Globaali kenttä

Globaali kenttä on jompikumpi kahdesta tyypistä:

algebrallisten lukujen kenttä, eli rationaalisten lukujen kentän äärellinen laajennus , $\mathbb {Q}$

tai

globaali funktioiden kenttä eli funktiokenttä äärellisen kentän algebrallisella käyrällä tai vastaavasti äärellinen laajennus - yhden muuttujan rationaalisten funktioiden kentät äärellisen elementtikentän päällä . $\mathbb {F} _{q}(T)$ $\mathbb {F} _{q}$ $q$

Emil Artin ja George Voples antoivat vuonna 1940 aksiomaattisen luonnehdinnan tällaisille kentälle eksponenttiteorian avulla . [yksi]

Määritelmä

Globaali kenttä on yksi seuraavista kentistä:

Algebrallisten lukujen kenttä

Algebrallisten lukujen kenttä on rationaalilukukentän äärellinen laajennus ( ja siten algebrallinen laajennus ) . Siten on kenttä, joka sisältää , ja jolla on rajallinen ulottuvuus vektoriavaruuden yli . $F$ $\mathbb {Q}$ $F$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Algebrallisen käyrän funktiokenttä äärellisen kentän päällä

Lajikkeen funktioiden kenttä on kaikkien tämän lajikkeen rationaalisten funktioiden joukko. Algebrallisella käyrällä (toisin sanoen yksiulotteisella monikerroksella ) äärellisen kentän päällä sanomme, että avoimen affiinin osajoukon rationaalinen funktio määritellään kahden polynomin suhteeksi affiinisessa koordinaattirenkaassa , ja katsomme, että mikä tahansa kaksi tällaista funktiota ovat ekvivalentteja, jos ne osuvat avoimien affiiniset joukkojensa leikkauspisteeseen. Tämä määrittelee teknisesti rationaaliset funktiot minkä tahansa affiinisten osajoukkojen affiinisten koordinaattirenkaiden relaatiokenttään , koska kaikkien tällaisten osajoukkojen koko joukko on tiheä. $V$ $U$ $U$ $V$

Analogia kahden kenttäluokan välillä

Näiden kahden kentän välillä on useita muodollisia yhtäläisyyksiä. Kenttätyypistä riippumatta kaikki sen täydennykset ovat paikallisesti kompakteja kenttiä (katso paikallinen kenttä ). Jokainen minkä tahansa tyyppinen kenttä voidaan toteuttaa Dedekind-renkaan relaatiokentällä , jossa jokaisella nollasta poikkeavalla ideaalilla on äärellinen indeksi. Jokaisessa tapauksessa on "tuotekaava" nollasta poikkeaville elementeille : $x$

\prod \limits _{v}|x|_{v}=1.\

Analogia kahden tyyppisten kenttien välillä on ollut vahva liikkeellepaneva voima algebrallisessa lukuteoriassa . Ajatus algebrallisten lukukenttien ja Riemannin pinnan analogiasta juontaa juurensa Dedekindille ja Weberille 1800-luvulla. 1930-luvulla luotiin tiukempi analogia, jota ilmaisi ajatus globaalista kentästä, jossa Riemannin pinnan aspekti algebrallisena käyränä, joka on kartoitettu äärellisen kentän yli määriteltyihin käyriin, mikä johti Riemannin hypoteesiin käyrien yli. rajalliset kentät , jonka Weil perusteli vuonna 1940. Terminologia saattaa liittyä Weiliin, joka kirjoitti Basic Number Theory (1967) osittain kehittääkseen analogian.

Yleensä on helpompi työskennellä funktiokentän tapauksessa ja yrittää sitten kehittää vastaavaa tekniikkaa numeerisen kentän puolella. Dramaattinen esimerkki on Arakelovin teorian kehittäminen ja Faltingsin käyttö Mordellin arvelun todistamisessa . Analogia vaikutti myös Iwasawan teorian ja sen päähypoteesin kehitykseen . Peruslemman todistuksessa Langlands-ohjelma käytti myös menetelmiä, jotka pelkisti numerokentän funktiokentän tapaukseksi.

Lauseet

Minkowski-Hassen lause

Minkowski-Hassen lause on lukuteorian perustavanlaatuinen tulos, joka väittää, että kaksi toisen asteen muotoa globaalissa kentässä ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos ne ovat ekvivalentteja paikallisten kenttien suhteen, eli ekvivalenttia missä tahansa kentän täydennyksessä .

Artinin vastavuoroisuuden laki

Artinin vastavuoroisuuslaki merkitsee kuvausta globaalin kentän absoluuttisen Galois-ryhmän abelianisaatiosta , joka perustuu Hassen periaatteeseen . Sitä voidaan kuvata kohomologian termein seuraavasti: $K$

Antaa olla Galois -laajennus paikallisesta kentästä Galois-ryhmän kanssa . Sitten paikallinen vastavuoroisuuslaki kuvaa kanonista isomorfismia $L_{v}/K_{v}$ $G$

\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v))(L_{v}^{\times })\to G^{\mathrm {ab}},

jota kutsutaan paikalliseksi Artin-symboliksi . [2] [3]

Olkoon globaalin kentän Galois'n laajennus ja olla idelesin luokkaryhmä . Erilaisten kartoitukset voidaan koota yhdeksi globaaliksi symboliksi idel-luokan paikallisten komponenttien tuotteena. Yksi Artinin "vastavuoroisuus"-lain väitteistä on, että tämä johtaa kanoniseen isomorfismiin [4] [5] $L/K$ $C_{L}$ $L$ ${\näyttötyyli \theta _{v))$ $K_{v}$

Muistiinpanot

↑ Artin & Whaples, 1945 ja Artin & Whaples, 1946
↑ Serre (1967) s. 140
↑ Serre (1979) s. 197
↑ Neukirch (1999) s. 391
↑ Jurgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, s. 408. Itse asiassa vastavuoroisuuslain tarkempi versio seuraa seurausta.

Linkit

Artin, Emil & Whaples, George (1945), Aksiomaattinen kenttien karakterisointi arvostustuotekaavalla , tiedote. amer. Matematiikka. soc. T. 51: 469-492 , DOI 10.1090/S0002-9904-1945-08383-9
Artin, Emil & Whaples, George (1946), Huomautus kenttien aksiomaattiseen karakterisointiin , tiedote. amer. Matematiikka. soc. T. 52: 245-247 , DOI 10.1090/S0002-9904-1946-08549-3
JWS Cassels , "Global fields", julkaisussa JWS Cassels ja A. Frohlich (toim.), Algebraic number theory , Academic Press , 1973. Chap.II, pp. 45-84.
JWS Cassels, "Local fields", Cambridge University Press , 1986, ISBN 0-521-31525-5 . P.56.
Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander & Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , voi. 323 (2. painos), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , Berliini: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-37888-4