Mahlerin mitta

Mahlerin mitta kompleksikertoimien polynomille määritellään seuraavasti _ $M(p)$ $p(z)$

M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n }\max\{1,|\alpha _{i}|\},

missä tekijöitä kompleksilukujen kentässä $p(z)$ $\mathbb {C}$

p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).

Mahlerin mittaa voidaan pitää eräänlaisena korkeuden funktiona . Jensenin kaavalla voidaan osoittaa, että tämä mitta vastaa yksikköympyrän numeroiden geometristä keskiarvoa ( eli ): $|p(z)|$ $z$ $|z|=1$

M(p)={\color {Green}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Vihreä} \ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).

Laajemmin sanottuna algebrallisen luvun Mahlerin mitta määritellään minimipolynomin Mahlerin mittana yli . Erityisesti, jos on Pisot- tai Salem-numero , niin Mahlerin mitta on yksinkertaisesti . $\alpha$ $\alpha$ $\mathbb {Q}$ $\alpha$ $\alpha$

Mahlerin mitta on nimetty matemaatikko Kurt Mahlerin .

Ominaisuudet

Mahler-mitta on kerrannainen: missä on universaali kvantori . $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ $\kaikille$
${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau ))$ , jossa tehokeskiarvo on polynomin normi [1] . $\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }$ ${\displaystyle L_{\tau ))$ $s$
( Kroneckerin lause ) Jos on redusoitumaton normalisoitu (korkein kerroin - 1) kokonaislukupolynomi kanssa , niin joko , tai on ympyräpolynomi . $s$ $M(p)=1$ $p(z)=z$ $s$
( Lemairen arvelu ) Jos on olemassa sellainen vakio , että if on redusoitumaton kokonaislukupolynomi, niin joko , tai . $\mu >1$ $s$ $M(p)=1$ $M(p)>\mu$
Normalisoidun kokonaislukupolynomin Mahler-mitta on Perron-luku .

Mahler mittaa useissa muuttujissa

Mahlerin suuruus polynomille, jossa on useita muuttujia , määritellään samanlaisella kaavalla [2] . $M(p)$ $p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$

M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n))}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^ {2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1)),e^{i\ theta _{2)),\ldots ,e^{i\theta _{n))){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2} \cdots d\theta _{n}\right).

Tämä suure säilyttää kaikki polynomin Mahler-suuren kolme ominaisuutta yhdessä muuttujassa.

On osoitettu, että joissakin tapauksissa monimuuttuja Mahler-mitta liittyy zeta-funktioiden ja -funktioiden erikoisarvoihin . Esimerkiksi vuonna 1981 Smith todisti kaavat [3] $L$

m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),

missä on Dirichlet L-funktio , ja $L(\chi _{-3},s)$

m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)

missä on Riemannin zeta-funktio . Tässä kutsutaan logaritmiseksi Mahlerin mittaa . $\zeta$ ${\displaystyle m(P)=\log {M(P)))$

Lawtonin lause

Määritelmän mukaan Mahlerin mittaa pidetään polynomin integraalina toruksen yli (katso Lehmerin oletus ). Jos katoaa torukselle , integraalimääritteen konvergenssi ei ole ilmeinen, mutta tiedetään, että se konvergoituu ja on yhtä suuri kuin Mahlerin suuren raja yhdessä muuttujassa [4] , jonka Boyd [5] [6] . $s$ ${\näyttötyyli (S^{1})^{n))$ $M(p)$ $M(p)$

Antaa merkitsee kokonaislukuja, määritellä . Jos on polynomi muuttujissa ja , niin olkoon polynomi yhdessä muuttujassa määritellään muodossa $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j }\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}$ $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ $N$ ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N))$ $Q_{r}(z)$

Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1)),\dots ,z^{r_{N))),

a - miten $q(r)$

q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N} ,s\neq (0,\pisteet ,0)\ {\teksti{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}

missä . $H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}$

Lause (Lawton) : olkoon polynomi N muuttujassa kompleksikertoimilla - silloin seuraava raja on tosi (vaikka ehtoa rikottaisiin ): $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ $r_{i}\geq 0$

\lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)

Boydin ehdotus

Boyd ehdotti lausetta, joka on yleisempi kuin yllä oleva lause. Hän huomautti, että klassista Kroneckerin lausetta, joka luonnehtii normalisoituja polynomeja kokonaislukukertoimilla, joiden juuret ovat yksikköympyrän sisällä, voidaan pitää polynomien kuvauksena yhdessä muuttujassa, jonka Mahlerin mitta on täsmälleen 1, ja että tämä tulos voidaan ulottuvat useiden muuttujien polynomeihin [6] .

