Dirichlet L-toiminto

Dirichlet L -funktio on monimutkainen funktio, joka on annettu(päämerkin tapauksessa at) kaavalla $L_{{\chi }}(s)$ $\operaattorin nimi {Re}\,s>0$ $\operaattorin nimi {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

jossa on jokin numeerinen merkki (modulo k ). Dirichlet-funktiot otettiin käyttöön todistamaan Dirichlet'n alkulukulausetta aritmeettisessa progressiossa , jonka keskeinen kohta on todiste epäyhtälöstä ei-päämerkkien osalta. $\chi (n)$ $L$ $L_{\chi }(1)\neq 0$

Euler-tuote Dirichlet L-funktioille

Numeerisen merkin moninkertaisuuden vuoksi Dirichlet-funktio voidaan esittää alueella Euler-tulona alkulukujen yli : $\chi$ $L$ $\operaattorin nimi {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\prod _{{p}}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\oikea)^{{-1 }}

Tämä kaava johtaa lukuisiin -funktioiden sovelluksiin alkulukuteoriassa. $L$

Suhde zeta-funktioon

$L$ päämerkkiä modulo k vastaava Dirichlet -funktio liittyy Riemannin zeta-funktioon kaavalla $\zeta (s)$

L_{{\chi _{0}}}(s)=\zeta (s)\prod _{{p|k}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\ oikea)

Tämän kaavan avulla voimme määrittää alueelle , jonka pisteessä on yksinkertainen napa . $L_{{\chi _{0}}}(s)$ $Re(s)>0$ $s = 1$

Funktionaalinen yhtälö

Kuten Riemannin funktio , myös -funktio täyttää samanlaisen funktionaalisen yhtälön. $L$

Määrittelemme seuraavasti: jos on gammafunktio , on parillinen merkki, niin $\Lambda (\chi ,s)$ $\Gamma$ $\chi (-1)=1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)

Jos on outo hahmo, niin $\chi (-1)=-1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)

Olkoon myös Gaussin merkin summa ja parillinen ja pariton . Sitten funktionaalinen yhtälö saa muodon: $g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )=-i{\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\chi$

\Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi )),1-s)

Katso myös

Dirichlet rivi

Kirjallisuus

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V. , Shidlovsky A. B. Johdatus numeroteoriaan. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 1984.
Karatsuba A. A. Numeroiden analyyttisen teorian perusteet. - 3. painos - M .: URSS, 2004.

L -funktiot lukuteoriassa _
Analyyttisiä esimerkkejä	Riemannin zeta-funktio L -Dirichlet-funktiot Hecke-merkkien L -funktiot Automorfiset L -funktiot Selberg-luokka
Algebrallisia esimerkkejä	Dedekind zeta -funktiot Artin L -funktiot Hasse-Weyl L -funktiot Motiivi L -funktiot
Lauseet	Analyyttinen kaava luokkien lukumäärälle Riemann-von Mangoldtin kaava Weilin hypoteeseja
Analyyttiset hypoteesit	Riemmannin hypoteesi Yleistetyt Riemannin hypoteesit Lindelöfin hypoteesi Ramanujan hypoteesi Artinin hypoteesi
Algebralliset olettamukset	Birch-Swinnerton-Dyer hypoteesi Delignen arvelu Beilinsonin hypoteesit Bloch-Katon arvelu Langlandsin hypoteesi
p - adic L -funktiot	Iwasawan teorian päähypoteesi Selmer Group Euler-järjestelmä