Abelin luokka

Abelin luokka  on luokka , johon voidaan lisätä morfismeja, ja ytimiä ja koksiytimiä on olemassa ja niillä on tiettyjä käteviä ominaisuuksia. Esimerkki , josta tuli Abelin - luokan prototyyppi , on Abeli ​​- ryhmien luokka . Abelin kategoriateorian kehitti Alexander Grothendieck yhdistääkseen useita kohemologiateorioita. Abelilaisten kategorioiden luokka on suljettu useiden kategoristen rakenteiden alla; esimerkiksi ketjukompleksien luokka, jossa on elementtejä Abelin kategoriasta ja funktionaalisten luokka pienestä kategoriasta Abelin kategoriaan, ovat myös Abelilaisia.

Määritelmä

Preadditiiviluokka on Abelin, jos:

• siinä on tyhjä objekti ,
• kaikki binaarituotteet ja sivutuotteet ovat olemassa ,
• kaikki ytimet ja koksiytimet ovat olemassa,
• kaikki monomorfismit ja epimorfismit ovat normaaleja .

Tämä määritelmä vastaa [1] seuraavaa määritelmää "osien mukaan": preadditiiviluokka on Abelin luokka, jos se on additiivinen , kaikki ytimet ja koksiytimet ovat siinä ja kaikki monomorfismit ja epimorfismit ovat normaaleja .

On tärkeää, että Abelin ryhmien rakenteen esiintyminen morfismien joukoissa on seurausta neljästä ominaisuudesta ensimmäisestä määritelmästä. Tämä korostaa Abelin ryhmien luokan perustavanlaatuista roolia tässä teoriassa.

Esimerkkejä

• Abelilaisten ryhmien luokka on Abelin. Äärillisesti luotujen Abelin ryhmien luokka on myös Abelin, samoin kuin äärellisten Abelin ryhmien luokka.
• Jos  on rengas , vasemman (tai oikean) moduulien luokka on Abelin. Freud-Mitchellin upotuslauseen mukaan mikä tahansa Abelin luokka vastaa moduulien luokan täyttä alaluokkaa .
• Jos on vasen Noetherian  rengas, niin äärellisesti generoitujen vasen -moduulien luokka on Abelin. Erityisesti Noetherin kommutatiivisen renkaan äärellisesti generoitujen moduulien luokka on Abelin.
• Jos  on topologinen avaruus , niin Abelin ryhmien lyhteiden luokka on Abelin.

Grothendieckin aksioomit

Teoksessa Sur quelques points d'algèbre homologique [2] Grothendieck ehdotti useita lisäaksioomia, jotka voivat päteä Abelin kategoriaan .

• AB3) Jokaiselle luokan objektijoukolle on yhteistulo . Tämä aksiooma vastaa Abelin kategorian täydellisyyttä [3] .
• AB4) täyttää Axioman AB3) ja minkä tahansa monomorfismien perheen yhteistuote on monomorfismi (eli yhteistuote on tarkka funktionaali ).
• AB5) täyttää Axiomin AB3) ja tarkkojen sekvenssien suodatetut kolimitit ovat tarkkoja. Vastaavasti minkä tahansa objektin aliobjektien hilan ja objektin aliobjektien hilan kohdalla on totta, että

Aksioomit AB3*), AB4*) ja AB5*) saadaan yllä olevista aksioomeista duaaleina niille (eli korvaamalla kolimiitit rajoilla ). Aksioomit AB1) ja AB2) ovat vakioaksioomia, jotka pätevät missä tahansa Abelin kategoriassa (tarkemmin sanottuna Abelin luokka määritellään additiiviseksi kategoriaksi, joka täyttää nämä aksioomit):

• AB1) Jokaisella morfismilla on ydin ja kokerneli.
• AB2) Minkä tahansa morfismin kanoninen morfismi alkaen - on isomorfismi. (Tässä ).

Grothendieck muotoilee myös vahvemmat aksioomit AB6) ja AB6*), mutta ei käytä niitä tässä työssä.

Historia

Abelilaisen luokan käsitteen ehdotti Buxbaum vuonna 1955 (hän ​​käytti nimeä "tarkka luokka") ja Grothendieck vuonna 1957 . Tuohon aikaan oli teoria lyhteiden kohomologiasta algebrallisilla lajikkeilla ja teoria ryhmien kohomologiasta. Nämä teoriat määriteltiin eri tavalla, mutta niillä oli samanlaiset ominaisuudet. Grothendieck onnistui yhdistämään nämä teoriat; molemmat voidaan määritellä johdetuilla funktoreilla Abelin pyöräkategoriassa ja Abelin moduulikategoriassa.

Muistiinpanot

1. ↑ Freyd, 1964 .
2. ↑ Grothendieck, 1957 .
3. ↑ Weibel, 1994 , s. 426-428.

Kirjallisuus

• D.A. Buchsbaum. Tarkat luokat ja kaksinaisuus // Transactions of the American Mathematical Society . - 1955. - T. 80 , nro 1 . - S. 1-34 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 . — .
• Peter Freyd. Abelin luokat . - N.Y .: Harper and Row, 1964.
• A. Grothendieck. Sur quelques points d'algebre homologique  // The Tohoku Mathematical Journal. toinen sarja. - 1957. - T. 9 . — S. 119–221 . — ISSN 0040-8735 .
• Charles A. Weibel. Johdatus homologiseen algebraan. - Cambridge University Press, 1994.