Säde (matematiikka)

Nippu on rakenne, jota käytetään luomaan suhteita jonkin matemaattisen kohteen paikallisten ja globaalien ominaisuuksien tai ominaisuuksien välille. Pyörillä on merkittävä rooli topologiassa , differentiaaligeometriassa ja algebrallisessa geometriassa , mutta niillä on myös sovelluksia lukuteoriassa , analyysissä ja kategoriateoriassa .

Intuitiivinen määritelmä

Karkeasti sanottuna nippu topologisessa avaruudessa saadaan kahden tyypin tiedoista kahdella lisäominaisuudella. $F$ $X$

Ensimmäinen osa tiedoista sisältyy kartoitukseen, joka kartoittaa tilan jokaisen avoimen osajoukon johonkin (abstraktiin) joukkoon . Lisäksi voimme vaatia, että tälle sarjalle annetaan tietty rakenne, mutta toistaiseksi rajoitamme siihen, että tämä on vain joukko. $U$ $X$ $F(U)$

Toinen osa tiedoista on se, että jokaiselle avoimen joukon parille on tietty kartoitus , jota kutsutaan kaventamiseksi . (Se toimii samalla tavalla kuin toiminto, joka kaventaa kohdassa määriteltyjä toimintoja ) $V\alajoukko U$ $\rho _{{VU}}:F(U)\to F(V)$ $V$ $U.$

Näillä tiedoilla on myös oltava seuraavat kaksi ominaisuutta:

Normalisoinnin aksiooma : - yksittäisen alkion joukko. $F(\varnothing)$
Liimausaksiooma : jos annetaan johdonmukainen elementtijärjestelmä(yhdenmukaisuus tarkoittaa, että elementeilläonsama rajoitus alueelle), niin ne määrittelevät yksiselitteisesti elementin, josta(missä on kaikkien liitto), jonka rajoitukset vastaavalle alueelle ovat Ne kaikki. $x_{i}\in F(U_{i})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $x$ $F(U)$ $U$ $U_{i}$

Esimerkkejä

Toimintopaketit

Pääesimerkki on jatkuvien funktioiden nippu topologisessa avaruudessa X. Jatkuvan funktion rajoitus avoimeen osajoukkoon on jatkuva funktio tässä osajoukossa, ja avoimille osajoukoille osittain määritelty funktio voidaan palauttaa niiden liitolle.

Tarkemmin sanottuna kullekin avaruuden avoimelle osajoukolle merkitsemme kaikkien jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden joukkoa . Kun annetaan avoin joukko , joka sisältyy funktioon ja funktio , voimme rajata funktion laajuuden joukkoon ja saada funktion . Rajoitus on jatkuva funktio , joten se on joukon elementti . Siten rajoituskuvaus on määritelty . $U$ $X$ $F(U)$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $V$ $U$ $f$ $F(U)$ $f$ $V$ $f|_{V}$ $f|_{V}$ $V$ $F(V)$ $\rho _{{VU}}:F(U)\to F(V)$

Normalisoinnin aksiooma on ilmeisesti täyttynyt, koska R :ssä on vain yksi jatkuva funktio tyhjästä joukosta - tyhjä funktio . Osoittaaksemme, että myös liimausaksiooma on pätevä, oletetaan, että meille annetaan johdonmukainen jatkuvien funktioiden järjestelmä , . Tämä tarkoittaa, että toimintojen ja laitteen rajoitusten on oltava samat. Määrittelemme nyt funktion seuraavasti: koska on kaikkien liitto , jokaisen pisteen kattaa joukko joillekin . Määritetään funktion arvo pisteessä, joka on yhtä suuri kuin . Tämä määritelmä on oikea: jos se on myös , niin johdonmukaisuusehdon mukaan , joten sillä ei ole väliä, mitä näistä funktioista käytetään määrittämään . Lisäksi funktio on jatkuva pisteessä , koska sen naapurustossa se on sama kuin jatkuva funktio . Seurauksena on, että funktio on jatkuva jokaisessa pisteessä alkaen , eli jatkuva klo . Lisäksi se on ainoa jatkuva funktio, jonka rajoitus toimialueelle on sama kuin , koska funktion määräävät täysin sen arvot pisteissä. Tämän seurauksena funktioista on liimattu yksi ja vain yksi funktio , nimittäin . $f_{i}:U_{i}\to {\mathbb {R}}$ $minä\minässä$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $U$ $U_{i}$ $x$ $U$ $U_{i}$ $i$ $f$ $x$ $korjata)$ $x$ $U_{j}$ $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ $f(x)$ $f$ $x$ $U_{i}$ $korjata)$ $f$ $U$ $U$ $f$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{i}$ $f$

