Yleinen toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Yleistetty funktio tai jakauma on matemaattinen käsite, joka yleistää klassisen funktion käsitteen . Tällaisen yleistyksen tarve syntyy monissa fysikaalisissa ja matemaattisissa ongelmissa.

Yleistyneen funktion käsite mahdollistaa sellaisen idealisoidun käsitteen ilmaisemisen matemaattisesti oikeassa muodossa kuin materiaalipisteen tiheys , pistevaraus, pistedipoli , yksinkertaisen tai kaksoiskerroksen (avaruus)tiheys, hetkellisen lähteen intensiteetti, jne.

Toisaalta yleisen funktion käsite heijastaa sitä tosiasiaa, että fyysisen suuren arvoa on todella mahdotonta mitata pisteessä, mutta vain sen keskiarvot voidaan mitata tietyn pisteen pienissä lähiöissä. Näin ollen yleistettyjen funktioiden tekniikka toimii kätevänä ja riittävänä laitteistona erilaisten fysikaalisten suureiden jakaumien kuvaamiseen. 1900-luvun alun matematiikassa ei ollut tarvittavia tiukkoja formalismeja toimiakseen fysiikassa löydetyn uuden suureiden riippuvuusluokan kanssa.

Tärkeä panos uuden matemaattisen lähestymistavan muodostumiseen fysiikan funktion käsitteeseen kuuluu Η:lle. M. Günther , joka ehdotti vastaavien joukkofunktioiden harkitsemista tiheystyypin pisteominaisuuksien sijaan jo vuonna 1916 [1] ja yritti miettiä uudelleen ajatusta matemaattisen fysiikan yhtälön ratkaisemisesta tältä pohjalta. Kuitenkin N.M. Günther ei yhdistänyt näitä ideoita esiin nousevaan funktionaaliseen analyysiin ja kvanttimekaniikkaan. S. L. Sobolev muotoili vuonna 1935 perustavanlaatuisia ajatuksia, jotka perustuvat äärellisten funktioiden avaruuksien käyttöön ja pohjimmiltaan uuteen yleistyneen derivaatan käsitteeseen [2] . Kymmenen vuotta myöhemmin erinomainen ranskalainen matemaatikko L. Schwartz päätyi samanlaisiin ajatuksiin omillaan hyödyntäen tuolloin kehitettyä lokaalikonveksien avaruuden teoriaa ja rakentaen yleistettyjen funktioiden Fourier-muunnoksen [3] . Sobolev ja Schwartz ovat jakaumien teorian - yleisten funktioiden - luojia. Dirac käytti empiirisesti yleistettyjä funktioita kvanttimekaniikan tutkimuksessaan [4] [5] .

Myöhemmin monet matemaatikot ja teoreettiset fyysikot kehittivät intensiivisesti yleistettyjen funktioiden teoriaa pääasiassa teoreettisen ja matemaattisen fysiikan sekä differentiaaliyhtälöteorian tarpeiden yhteydessä [6] .

Määritelmä

Muodollisesti yleisfunktio määritellään lineaariseksi jatkuvaksi funktionaaliseksi riittävän "hyvien funktioiden" vektoriavaruuden yli (ns. perusfunktiot ): [7] . $f$ $\left(f,\varphi \oikea)$ $\varphi$ $f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )$

Lineaarisuusehto: . $\left(f,\alpha _{{1}}\varphi _{{1}}+\alpha _{{2}}\varphi _{{2}}\right)=\alpha _{{1}} \left(f,\varphi _{{1}}\right)+\alpha _{{2}}\left(f,\varphi _{{2}}\right)$

Jatkuvuusehto: jos , niin . $\varphi _{{\nu }}\rightarrow 0$ $\left(f,\varphi _{{\nu }}\right)\rightarrow 0$

Tärkeä esimerkki perusavaruudesta on avaruus — äärellisten -funktioiden kokoelma, joka on varustettu sille luonnollisella topologialla: funktiojono konvergoivista, jos niiden tuet kuuluvat kiinteään palloon ja ne -konvergoivat siinä. $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$ $\mathbb {R} ^{n}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$

Duaaliavaruus k on yleistettyjen funktioiden avaruus . $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$

Yleistettyjen funktioiden sarjan konvergenssi from määritellään funktionaalisten funktioiden heikoksi konvergenssiksi from , eli merkitsee, että mille tahansa . $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{n}\to f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$

Jotta lineaarinen funktio on yleistetty funktio, eli on välttämätöntä ja riittävää, että mille tahansa rajoitetulle avoimelle joukolle on olemassa lukuja ja sellaisia, että $f$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $K$ $m$

|(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{{C^{m}}}

kaikille , joilla on kuljetuspalvelu . $\varphi$ $\Omega$

Jos epäyhtälön luku voidaan valita riippumattomasti , niin yleistetyllä funktiolla on äärellinen järjestys; vähiten sellaista kutsutaan järjestykseksi . $m$ $\Omega$ $f$ $m$ $f$

Yksinkertaisimpia esimerkkejä yleistetyistä funktioista ovat paikallisesti summattavien funktioiden generoimat funktiot

(f,\;\varphi )=\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n))}f\varphi .

