Abelin ryhmien luokka (merkitty Ab ) on luokka , jonka objektit ovat Abelin ryhmiä ja joiden morfismit ovat ryhmähomomorfismeja . Se on Abelin - luokan prototyyppi . [1] itse asiassa mikä tahansa pieni Abelin kategoria voidaan upottaa Ab :hen [2] .
Ab on Grp :n ( kaikkien ryhmien luokat ) täydellinen alaluokka . Suurin ero Ab :n ja Grp :n välillä on, että Abelin ryhmien kahden homomorfismin summa on jälleen homomorfismi:
( f + g ) ( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y ) = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )Kolmas yhtälö vaatii summauksen kommutatiivisuuden. Morfismien lisäys tekee Ab :sta pre-additiivisen kategorian ja koska Abelin ryhmien äärellinen suora summa on kaksitulo , niin Ab on additiivinen luokka .
Ab : ssa ytimen käsite kategorisessa merkityksessä on sama kuin ytimen algebrallisessa mielessä , sama pätee kokerneliin . (Tässä keskeinen ero Ab :n ja Grp :n välillä on, että f ( A ) ei välttämättä ole normaali aliryhmä Grp :ssä , joten osamääräryhmää B / f ( A ) ei voida aina määrittää.) Tietyt ytimen ja kokernelin kuvaukset huomioon ottaen se on helppoa tarkistaa, onko tämä Ab todella Abelin luokka .
Objekti Ab on injektiivinen silloin ja vain jos ryhmä on jaollinen ; se on projektiivinen , jos ja vain jos ryhmä on vapaa.
Kun on annettu kaksi Abelin ryhmää A ja B , voidaan määritellä niiden tensoritulo A ⊗ B ; se on jälleen Abelin ryhmä, mikä tekee Ab :sta monoidikategorian .
Ab ei ole suorakulmainen suljettu , koska siinä ei aina määritellä eksponentiaaleja .