Itse asiassa tuloksena oleva nippu ei ole vain joukko sarjoja. Koska jatkuvia funktioita voidaan lisätä pisteittäin jatkuvien funktioiden saamiseksi, tämä nippu on myös Abelin ryhmien nippu . Koska ne voidaan myös kertoa, tämä nippu on kommutatiivisten renkaiden nippu . Koska jatkuvat funktiot joukossa muodostavat vektoriavaruuden R :n yli , tämä nippu on R : n algebrojen nippu .

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja

Yksinkertaisuuden vuoksi työskentelemme avaruuden R kanssa . Oletetaan , että R :lle annetaan differentiaaliyhtälö ja etsitään tasaisia ratkaisuja, eli tasaisia funktioita , jotka täyttävät tämän yhtälön. Edellisessä esimerkissä kuvattiin, kuinka jatkuvien funktioiden nippu R :lle muodostetaan . Samanlaista konstruktiota, jossa sanat "jatkuva" on korvattu sanoilla "smooth", voidaan käyttää muodostamaan nippu sileitä funktioita R :lle . Merkitään tämä nippu . on joukko sileitä toimintoja . Jotkut elementit ovat yhtälön ratkaisuja . Osoittautuu, että nämä ratkaisut muodostavat itse nipun. $F(x,y,y',y'',...)=0$ $y:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $G$ $G(U)$ $U\to {\mathbb {R}}$ $G(U)$ $F = 0$

Olkoon jokaiselle avoimelle joukolle joukko sileitä funktioita siten, että . Rajoituskartoitukset ovat edelleen toimintorajoituksia, aivan kuten . kaikki koostuu myös tyhjästä funktiosta. Liimauksen aksiooman testaamiseksi olkoon joukko avoimia joukkoja ja niiden liitto. Antaa olla elementtejä johdonmukainen risteyksissä, eli . Määritellään se samalla tavalla kuin ennenkin: aina kun määritellään. Varmistaaksesi, että se on edelleen ratkaisu differentiaaliyhtälöön, huomaa, että se täyttää sen jokaisessa joukossa , koska siellä se on sama kuin funktio . Siksi yhtälölle on ratkaisu . Tarkistaaksesi, mikä on ainutlaatuista, huomaa, kuten ennenkin, mitä sen arvot määrittävät pisteissä, ja näiden arvojen on vastattava arvoja kohdassa . Joten , on ainoa liimaus toimintoja , joten onnippu . $U$ $H(U)$ $y:U\to {\mathbb {R}}$ $F(x,y,y',y'',\pisteet )=0$ $G$ $H(\varnothing)$ $\{U_{i}\},i\in I$ $U$ $f_{i}$ $H(U_{i})$ $f_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=f_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $f$ $f(x)=f_{i}(x)$ $korjata)$ $f$ $f$ $U_{i}$ $korjata)$ $f$ $F = 0$ $f$ $f$ $korjata)$ $U_{i}$ $f$ $\{f_{i}\}$ $H$

Huomaa, että se sisältyy mihin tahansa . Lisäksi, jos on elementti , ja se on :n sisältämä avoin joukko , rajoituskartan soveltaminen kynän funktioihin on sama kuin kynässä . Tällaisissa tapauksissa lyhteen sanotaan olevan lyhden osalyhde . $H(U)$ $G(U)$ $U$ $f$ $H(U)$ $V$ $U$ $V$ $f$ $H$ $G$ $H$ $G$

Differentiaaliyhtälöstä riippuen voi käydä niin, että lisäämällä kaksi tämän yhtälön ratkaisua jälleen saadaan sen ratkaisu - esimerkiksi jos se on lineaarinen. Tässä tapauksessa se on nippu ryhmiä, joiden ryhmäoperaatio annetaan funktioiden pisteittäisellä lisäämisellä. Kuitenkin yleisessä tapauksessa - vain nippu sarjoja, ei nippu ryhmiä tai renkaita. $F$ $F$ $H$ $H$