Tämän kaavan mukaan paikallisesti summattavien funktioiden määrittelemiä yleistettyjä funktioita kutsutaan säännöllisiksi ; loput yleistetyt funktiot ovat singulaarisia . $f(x)$

Yleistetyillä funktioilla ei yleisesti ottaen ole arvoja yksittäisissä kohdissa. Siitä huolimatta voimme puhua yleisen funktion yhteensattumisesta paikallisesti summautuvan funktion kanssa avoimessa joukossa : yleistetty funktio kohdasta osuu yhteen funktion paikallisesti summattavan funktion kanssa , jos $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $\Omega$ $f_{0}(x)$

(f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )

kaikille , joilla on kuljetuspalvelu . Erityisesti osoitteessa , saamme määritelmän, että yleinen funktio katoaa sisällä . $\varphi$ $\Omega$ $f_{0}=0$ $f$ $\Omega$

Joukkoa pisteitä, jotka eivät ole naapurustossa, joiden yleinen funktio katoaa, kutsutaan yleisen funktion tueksi ja sitä merkitään . Jos on kompakti , niin yleistettyä funktiota kutsutaan äärelliseksi . $f$ $\operaattorin nimi {supp} f$ $\operaattorin nimi {supp} f$ $f$

Esimerkkejä

Mikä tahansa paikallisesti äärellinen mitta määrittää yleisen funktion $\mu$ $f_{\mu }$

(f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).

Erityisesti,

Esimerkki yksittäisestä yleistetystä funktiosta on Dirac -funktio $\mathbb {R} ^{n}$ $\delta$

(\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).

Se kuvaa pisteeseen keskittyneen massan 1 tiheyttä . -toiminnolla on järjestys 1.

x=0

\delta

Pintatoiminto . Antaa olla palasittain sileä pinta ja jatkuva funktio . Yleinen funktio määritellään tasa-arvolla $\delta$ $S$ $\lambda$ $S$ $f_{{S,\;\lambda }}$

(f_{{S,\;\lambda }},\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .

Lisäksi se on yksittäinen yleistetty funktio. Tämä yleistetty funktio kuvaa massojen tai varausten spatiaalista tiheyttä, joka on keskittynyt pintatiheyden omaavalle pinnalle (yksinkertaisen kerroksen tiheys).

f_{{S,\;\lambda }}

S

\lambda

Yleinen tasa-arvon määrittelemä funktio $\rho \in D'(\mathbb{R} )$

(\rho ,\;\varphi )=\operaattorinimi {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x))\ ,dx

(tasaisille äärellisille funktioille tälle integraalille voidaan antaa merkitys) funktio on yksikkö ja sen järjestys on 2, mutta avoimella joukolla se on säännöllinen ja sama kuin .

\rho

\mathbb{R} \backslash \{0\}

{\frac {1}{x}}

Toiminnot

Yleistettyjen funktioiden lineaariset operaatiot esitellään jatkona vastaaville perusfunktioiden operaatioille.

Muuttujien muutos

Olkoon ja muuttujien tasainen muutos. Yleinen funktio määritellään tasa-arvolla $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $A:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}$ $f\circ A$

(f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{{-1}}J(A)),

missä tarkoittaa jakobialaista . Tätä kaavaa voidaan soveltaa erityisesti lineaariseen kartoitukseen , sen avulla voit määrittää translaatiovauhtia, pallosymmetrisiä, keskussymmetrisiä, homogeenisia, jaksollisia, Lorentz-invariantteja jne. yleistettyjä funktioita. $J(A)$ $A$ $A$

Taideteos

Useimmiten yleistettyjen funktioiden ja tavallisten funktioiden tulo määritetään, kun taas yleistettyjen funktioiden tulos jää määrittelemättömäksi.

Anna ja . Tuotteen määrittelee tasa-arvo $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $a\in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$ $af$

(af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).

Esimerkiksi . _ Tavallisten paikallisesti summattavien funktioiden tulo vastaa tavanomaista funktioiden kertolaskua ja . $a\delta =a(0)\delta$ $x\rho=1$ $af$ $f(x)$ $kirves)$

Tämä tuotetoiminto ei kuitenkaan yleisesti ottaen salli laajennusta mihinkään yleistettyyn funktioon niin, että se on assosiatiivista ja kommutatiivista .

Todellakin, muuten saamme ristiriidan:

(x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,

(x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .

