Salem numerot

Matematiikassa Salem-luku on todellinen algebrallinen kokonaisluku α > 1, jonka kaikkien konjugaattien moduuli on enintään 1 ja ainakin yhdellä niistä on moduuli 1. Salem-luvut ovat kiinnostavia diofantiiniapproksimaation ja harmonisten analyysien kannalta . Ne on nimetty ranskalaisen matemaatikon Raphael Salemin mukaan .

Ominaisuudet

Koska Salem-luvulla on konjugaattiluku, jonka absoluuttinen arvo on 1, Salem-luvun vähimmäispolynomin on oltava käänteinen . Tästä seuraa, että 1/α on myös juuri, ja kaikkien muiden juurien absoluuttinen arvo on täsmälleen yhtä suuri kuin 1. Tämän seurauksena luvun α on oltava käännettävä elementti (rengasyksikkö) algebrallisten kokonaislukujen renkaassa , joka on normi 1.

Jokainen Salem - luku on Perron-luku (algebrallinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1, jonka moduuli on suurempi kuin kaikki sen konjugaatit).

Suhde Pisot-Vijayaraghavan numeroihin

Pienin tunnettu Salem-luku on Lehmer-polynomin (nimetty amerikkalaisen matemaatikon Derrick Lehmerin mukaan ) suurin todellinen juuri.

P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+ x+1,

jonka arvo on x ≈ 1,177 628; sen oletetaan olevan pienin Salem-luku ja pienin mahdollinen Mahler-mitta pelkistymättömälle ei-sykliselle polynomille [1] .

Lehmerin polynomi on lyhyemmän 12 asteen polynomin kerroin,

Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,

joiden kaikki kaksitoista juurta tyydyttävät suhteen [2]

x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{ 90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1 )(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}

Salem-numerot liittyvät läheisesti Pisot-Vijayaraghavaniin (PV-numerot) . Pienin PV-luvuista on 3. asteen polynomin ainoa todellinen juuri

x^{3}-x-1,

tunnetaan " muovinumerona " ja on suunnilleen yhtä suuri kuin 1,324718. PV-numeroita voidaan käyttää Salem-numeroperheen luomiseen, mukaan lukien pienin. Yleinen tapa on ottaa n - asteisen PV-luvun minimipolynomi P ( x ) ja sen käänteispolynomi P* ( x ) (jonka kertoimet muodostuvat karkeasti sanottuna "heijastamalla" polynomin P ( x ) kertoimia. x ) suhteessa x n /2 ) ja ratkaise yhtälö

x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)

suhteessa kokonaislukuun n . Vähentämällä toinen puoli toisesta, laskemalla ja eliminoimalla triviaaliset tekijät, voidaan saada pienin polynomi joillekin Salem-luvuille. Jos esimerkiksi otamme muovisen numeron ja valitsemme plus-merkin yllä olevan plus- tai miinusarvon tilalle, niin:

x^{n}(x^{3}-x-1)=-x^{3}-x^{2}+1

ja n = 8 saamme

{\näyttötyyli (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3} +x+1)=0,}

jossa 10. asteen polynomi on Lehmerin polynomi. Käyttämällä suurempaa n: n arvoa saadaan polynomiperhe, jonka yksi juurista lähestyy plastista lukua . Tämä voidaan ymmärtää irrottamalla yhtälön kummankin puolen n:nnet tehoradikaalit ,

{\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n))

Mitä suurempi n: n arvo , sitä enemmän x lähestyy ratkaisua x 3 − x − 1 = 0.[ selventää ] Kun valitaan positiivinen etumerkki plus- tai miinusmerkin tilalle, juuri x lähestyy plastista lukua päinvastoin[ mitä? ] suuntaan. Seuraavaksi pienimmän PV-luvun minimipolynomin käyttäminen $x^{4}-x^{3}-1$

x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),

joka n = 7 saa muodon

{\näyttötyyli (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0}

polynomiasteessa, jota ei ole generoitu edellisessä ja jonka juuri x ≈ 1,216391… joka on viidenneksi pienin tunnettu Salem-luku. Kun n menee äärettömyyteen, tämä perhe puolestaan menee x 4 − x 3 − 1 = 0:n suurempaan reaalijuureen.

Muistiinpanot

↑ Borwein (2002) s.16
↑ D. Bailey ja D. Broadhurst, Seitsemäntoista asteen polylogaritmitikkaat

Kirjallisuus

Borwein, PeterLaskennalliset retket analyysissä jalukuteoriassa . - Springer-Verlag , 2002. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 . Kap. 3.
Boyd, David (2001), Salem number , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
MJ Mossinghoff. Pienet Salem-numerot . Käyttöönottopäivä: 7.1.2016. (määrätön)
Salem, R.Algebralliset luvut ja Fourier-analyysi (epämääräinen) . — Boston, MA: DC Heath and Company, 1963. - (Heathin matemaattiset monografiat).

Algebralliset luvut
Lajikkeet	Algebralliset kokonaisluvut Chebyshev-solmut Rakentavat numerot Eisensteinin kokonaisuus Gaussin kokonaisluvut Kummerin sormus Perronin numerot Piso-Vijayaraghavan numerot Kvadraattinen irrationaalisuus ℚ Juuret yhtenäisyydestä Salem numerot
Erityinen	Conway vakio 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2