Vektorikenttien vyöt

Olkoon tasainen jakoputkisto . Vektorikenttä kartoittaa jokaisen pisteen vektoriin tangenttiavaruudesta pisteeseen . _ _ _ Vaaditaan, että se riippuu sujuvasti . Määritellään nippu , joka kuljettaa tietoa vektorikentistä . Tarkastellaan jokaista avointa joukkoa tasaisena moninaisena ja anna olla kaikkien (tasaisten) vektorikenttien joukko . Toisin sanoen, on joukko funktioita , jotka kuvaavat pisteen vektoriin kohdasta , tasaisesti siitä riippuen. Koska se on auki, . Määrittelemme rajoitusmappaukset vektorikenttien rajoituksiksi. $M$ $V$ $M$ $x$ $M$ $V(x)$ $T_{x}M$ $M$ $x$ $V(x)$ $x$ $\mathcal{T}$ $M$ $U$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $V$ $x$ $U$ $V(x)$ $T_{x}U$ $U$ $T_{x}U=T_{x}M$

Osoittaaksesi, että nippu on olemassa, huomaa ensin, että se koostuu vain yhdestä tyhjästä funktiosta, koska tyhjässä joukossa ei ole pisteitä. Tarkastetaan nyt liimauksen aksiooma. Olkoon , on joukko avoimia joukkoja, ja U on heidän liittonsa. Jokaisessa avoimessa joukossa valitsemme vektorikentän ja oletamme, että nämä kentät ovat yhdenmukaisia leikkauspisteissä, eli . Nyt määritetään uusi vektorikenttä V U : lle seuraavasti: valitse mille tahansa x : lle U :sta , joka sisältää x . Määritellään V(x) muodossa . Koska kentät ovat yhdenmukaisia risteyksissä, V on hyvin määritelty. Lisäksi V(x) on tangenttivektori kohdasta , joka riippuu tasaisesti x :stä , koska se riippuu tasaisesti x :stä ja "tasainen riippuvuus" on paikallinen ominaisuus. Lopuksi V on ainoa mahdollinen kenttien liimaus , koska V määräytyy yksiselitteisesti sen arvoilla jokaisessa pisteessä x ja näiden arvojen on vastattava kentän arvoja . $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(\varnothing )$ $\{U_{i}\}$ $minä\minässä$ $U_{i}$ $V_i$ $V_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=V_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $U_{i}$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $T_{x}M$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $V_i$ $U_{i}$

Voidaan antaa toinen lyhteen määritelmä käyttämällä jakotukin M tangenttikimppua TM . Tarkastellaan luonnollista projektiota , joka kuvaa pisteen x pariin (x, v) , jossa x on piste M :llä ja v on vektori alkaen . Avoimen joukon U vektorikenttä on sama kuin projektion p osio , eli sileä kuvaus siten, että missä on U :n identiteettikuvaus . Toisin sanoen osa s yhdistää pisteen x pariin (x, v) sujuvasti. Kuvaus s ei voi liittää pistettä x pariin (y, v) kanssa , ehdon vuoksi . Tämä mahdollistaa tangenttikipun esittämisen tangenttikipun osien nippuna. Toisin sanoen mille tahansa U : lle on joukko projektion p osia , ja rajoituskartat ovat tavallisia funktioiden rajoituksia. Analogisesti voidaan rakentaa minkä tahansa jatkuvan topologisten avaruuden kartoituksen osien nippu. $\mathcal{T}$ $p:TM\to M$ $T_{x}M$ $s:U\toTM$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ ${{\rm {id}}}_{U}$ $y\neq x$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(U)$

Nippu on aina nippu ryhmiä, joissa on pistesuuntaisia vektoreiden yhteenlaskuoperaatioita. Yleensä ei kuitenkaan ole renkaiden nippua, koska kertolaskutoiminto ei ole luonnostaan määritelty vektoreissa. $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$

Muodollinen määritelmä

Ensimmäinen vaihe nippun käsitteen määrittämisessä on määritellä esiketjun käsite , joka kattaa topologisen avaruuden jokaiseen avoimeen osajoukkoon liittyvät tietotilat ja toiminnot, joilla data rajoitetaan suuremmista osajoukkoihin pienempiin. Toisessa vaiheessa asetetaan lisärajoituksia - vaatimukset normalisoinnin ja liimauksen aksioomien tyydyttävyydestä. Nämä vaatimukset täyttävä esinauha on nippu.

