Preadditiivinen luokka

Preadditiivinen luokka on rikastettu luokka Abelin ryhmien kategoriaan nähden , toisin sanoen sellainen luokka, että minkä tahansa objektinsa osalta joukolla on Abelin ryhmän rakenne summauksen perusteella, kun taas morfismien koostumus on bilineaarinen : $A$ $B$ ${\text{Hom}}(A,B)$

(g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f

g\circ (f_{1}+f_{2})=g\circ f_{1}+g\circ f_{2}

Preadditiivista luokkaa kutsutaan joskus myös -kategoriaksi [1] . $Ab$

Esimerkkejä

Abelin ryhmien luokka . ${\mathbf {Ab))$
Vasemman R-moduulin ja oikeanpuoleisen R-moduulin luokat . $R{\mbox{-}}{\mathbf {Mod}}$ ${\mathbf {Mod}}{\mbox{-}}R$

Additive Functors

Funktorin sanotaan olevan additiivinen , jos jokainen kartoitus on Abelin ryhmien homomorfismi . $T\kaksoispiste A\B:hen$ $T\colon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})$

Jos ja ovat luokkia ja on preadditiivinen, niin myös funktionaalien luokka on preadditiivinen, koska luonnollisia muunnoksia voidaan lisätä luonnollisella tavalla. Jos on myös preadditiivinen, niin additiivisten funktioiden ja luonnollisten muunnosten luokka on myös preadditiivinen. ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$ ${\mathcal D}$ $Funktio({\mathcal C},{\mathcal D})$ ${\mathcal C}$ $Lisää({\mathcal C},{\mathcal D})$

Viimeinen esimerkki johtaa moduulin käsitteen yleistämiseen : jos se on preadditiivinen, luokkaa kutsutaan moduulien kategoriaksi over . If on yhden objektin pre-additiivinen luokka - renkaat , tämä johtaa tavalliseen (vasemmalla) -moduulien määritelmään. ${\mathcal C}$ $Mod({\mathcal C}):=Lisää({\mathcal C},{\mathbf {Ab)))$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $R$ $R$

$Ab{\mbox{-}}{\mathbf {Cat}}$ on kaikkien pienten kategorioiden luokka, joiden morfismit ovat additiivisia funktioita. $Ab$

Erikoistilaisuudet

Sormus on yhden esineen esilisäysluokka.
Lisäaineluokka on lisäaineluokka, jossa on rajalliset tuotteet .
Abelin luokka on additiivinen luokka, jossa on ytimiä ja koksiytimiä , ja jokainen monomorfismi ja jokainen epimorfismi on normaali .

Muistiinpanot

↑ McLane S. Luku 1. Kategoriat, funktionaaliset ja luonnolliset muunnokset // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Kirjallisuus

Nicolae Popescu ; 1973; Abelin kategoriat, joissa on sovelluksia renkaisiin ja moduuleihin; Academic Press Inc. — ISBN 0-12-561550-7 .