vuodesta 1919 diofantiiniapproksimaatioiden yhteydessä [ 6] , mutta niistä tuli kuuluisa Charles Pisotin väitöskirjan julkaisemisen jälkeen vuonna 1938 [7] . Tutkimus jatkui Thirukkannapuram Vijayaraghavanilla ja Raphael Salem 1940-luvulla.

Salem -luvut liittyvät läheisesti Pisot- lukuihin : tämä on sellainen luku, että sen kaikkien konjugaattien moduulit eivät ole suurempia kuin 1 ja niiden joukossa on yksikkö.

Ominaisuudet

Mitä suurempi PV-luvun luonnollinen eksponentti, sitä enemmän tämä aste lähestyy kokonaislukua. Piso osoitti, että ei-kokonaislukujen positiivisten algebrallisten lukujen joukossa, joiden moduuli on suurempi kuin 1, tämä ominaisuus on poikkeuksellinen PV-luvuille: jos reaaliluku on sellainen, että sen potenssien etäisyydet [8] kokonaislukujen joukkoon kuuluvat $\alpha >1$ $\|\alpha ^{n}\|$ $l_{2}$ [ selventää ] , on sitten Pisot-luku (ja erityisesti algebrallinen luku). $\alpha$ $\alpha$

Pienin Pisot-luku on kuutioyhtälön ainoa todellinen juuri , joka tunnetaan muovilukuna . [2] $x^{3}-x-1=0$

Kvadraattiset irrationaalisuudet , jotka ovat Pisot-lukuja:

Merkitys	polynomi	Numeerinen arvo
${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-x-1$	1.618034… ( kultainen suhde )
$1+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-2x-1$	2.414214… ( hopeaosa )
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-3x+1$	2.618034… A104457
$1+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-2x-2$	2.732051… A090388
${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	$x^{2}-3x-1$	3.302776… A098316 ( pronssiosa )
$2+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-4x+2$	3,414214…
${\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}$	$x^{2}-3x-2$	3.561553.. A178255 .
$2+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-4x+1$	3.732051… A019973
${\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}$	$x^{2}-3x-3$	3,791288… A090458
$2+{\sqrt {5}}$	$x^{2}-4x-1$	4.236068… A098317

Muistiinpanot

↑ A. Egorov. Pisot numerot // Kvant . - 2005. - Nro 5 . - S. 8-13 .
A. Egorov. Pisot-luvut (loppu) // Kvant . - 2005. - Nro 6 . - S. 9-13 .
↑ 12 Terr , David; Weisstein, Eric W. Pisot Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ V. N. Berestovski, Yu. G. Nikonorov. Jatketut murtoluvut, ryhmä GL(2,Z) ja Pisot-luvut // Matematicheskie trudy. - 2007. - T. 10 , nro 1 . — s. 97–131 .
↑ J. W. S. Cassels . Johdatus diofantiiniapproksimaatioiden teoriaan. – 1961.
↑ Axel Thue, "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, voi. 2, 1912, s. 1-15.
↑ Godfrey H. Hardy, "Diofantinin lähentämisen ongelma", Journal Ind. Matematiikka. Soc., voi. 11, 1919, s. 205-243.
↑ Charles Pisot, " La repartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. normi. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, s. 205-248.
↑ Tässä tarkoittaa etäisyyttä pisteestä - eli missä on luvun murto - osa . $\|a\|$ $a$ $\mathbb {Z}$ $\min(\{a\},1-\{a\})$ ${\näyttötyyli \{a\))$ $a$

Algebralliset luvut
Lajikkeet	Algebralliset kokonaisluvut Chebyshev-solmut Rakentavat numerot Eisensteinin kokonaisuus Gaussin kokonaisluvut Kummerin sormus Perronin numerot Piso-Vijayaraghavan numerot Kvadraattinen irrationaalisuus ℚ Juuret yhtenäisyydestä Salem numerot
Erityinen	Conway vakio 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2