Esinauhan määritelmä

Olkoon topologinen avaruus ja C jokin kategoria . Esilehti , jonka arvot ovat luokassa C , annetaan välilyönnin päälle, jos [1] : $X$ $X$ $F$

Jokainen avoin osajoukko liittyy F (U) -kategoriaan C kuuluvaan objektiin . $U$ $X$
Jokainen avointen joukkojen sisällyttäminen liittyy luokan C objektien morfismiin : $V\alajoukko U$

\rho _{{VU}}\kaksoispiste F(U)\-F(V)

Näitä morfismeja kutsutaan restriktiomorfismeiksi . Näiden morfismien kokonaisuuden on täytettävä seuraavat ehdot:

Jokaiselle avoimelle joukolle on objektin identiteettimorfismi . $U$ ${\näyttötyyli \rho _{UU}}$ $F(U)$
Jokaiselle kaksinkertaiselle osallisuudelle tasa-arvo $W\osajoukko V\osajoukko U$

\rho _{{WV}}\circ \rho _{{VU}}=\rho _{{WU}}

Viimeinen ehto tarkoittaa, että pitäisi olla yhdentekevää, rajoitammeko tiedot alueelta alueelle suoraan vai kahdessa vaiheessa - alustavalla rajoituksella ja siitä jo - . $U$ $W$ $V$ $W$

Presheaves luokkateoriassa

Luokkateorian kannalta saadaan erittäin kompakti esirippu määritelmä. Ensin määritellään avaruuden X avoimien joukkojen luokka O(X) , jonka objektit ovat X :n avoimia osajoukkoja, ja tämän luokan objektin V morfismien joukko objektiksi U siinä tapauksessa, että V on osajoukko. U : sta, koostuu yhdestä morfismista – inkluusio V :stä U :ksi ja muuten tyhjästä. Tällöin välilyönnin X yli, jonka arvot ovat luokassa C , on mikä tahansa kontravarianttifunktio F luokasta O(X ) kategoriaan C. Tällainen esiketjun määritelmä mahdollistaa lisäyleistämisen, kun tarkastellaan C :n funktoreita , ei välttämättä O(X) -muodon kategoriasta (katso esirippu (kategoriateoria) ).

Jos esiketju F annetaan tilan X päälle, jonka arvot ovat kategoriassa C , ja U on X : n avoin osajoukko , niin objektia F(U) kutsutaan esiketjun F leikkausavaruudeksi joukon U yli . Jos C on tietty luokka , niin joukon F(U) jokaista elementtiä kutsutaan lyhenteen F osaksi U :n yli , analogisesti kuituvälien osien ja lyhden etale -tilan kanssa (katso alla ). X :n yläpuolella olevaa osiota kutsutaan globaaliksi osaksi . Osion rajoitus merkitään yleensä nimellä . F(U) on usein myös merkitty lyhenteellä , erityisesti lyhteen kohomologiateorian yhteydessä , jossa alue U on kiinteä ja nippu F on muuttuva. $\rho _{VU}(s)$ $s$ $s|_{V}$ $\Gamma (U,F)$

Lyhteen määritelmä

Nippu on esilyhde, jossa 2 aksioomia [2] pätee .

$F(\varnothing)$ on C -luokan pääteobjekti .

Tietenkin, jotta aksioomalla olisi järkeä, kategorialla C on oltava pääteobjekti. Käytännössä näin yleensä on.

Kuitenkin tärkeämpi aksiooma on liimausaksiooma . Muista, että edellä käsitellyissä esimerkeissä tämä aksiooma edellytti, että tietojoukko (nimen osat), jotka ovat yhdenmukaisia määrittelyalueidensa leikkauskohdissa, sallivat aina (lisäksi yksilöllisesti) niiden liimauksen - osion avoimen liiton yli. joukot, joiden päälle tämä osa annetaan ikään kuin osittain. Yksinkertaisuuden vuoksi muotoilemme liimauksen aksiooman siinä tapauksessa, että C on konkreettinen luokka. Katso yleinen tapaus artikkelista " liimausaksiooma ".

Olkoon joukko avoimia joukkoja avaruudessa X ja olkoon U niiden liitto. Annetaan (esi)lyhteen F osa kunkin päälle . Joukkoa näistä osista kutsutaan yhteensopivaksi jollekin i : lle ja j :lle $U_{i}$ $s_{i}\in F(U_{i})$

\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}}(s_{i})=\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{j}} }(s_{j})

Liimauksen aksiooma F :lle täyttyy, jos

jokainen johdonmukaisten leikkausten sarja määrittelee ainutlaatuisen leikkauksen siten, että jokaiselle i . $si}$ $s\in F(U)$ $s_{i}=\rho _{{U_{i},U}}s$

Osaa s kutsutaan osien liimaamiseksi ( eng. liimaus, ketjuttaminen, lajittelu ) , koska se on ikään kuin liimattu yhteen pienemmistä osista. $si}$

Yllä olevissa esimerkeissä tietyt toiminnot vastasivat palkkien poikkileikkauksia. Tällaisissa tapauksissa liimausaksiooma lähtee funktioista , jotka ovat yhtymäkohtia leikkauspisteissä ja väittää ainutlaatuisen funktion f olemassaolon, joka samanaikaisesti laajentaa kaikki funktiot joukkoon U , juuri sen, mitä näissä esimerkeissä näytettiin todistamaan, että niissä todellakin esitettiin nippu. . $f_{i}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f_{i}$

Usein liimauksen aksiooma jaetaan kahteen osaan - olemassaolon aksioomiin ja ainutlaatuisuuden aksioomiin. Esisarjoja, jotka täyttävät vain ainutlaatuisuuden aksiooman, kutsutaan erotettaviksi ( englanniksi separated ) presheaveiksi.

Lisää esimerkkejä

Koska pyörät sisältävät täsmälleen tiedot, joita tarvitaan siirtymiseen paikallisista tilanteista globaaleihin tilanteisiin, matematiikassa on monia esimerkkejä pyöristä. Tässä on joitain lisäesimerkkejä nipuista:

Mikä tahansa jatkuva topologisten avaruuksien kartoitus määrittää joukkojen nipun. Olkoon f : Y → X jatkuva kartta. Määritämme lyhennyksen yhtä suureksi kuin kuvauksen kaikkien osien joukko , ts. se on kaikkien kuvausten joukko s : U → Y siten, että rajoitusmorfismit annetaan tavanomaisella kuvauksen rajoituksella määritelmäalueen osajoukkoon. . Tätä nippua kutsutaan f :n osien nipuksi , ja se on erityisen tärkeä, kun f on kuitutilan projektio sen pohjan tilaan. On huomattava, että siinä tapauksessa, että f :n kuva ei sisällä U :ta kokonaan, joukko on tyhjä. Erityisenä esimerkkinä voit ottaa ja . Sitten joukon yli on useita logaritmin haaroja . $\Gamma (Y/X)$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $f|_{U}:U\-Y$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $fs=id_{U}.$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $\scriptstyle X=\mathbb {C} \backslash 0,$ $\scriptstyle Y=\mathbb {C}$ $f(z)=\exp(z)$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $U$
Olkoon M C k -monitori ( tasoisuuden k monisto). Jokaiselle avoimelle osajoukolle U määritämme U → R :n kaikkien C k -smooth - funktioiden joukoksi . Rajoitusmorfismit ovat tavallisia toimintorajoituksia. Sitten on nippu renkaita, joissa yhteen- ja kertolasku annetaan funktioiden pisteittäisellä yhteen- ja kertolaskulla. Tätä nippua kutsutaan M : n rakennelyhdeksi . ${\mathcal {O}}_{M}(U)$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Jokaiselle j ≤ k : lle määritetään myös nippu M : n päälle , jota kutsutaan j - kertaisesti differentioituvien funktioiden niveleksi M :llä . on lyhteen alirivi, joka avoimella joukolla U määrittää kaikkien U :n C j -funktioiden joukon . ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Funktioiden nippu ilman nollia määritellään M :n päälle . Toisin sanoen jokaiselle U : lle on joukko kaikkia reaaliarvoisia U :n funktioita, jotka eivät katoa. Tämä on nippu ryhmiä, joiden ryhmäoperaatio annetaan funktioiden pisteittäin kertomalla. ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }(U)$
M :llä on myös kotangenttinippu Ω M . Jokaisella avoimella joukolla U , Ω M ( U ) on joukko 1 asteen differentiaalimuotoja U : lla . Rajoitusmorfismit ovat tavanomaisia differentiaalimuotojen rajoituksia. Vastaavasti mille tahansa p > 0:lle määritetään differentiaalisten p-muotojen nippu Ω p .
Jos M on tasainen monisto, jokaiselle avoimelle joukolle U , joukko on U :n kaikkien reaaliarvoisten jakaumien ( yleistettyjen funktioiden ) joukko . Rajoitukset asetetaan toimintorajoituksilla. Siitä tulee sitten joukko yleistettyjä funktioita . ${\mathcal {DB}}(U)$ ${\mathcal {DB}}$
Olkoon X kompleksinen monisto ja U X : n avoin osajoukko , joka määritellään joukoksi U :n äärellisen kertaluvun holomorfisia differentiaalioperaattoreita . Määrittämällä rajoitteen tavalliseksi funktiorajoitteeksi saadaan nippu, jota kutsutaan holomorfisten differentiaalioperaattoreiden nipuksi . ${\mathcal {D}}_{X}(U)$ ${\mathcal {D}}_{X}$
Korjaamme pisteen x X :stä ja jostakin C - luokan objektista S. Pilvenpiirtäjän yli x : n nippu kuitulla S on nippu S x , joka määritellään seuraavasti: Jos U on avoin joukko, joka sisältää x :n , niin S x ( U ) = S , muuten S x ( U ) on luokan C pääteobjekti . Vastaavasti rajoituskartat ovat joko objektin S identiteettimorfismia, jos molemmat avoimet joukot sisältävät x :n, tai S : n sama yksilöllinen morfismi luokan C pääteobjektiksi .

Jotkut matemaattiset rakenteet määritellään tiloiksi, joissa on kiinteä nippu. Esimerkiksi välilyöntiä, jonka yläpuolella (päällä) on joukko renkaita, kutsutaan renkaaksi . Jos kaikki lyhden kuidut (katso alla) ovat paikallisia renkaita , tämä on paikallisesti rengastettu tila . Jos paikallisten renkaiden lyhteen osat ovat paikallisesti esitettävissä jonkin kommutatiivisen renkaan elementteinä, saadaan kaavio .

Tässä on 2 esimerkkiä esirihdeistä, jotka eivät ole nippuja:

Antaa olla kahden pisteen topologinen avaruus diskreetillä topologialla. Määrittelemme esiketjun F seuraavasti: Rajoituskuvaus on projektio ensimmäiselle komponentille ja rajoituskuvaus on projektio toiseen komponenttiin. on preheaf, joka ei ole erotettavissa: mikä tahansa globaali osa määritellään kolmella numerolla, mutta osat yli (avoimet joukot) ja määrittelevät vain kaksi niistä. Vaikka on mahdollista liimata mitkä tahansa kaksi pisteen päälle annettua osaa , tällaisessa liimauksessa ei ole ainutlaatuisuutta. $\scriptstyle X$ $\scriptstyle \{x,y\}$ $\scriptstyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},$ $\scriptstyle F(\{x\})=\mathbb{R},$ $\scriptstyle F(\{y\})=\mathbb{R},$ $\scriptstyle F(\{x,y\})=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} .$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle \{y\}$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle\{y\},$

Olkoon X kompleksitaso ja sen avoimille osajoukoille U laitetaan F ( U ) rajattujen holomorfisten funktioiden joukko U : lle tavallisilla restriktiokuvauksilla. Tämä ei ole palkki, koska liimaus ei tässä tapauksessa ole aina mahdollista. Olkoon U r esimerkiksi avoin levy | z | < r . Funktio f ( z ) = z on rajoitettu jokaiselle levylle U r . Tästä syystä saadaan johdonmukaiset osuudet s r :llä U r (jotka ovat funktion f ( z ) rajoituksia U r :ssä ). Ne eivät kuitenkaan salli liimaamista, koska funktio f ei ole rajoitettu koko kompleksitasolle. Näin ollen F on esirippu, mutta ei nippu. Huomaa, että F on erotettavissa, koska se on X :n holomorfisten funktioiden nivelen alirivi .

Lyhteen morfismit

Koska pyörät sisältävät dataa, joka liittyy X : n jokaiseen avoimeen osajoukkoon, lyhteen morfismi määritellään joukoksi kuvauksia, yksi jokaiselle avoimelle joukolle, joka täyttää jotkin yhdenmukaisuusehdot.

Lyhteet ovat erityislaatuisia esilenkkejä, aivan kuten Abelin ryhmät ovat ryhmien erikoistapaus (lyhteet muodostavat täydellisen alakategorian presheaves-kategoriassa). Toisin sanoen lyhteiden morfismi on sama kuin esiketjujen morfismi, mutta lyhteitä olevien esineiden välillä; liimausaksioomaa ei käytetä millään tavalla morfismin määritelmässä.

Lyhteen morfismit yhden välilyönnin yli

Tässä osiossa kaikki pyörät määritellään avaruuden X yli ja niillä on arvot kiinteässä kategoriassa C (kun puhumme morfismien ytimestä ja koksiytimestä, oletetaan, että C on Abelin luokka ).

Olkoon kaksi tällaista nippua. C-pyörien morfismi X: llä liittää jokaiseen X:n avoimeen joukkoon U morfismin , joten kaikki nämä morfismit ovat yhteensopivia keskenään ja molempien pyöreiden restriktiokartoitusten kanssa. Toisin sanoen jokaiselle avoimelle joukolle V ja sen avoimelle osajoukolle U on kommutatiivinen kaavio : ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ $\varphi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}$ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U),$

Tämä johdonmukaisuusehto tarkoittaa, että jokainen avoimen joukon V lyhteen G osio s liittyy johonkin lyhden F osuuteen V , ja niiden rajoitukset joukon V avoimeen osajoukkoon U liittyvät morfismiin . ( Leikkauksen s V -kuvan rajoitus on sama kuin sen V -kuvan rajoitus .) $\varphi _{V}(s)$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{V}$

Yksinkertainen tosiasia, että lyhteiden morfismi on isomorfismi (eli sillä on käänteinen morfismi) juuri silloin, kun kaikki morfismit ovat isomorfismia (käännettäviä). Sama pätee monomorfismeihin eikä epimorfismiin . Tämä johtuu siitä, että lyhteiden morfismin ydin on aina nippu, kun taas kuva ja koksi ei välttämättä ole (mutta ne ovat aina erotettavissa olevia esiketjuja). Katso artikkeli " Vyöhykkeiden kohomologia ". $\varphi _{U}$

Lyhteen morfismit eri tilojen yli

Lisäksi pyörät ottavat arvot kiinteässä kategoriassa C , mutta ne voidaan määrittää eri tiloihin.

Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia, joihin on määritelty vastaavasti pyörät O X ja O Y. Parin ( X , O X ) morfismi muotoon ( Y , O Y ) saadaan seuraavilla tiedoilla:

Jatkuva kartoitus f : X → Y
C -morfismien perhe φ V : O Y ( V ) → O X ( f −1 ( V )) jokaiselle avaruuden Y avoimelle osajoukolle V , joka kommutoi rajoitusmappauksin. Eli jos V 1 ⊂ V 2 ovat Y :n kaksi avointa osajoukkoa , seuraavan kaavion on oltava kommutatiivinen (pystynuolet ovat osajoukon rajoitusmorfismeja):

Tämä määritelmä soveltuu myös eri tilojen esilangan morfismin määrittelemiseen.

Presheafiin liittyvä nippu

Usein on hyödyllistä esittää esipalkin muodostavat tiedot lyhteen avulla. Osoittautuu, että on olemassa erittäin kätevä menettely, jonka avulla voit tehdä tämän. Ota esirippu ja rakenna uusi nippu , jota kutsutaan presheafiin liittyväksi nipuksi . kutsutaan assosioituneeksi sheaf functoriksi ( englanniksi sheaving functor, sheafification functor, assosioitunut sheaf functor ). On olemassa luonnollinen presheaf-morfismi , jolla on universaalisuusominaisuus, että mille tahansa lyhteen ja presheaf-morfismille on olemassa ainutlaatuinen lyhteen morfismi siten, että . Itse asiassa on olemassa viereinen funktio pyörän luokan upotusfunktiolle esipyörien luokkaan, ja siellä on konjugaatioyksikkö . $F$ $aF$ $F$ $a$ $i:F\to aF$ $G$ $f:F\to G$ ${\tilde f}:aF\to G$ $f={\tilde f}\cdot i$ $a$ $i$

Palkkiosien bakteerit

Lyhdekerroksen avulla voidaan kuvata lyhteen ominaisuuksia "lähellä" pistettä x ∈ X . Tässä "lähellä" tarkoittaa, että katsomme pisteen pienintä mahdollista lähialuetta . Mikään naapurusto ei tietenkään ole itsessään tarpeeksi pieni, mutta voimme harkita niiden rajaa (tai tarkemmin sanottuna kolimittia ). ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}$

Pisteen x yläpuolella oleva kerros määritellään seuraavasti

{\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{{U\ni x}}{\mathcal {F}}(U),

pisteen x kaikkien lähialueiden suora raja . Toisin sanoen kerroksen elementti on lyhteen osa jossakin naapurustossa x , ja kaksi tällaista osuutta vastaavat yhtä lyhden elementtiä, jos niillä on sama rajoitus pisteen x jollakin alueella .

