L-toiminto

L - funktio on meromorfinen funktio kompleksitasolla , joka liittyy yhteen useista matemaattisista objekteista . L-sarja on Dirichlet-sarja , joka yleensä suppenee puolitasolla ja joka voidaan analyyttisesti laajentaa L-funktioksi koko kompleksitasolla.

L-funktioteoriasta on tullut erittäin olennainen, vaikkakin edelleen suurelta osin hypoteettinen osa nykyaikaista analyyttista lukuteoriaa . Siinä konstruoidaan laajoja yleistyksiä Riemannin zeta-funktiosta ja L-sarjasta Dirichlet -hahmoille , ja niiden yleiset ominaisuudet eivät useimmissa tapauksissa ole vielä saatavilla todistettavaksi systemaattisessa esityksessä.

Rakentaminen

Teemme eron L-sarjan eli sarjojen kautta esitettävät esitykset (esimerkiksi Dirichlet-sarja Riemannin zeta-funktiolle) ja L -funktiot, eli funktion analyyttiset jatkot koko kompleksitasolla. Yleinen konstruktio alkaa L -sarjasta, joka määritellään ensin Dirichlet-radiksi, ja niiden hajottaminen Euler-tuotteeksi , jonka indeksi kulkee alkulukujen läpi. Harkinnassa tarvitaan todisteita sarjan konvergenssista jossain kompleksilukukentän oikealla puolitasolla. Sitten kysytään, voidaanko määritettävä funktio analyyttisesti laajentaa koko kompleksitasolle (ehkä useiden napojen ilmaantuessa ).

Kompleksitason hypoteettista meromorfista laajennusta kutsutaan L - funktioksi . Klassisissa tapauksissa tiedetään jo, että L -funktion arvot ja käyttäytyminen sisältävät hyödyllistä tietoa sen nollapisteissä ja navoissa. Yleistermi " L - funktio" sisältää myös monenlaisia ​​zeta-funktioita . Selberg-luokka on yritys kuvata L -funktioiden kaikkia pääominaisuuksia aksioomijoukolla, jotta luokan ominaisuuksia voidaan tutkia yhdessä, ei erikseen.

Hypoteettinen tieto

Alla on luettelo tunnettujen L - funktioiden ominaisuuksista, jotka on toivottavaa nähdä yleisesti:

• nollien ja napojen sijainti;
• Toiminnallinen yhtälö, jossa otetaan huomioon jotkin pystysuorat viivat ;
• mielenkiintoisia arvoja kokonaislukuina, jotka liittyvät algebrallisen K-teorian parametreihin

Yksityiskohtaisen työn on tuottanut suuri joukko uskottavia hypoteeseja, esimerkiksi siitä, minkä tyyppistä funktionaalista yhtälöä tulee päteä L -funktioille. Koska Riemannin zeta-funktio yhdistää arvonsa positiivisina parillisina kokonaislukuina (ja negatiivisina parittomina kokonaislukuina) Bernoullin lukuihin , tämän ilmiön asianmukaista yleistystä etsitään parhaillaan. Tässä tapauksessa tulokset saatiin p-adic L-funktioista , jotka kuvaavat tiettyä Galois-moduulia.

Nollien jakauman tilastot ovat kiinnostavia, koska ne liittyvät ongelmiin, kuten yleistetty Riemannin hypoteesi , alkulukujakauma jne. Myös yhteydet satunnaismatriisiteoriaan ja kvanttikaaokseen ovat kiinnostavia. Jakaumien fraktaalirakenne on myös kiinnostava [2] . Nollien jakauman itsensä samankaltaisuus on varsin merkittävä, ja sille on ominaista suuri fraktaalimitta 1,9. Tämä melko suuri fraktaaliulottuvuus on nollien yläpuolella ja kattaa vähintään viisitoista suuruusluokkaa Riemannin zeta-funktiolle sekä muiden eri luokkaa ja johtimia olevien L-funktioiden nollia.

Birchin ja Swinnerton-Dyerin hypoteesi

Eräs tärkeä esimerkki sekä yleisempien L -funktioiden historian kannalta että vielä avoimena tutkimusongelmana on Birchin ja Swinnerton-Dyerin arvelu . Arvelu kertoo, kuinka voidaan laskea elliptisen käyrän järjestys rationaalilukukentän (tai muun globaalin kentän ) yli, eli sen muodostavien vapaiden rationaalisten pisteryhmien lukumäärän. Paljon aiempaa työtä tällä alalla alkoi yhdistyä L -toimintojen paremman tuntemuksen ympärille . Se oli kuin esimerkki paradigmasta L -funktioiden nousevassa teoriassa.

Yleisen teorian nousu

Tämä kehitys edelsi useita vuosia Langlandsin ohjelmaa ja sitä voidaan pitää sitä täydentävänä: Langlandsin työ koskee pääasiassa Artinin L-funktioita ja yleiseen automorfiseen esitykseen liitettyjä L -funktioita .

Pikkuhiljaa kävi selväksi, missä mielessä Hasse-Weilin zeta-funktion rakentaminen voi tehdä hyväksyttävien L -funktioiden tarjoamisen toimivaksi - analyyttisessä mielessä: analyysistä täytyy olla jotain panosta, mikä tarkoitti "automorfista" analyysiä. Yleinen tapaus kokoaa nyt käsitteellisellä tasolla yhteen useita erilaisia ​​tutkimusohjelmia.

Katso myös

• Yleistetyt Riemannin hypoteesit
• Automorfinen L-toiminto
• Modulaarisuuslause
• Artinin hypoteesi

Linkit

1. ↑ Jorn Steuding, Johdatus L-funktioiden teoriaan, Preprint, 2005/06
2. ↑ O. Shanker. Satunnaismatriisit, yleiset zeta-funktiot ja nollajakaumien itsensä samankaltaisuus  // J. Phys  . V: Matematiikka. Gen. : päiväkirja. - 2006. - Voi. 39 , ei. 45 . - P. 13983-13997 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - .