Kommutaattori

Yleisalgebran kommutantti on algebroiden alijärjestelmä , joka sisältää ryhmärakenteen ( aliryhmä , alirengas , yleisimmässä tapauksessa monioperaattoriryhmän aliryhmä ), joka osoittaa ryhmäoperaation ei- kommutatiivisuuden asteen .

Ryhmän kommutantti on pienin normaalialiryhmä siten, että sen osamäärä on Abelin ryhmä . Renkaan kommutantti on ideaali , jonka muodostavat kaikki mahdolliset alkuaineiden tulot.

Monioperaattoriryhmän kommutaattori

Kommutaattori on yleisimmin määritelty monioperaattoriryhmälle . Monioperaattorialgebran kommutaattori on sen ideaali , jonka generoivat sen kommutaattorit, eli muodon elementit: ${\mathfrak G}=(G,+,-,0,\Sigma )$

[g_{1},g_{2}]=-g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}

sekä elementit:

-\sigma (g_{1},\pisteet ,g_{n})-\sigma (h_{1},\pisteet ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\pisteet ,g_{n}+h_{n})

jokaiselle -ary-operaatiolle usean operaattorin ryhmän lisäallekirjoituksesta. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Ryhmäkommutaattori

Ryhmän [1] kommutaattori ( johdettu ryhmä tai ryhmän alemman keskirivin toinen jäsen ) on aliryhmä, joka on muodostettu ryhmän äärellisen määrän kommutaattorien kaikkien mahdollisten tulojen joukosta . Seuraavaa merkintää käytetään ryhmän johdetulle alaryhmälle : , . (Samaan aikaan kytkimet kirjoitetaan eri lähteissä eri tavalla: esiintyy (kerroinmerkinnässä) sekä ja ). $G$ ${\displaystyle \{[g_{1},g_{2}]\mid g_{1},g_{2}\in G\))$ $G$ $G$ $[G,G],\;G',\;T_{2}(G)$ $K(G)$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}g_{2}g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}g_{1}g_{2}$

Ryhmän kommutaattorialiryhmä on täysin tyypillinen alaryhmä , ja mikä tahansa alaryhmä, joka sisältää kommutaattorialiryhmän, on normaali .

Kommutaattorin sijoitukset

Kommutaattorin rakennetta voidaan iteroida:

G^{{(0)}}:=G

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

varten .

n\in \mathbb {N}

Ryhmiä , , ... kutsutaan toiseksi johdetuksi ryhmäksi , kolmanneksi johdetuksi ryhmäksi ja niin edelleen. Laskeva ryhmien rivi: $G^{(2)}$ $G^{(3)}$

G=G^{{(0)}}\vartriangleright G^{{(1)}}\vartriangleright G^{{(2)}}\vartriangleright \ldots

kutsutaan johdetuksi sarjaksi tai kommutaattorisarjaksi [2] .

Äärilliselle ryhmälle johdettu sarja ennemmin tai myöhemmin stabiloituu ryhmään, jonka kommutantti on sama kuin itsensä . Jos tämä ryhmä on triviaali , alkuperäisen ryhmän sanotaan olevan ratkaistavissa . Äärettömälle ryhmälle johdettu sarja ei välttämättä stabiloitu äärellisessä määrässä vaiheita, vaan sitä voidaan laajentaa käyttämällä transfiniittistä induktiota , jolloin saadaan transfiniittistä johdettu sarja , joka johtaa ennemmin tai myöhemmin täydelliseen ryhmään. $G$

Abelization

Osamääräryhmä jonkin normaalin alaryhmän suhteen on Abelin , jos ja vain jos tämä alaryhmä sisältää ryhmän kommutaattorialiryhmän. Ryhmän faktorointia sen kommutantilla kutsutaan abelisoinniksi ja sitä merkitään tai tai . $G$ $G_{{ab}}$ $G^{{ab}}$ $\operaattorinimi {Ab}(G)$