Luonnollinen morfismi F ( U ) → F x vie osan s F ( U ) : n naapurustossa ituonsa . Tämä yleistää tavanomaisen alkion määritelmän .

Historia

Vuonna 1936 P. S. Aleksandrov ehdotti peitehermon rakennetta , joka yhdistää mielivaltaisen avoimen peitteen yksinkertaiseen kompleksiin .
Vuonna 1938 Hassler Whitney antoi "modernin" määritelmän kohomologialle tiivistäen työstä, joka on tehty sen jälkeen, kun Alexander ja Kolmogorov määrittelivät cochains .
Vuonna 1945 Jean Leray julkaisi tulokset Saksan vankeudessa tehdystä työstä, joka johti säteiden ja spektrisekvenssien teoriaan .
Vuonna 1948 Cartanin seminaarissa lyhteiden teorian alku kirjoitettiin ensimmäisen kerran kokonaan ylös.
Vuonna 1950 Cartan-seminaarissa ehdotettiin "toista versiota" lyhteiden teoriasta - käytetään lyhteen etale-tilan määritelmää ja kerrosten rakennetta. Samaan aikaan Kiyoshi Oka esitti idean ihanteiden joukosta.
Vuonna 1954 Serre kirjoitti paperin Faisceaux algébriques cohérents (julkaistu 1955), joka merkitsi pyöreiden käytön alkua algebrallisessa geometriassa . Hänen ajatuksensa otettiin välittömästi käyttöön Hirzebruch , joka vuonna 1956 kirjoitti suuren kirjan topologisista menetelmistä algebrallisessa geometriassa.
Vuonna 1955 Grothendieck määrittelee Kansasissa pitämissään luennoissa Abelin kategorian ja presheafin ja mahdollistaa injektioresoluutioiden avulla lyhteiden kohomologian käyttämisen mielivaltaisessa topologisessa avaruudessa johdettavina funktionaaleina .
Vuonna 1957 Grothendieck kehittää pyöräteoriaa algebrallisen geometrian tarpeiden mukaisesti ja esittelee käsitteet: kaaviot ja yleiset pyörät sille, paikallinen kohomologia , johdetut kategoriat ja Grothendieck-topologiat .

Katso myös

Topoi teoria

Muistiinpanot

↑ Schwartz, 1964 , s. 181.
↑ Schwartz, 1964 , s. 180.

Kirjallisuus

Bredon, Glen E. (1997) Sheaf theory - voi. 170 (2. painos), Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1481706 , ISBN 978-0-387-94905-5 (suuntautunut tavanomaisiin topologisiin sovelluksiin) (englanniksi)
Godement, Roger (1973) Topologie algébrique et théorie des faisceaux - Paris: Hermann, MR 0345092 (fr.)
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Hirzebruch, Friedrich (1995) Topologiset menetelmät algebrallisessa geometriassa - Classics in Mathematics, Berliini, New York: Springer-Verlag, MR 1335917 , ISBN 978-3-540-58663-0 (päivitetty painos klassikosta, jossa on tarpeeksi teoriaa sen voima )
Kashiwara, Masaki & Schapira, Pierre (1990) Sheaves on monifolds - voi. 292, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Matemaattisten tieteiden perusperiaatteet], Berliini, New York: Springer-Verlag, MR 1074006 , ISBN 978-3-540-51861-7 (kehittyneet tekniikat, kuten häviävistä syklistä johdettu kategoria kohtuulliset tilat (englanniksi)
Mac Lane, Saunders & Moerdijk, Ieke (1994) Geometriassa ja logiikassa olevat pyörät - Universitex, Berliini, New York: Springer-Verlag, MR 1300636 , ISBN 978-0-387-97710-2 ( luokkateoriaa ja toposeja korostettu)
Serre, Jean-Pierre (1955), Faisceaux algébriques cohérents , Annals of Mathematics (The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2). — T. 61(2): 197–278, ISSN 0003-486X , doi : 10.2307/1969915 , < http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf >
Swan, R. G. (1964) The Theory of Sheaves - University of Chicago Press (tiiviit luentomuistiinpanot) (englanniksi)
Tennison, BR (1975) Sheaf theory - Cambridge University Press , MR 0404390 (pedagoginen hoito )
Schwartz L. Monimutkaiset analyyttiset jakoputket. Elliptiset yhtälöt osittaisilla derivaatoilla. - M . : Mir, 1964. - 212 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	J9U : 987007536441005171 LCCN : sh85121203