Määritellään laajennettu ympyräpolynomi muodon polynomiksi

\Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1} }\dots z_{n}^{v_{n}}),

jossa on pyöreä polynomi asteen m , ovat kokonaislukuja, ja valitaan minimaaliseksi, joten se on polynomi vuonna . Antaa olla joukko polynomeja, jotka ovat monomien ja laajennetun ympyränmuotoisen polynomin tulo. Sitten saadaan seuraava lause. $\Phi _{m}(z)$ $v_{i}$ $b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})$ ${\näyttötyyli \Psi (z)}$ $z_{i}$ $K_n$ $\pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}$

Lause (Boyd) : Antaa olla polynomi kokonaislukukertoimilla - sitten vain kun on osa . $F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ $M(F)=1,$ $F$ $K_n$

Tämä sai Boydin harkitsemaan seuraavia sarjoja:

L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\pisteet ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\pisteet ,z_{n}]{\bigr \)),

ja yhdistys . Hän esitti "kehittyneemmän" hypoteesin [5] , että joukko on suljettu osajoukko . Tämän olettamuksen pätevyys viittaa välittömästi Lehmerin oletuksen pätevyyteen, vaikkakin ilman selkeää alarajaa. Smithin tuloksesta lähtien ${\displaystyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n))$ ${\displaystyle {L}_{\infty ))$ $\mathbb {R}$ [ selventää ] tästä seuraa, että Boyd oletti myöhemmin sen $L_{1}\subsetneqq L_{2}$

L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.

Katso myös

Norma Bombieri
Polynomin korkeus

Muistiinpanot

↑ Vaikka tämä ei ole todellinen normi . $\tau <1$
↑ Schinzel, 2000 , s. 224.
↑ Smyth, 2008 .
↑ Lawton, 1983 .
↑ 12 Boyd, 1981a .
↑ 12 Boyd, 1981b .

Kirjallisuus

Peter Borwein. Laskennalliset retket analyysissä ja lukuteoriassa. - Springer , 2002. - T. 10. - S. 3, 15. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 .
David Boyd. Spekulaatioita Mahlerin mitta-alueesta // Kanada. Matematiikka. Bull.. - 1981a. - T. 24 , no. 4 . — S. 453–469 . - doi : 10.4153/cmb-1981-069-5 .
David Boyd. Kroneckerin lause ja Lehmerin ongelma useiden muuttujien polynomeille // Journal of Number Theory . – 1981b. - T. 13 . — S. 116–121 . - doi : 10.1016/0022-314x(81)90033-0 .
David Boyd. Vuosituhannen lukuteoria / MA Bennett. - A.K. Peters, 2002a. — s. 127–143.
David Boyd. Mahlerin mitta, hyperboliset moninaiset ja dilogaritmi // Canadian Mathematical Society Notes. – 2002b. - T. 34 , no. 2 . — s. 3–4, 26–28 .
David Boyd, F. Rodriguez Villegas. Mahlerin mitta ja dilogaritmi, osa 1 // Kanadalainen J. Math .. - 2002. - T. 54 . — S. 468–492 . - doi : 10.4153/cjm-2002-016-9 .
Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Mahler-mitta , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
JL Jensen. Sur un nouvel et tärkeä théorème de la théorie des fonctions // Acta Mathematica . - 1899. - T. 22 . — S. 359–364 . - doi : 10.1007/BF02417878 .
Donald E. Knuth. 4.6.2 Polynomien faktorointi // Puolinumeeriset algoritmit. – 3. - Addison-Wesley, 1997. - V. 2. - S. 439-461, 678-691. - ( Tietokoneohjelmoinnin taito ). — ISBN 0-201-89684-2 .
Wayne M. Lawton. Boydin ongelma polynomien geometrisista keskiarvoista // Journal of Number Theory . - 1983. - T. 16 . — S. 356–362 . - doi : 10.1016/0022-314X(83)90063-X .
MJ Mossinghoff. Polynomit pienellä Mahler-mitalla // Laskennan matematiikka . - 1998. - T. 67 , no. 224 . - S. 1697-1706 . - doi : 10.1090/S0025-5718-98-01006-0 .
Andrzej Schinzel. Polynomit, erityisesti pelkistyvyys. - Cambridge University Press , 2000. - V. 77. - (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-66225-7 .
Chris Smith. Lukuteoria ja polynomit / James McKee, Chris Smyth. - Cambridge University Press , 2008. - T. 352. - S. 322-349. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 978-0-521-71467-9 .