Kartauksesta on olemassa kategorinen tulkinta . Nimittäin se on universaali kaikkien homomorfismien suhteen osoitteesta Abelin ryhmään: jokaiselle sellaiselle homomorfismille on olemassa ainutlaatuinen homomorfismi , joka on sellainen, että . Vastaavasti unohtavalla funktorilla Abelin ryhmien kategoriasta kaikkien ryhmien kategoriaan on vasen adjointti , abelisaatiofunktiontori, joka määrittää ryhmälle sen osamäärän kommutaattorilla ja vaikuttaa morfismiin ilmeisellä tavalla. $\varphi :G\to G^{{ab}}$ $\varphi$ $G$ $f:G\ to H$ $F:G^{{ab}}\-H$ $f=F\circ\varphi$

Ryhmän abelisaatio voidaan laskea ensimmäisen kokonaisluvun ryhmän homologiana : . $G$ $G_{{ab}}=H_{1}(G,{\mathbb {Z}})$

Gurevichin teoreema algebrallisessa topologiassa sanoo, että yhdistetylle CW-kompleksille . Siten homologian teoria topologiassa voidaan nähdä homotopian teorian abelisointina . Tämä väite voidaan tehdä täsmälleen ( Dold-Thomas -lause ). $H_{1}(X)=\pi _{1}(X)_{{ab}}$

Keskinäinen kommutaattori

Ryhmän tuen osajoukkojen keskinäinen kommutaattori on muodon kaikkien kommutaattorien generoima aliryhmä . Normaalien alaryhmien keskinäinen kommutaattorialaryhmä on normaali aliryhmä. $L,M$ $G$ $[L,M]$ $[l,m]:l\in L,m\in M$

Ryhmän mielivaltaisille elementeille pätee seuraava suhde: $g\in G$

g[L,M]g^{{-1}}=[gLg^{{-1}},gMg^{{-1}}]

Renkaan kommutaattori

Renkaan kommutaattori (myös renkaan neliö ) [3] on ideaali , jonka muodostavat kaikki tuotteet: , merkitty tai . Tällainen yksinkertaistaminen verrattuna kommutaattorin yleiseen määritelmään johtuu renkaan additiivisen ryhmän kommutatiivisuudesta - elementtien kommutaattori katoaa aina, ja lisäallekirjoitusta (rengaskertoja) koskeva ehto ilmaistaan tarpeella sisällyttää kaikki seuraavan muodon elementit luontijoukossa: $R$ $\{ab\mid a,b\in R\}$ $[R, R]$ $R^2$ $r_{1},r_{2}\in R$

-r_{1}r_{2}-s_{1}s_{2}+(r_{1}+s_{1})(r_{2}+s_{2})=r_{1}s_ {2}+r_{2}s_{1}

Muistiinpanot

↑ Englanniksi ryhmän kommutaattoria kutsutaan "kommutaattorin alaryhmäksi" - Eng. kommutaattorin alaryhmä , joten ryhmän jäsenen kommutaattorin käsite voi aiheuttaa sekaannusta .
↑ Tätä rakennetta ei pidä sekoittaa ryhmän alimmaiseen keskiriviin , joka on määritelty , ei $G_{n}:=[G_{{n-1}},G]$ $G^{{(n)}}:=[G^{{(n-1)}},G^{{(n-1)}}]$
↑ Renkaiden teoriassa toista yhdistelmää kutsutaan elementtien kommutaattoriksi : , ja kommutaattoriideaali on kaikkien kommutaattorien generoima ideaali (renkaat, algebrat); kirjallisuudessa joskus tällaista kommutaattoriideaalia kutsutaan myös renkaan kommutaattoriksi (algebra). $[a,b]=ab-ba$

Kirjallisuus

A. G. Kurosh . Ryhmät monioperaattoreiden kanssa // Yleisalgebran luentoja. - 2. painos - M .: Nauka, 1973. - S. 114-124. – 400 s. – 30 000 kappaletta.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Ryhmäteorian perusteet. - 5. painos - Lan, 2009. - 288 s. — ISBN 978-5-8114-0894-8 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Luku II. Ryhmät // Yleinen algebra / Yleisen alla. toim. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 30 000 kappaletta. — ISBN 5-02-014426-6 .
I. M. Vinogradov. Kommutantti // Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)