On kuitenkin mahdollista määrittää minkä tahansa yleistettyjen funktioiden kertolasku, jos poistetaan melko tiukka vaatimus, että tämän operaation rajoitus jatkuvien funktioiden joukkoon osuu yhteen tavallisen tuotteen kanssa. Erityisesti Yu. M. Shirokov rakensi ei-kommutatiivisen algebran yleistetyistä funktioista [8] [9] . Nykyään Länsi-Euroopassa ja Amerikassa erittäin suosittu (katso esimerkiksi luettelo siteeratuista teoksista julkaisussa [10] ) on teoria yleistetyistä Colombo-funktioista (jonka yksi ensisijaisista lähteistä on kirja [11] , tutustuminen käytännössä paljon useammin käytettyyn ns. "erityiseen" Colombo-algebraan, katso [12] kappale 8.5 ). Tämän teorian puitteissa yleiset funktiot ovat joidenkin osamääräalgebran ekvivalenssiluokkia. Colombo-algebran etuna on, että se on sekä assosiatiivinen että kommutatiivinen. Yleistettyjen Colombo-funktioiden kertolasku osuu yhteen tavanomaisen kertolaskun kanssa, kun se rajoittuu kaikkien sileiden (eli äärettömästi jatkuvasti differentioituvien) funktioiden joukkoon, kun taas epäjohdonmukaisuus jatkuvien (mutta ei tasaisten) funktioiden kertomisen kanssa ratkaistaan ottamalla käyttöön käsite assosiaatio (vähemmän tiukka kuin vastaavuuden käsite). Myös tarkasteltu kertolasku sopii täydellisesti klassisen analyysin standardioperaatioiden (esim. differentioinnin) kanssa.

Erottaminen

Anna . Yleistetyn funktion yleistetty (heikko) derivaatta määritellään yhtälöllä $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ ${\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$ $f$

\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i))},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_ {Olen oikea).

Koska operaatio on lineaarinen ja jatkuva välillä - , yhtälön oikean puolen määrittelemä funktio on yleistetty funktio. $\varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i))}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$

Ominaisuudet

Avaruus on valmis : jos yleistettyjen funktioiden sarja on sellainen, että minkä tahansa funktion numeerinen sekvenssi konvergoi, niin funktionaalinen $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{i}$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{i},\;\varphi )$

(f,\;\varphi )=\lim _{{i\to \infty }}(f_{i},\;\varphi )

kuuluu .

D'(\mathbb{R} ^{n})

Jokainen on heikko raja funktioille alkaen . Tämä ominaisuus on joskus otettu lähtökohtana yleisen funktion määrittelylle, yleistettyjen funktioiden tilan täydellisyydestä tämä johtaa vastaavaan määritelmään. $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$
Mikä tahansa yleistetty funktio kohteesta on äärettömästi differentioituva (yleistetyssä mielessä). $D'(\mathbb{R} ^{n})$
Eriyttäminen ei lisää yleistyneen funktion tukea.
Yleistetyille funktioille Leibnizin kaava tuotteen erottamiseksi pätee , jossa . $af$ $a\in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$
Mikä tahansa yleistetty funktio jatkuvasta funktiosta tai on jokin osittaisjohdannainen jatkuvasta funktiosta . $f$ $S'(\mathbb{R} ^{n})$ $E'(\mathbb{R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$
Kaikille yleistetyn järjestyksen funktioille , joiden tuki on pisteessä 0, on ainutlaatuinen esitys osittaisten derivaattojen lineaarisen yhdistelmän muodossa nollassa, jonka järjestys on pienempi tai yhtä suuri kuin . $f$ $N$ $(f,\;\varphi )$ $\varphi$ $N$

Esimerkkejä

Deltafunktio saadaan laskemalla vakion Fourier-integraali:

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{ipx}}\,dp=2\pi \delta (x).

Muistiinpanot

↑ Sobolev S.L., Smirnov V.I. Nikolai Maksimovich Gunther. Bibliografinen essee. - M .: GITTL , 1953. - S. 393-405 .
↑ Sobolev S.L. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les equations lineares hyperboliques normales // Mathematical collection, No. 1 (43)b 1936b 39-72
↑ Schwartz L. Theorie des Distributs // I, II, Pariisi, 1950-1951
↑ Lutzen J. Jakautumisteorian esihistoria. - New York jne.: Springer Verlag , 1982. - 232 s.
↑ Dirac, P. A. M. Kvanttimekaniikan periaatteet. - M .: Nauka, 1979. - S. 480.
↑ I.M. Gelfand, G.E. Shilov. Yleistetyt toiminnot ja toiminnot niitä varten (neopr.) .
↑ Shilov, G. E. Matemaattinen analyysi. Toinen erikoiskurssi. — M.: Nauka, 1965. — S. 16.
↑ Yu. M. Shirokov, Yksiulotteisten yleistettyjen funktioiden algebra. — Teoreettinen ja matemaattinen fysiikka . - 1979. - Osa 39. - Nro 3 - s. 291-301.
↑ G. K. Tolokonnikov, Yu. M. Shirokov, Yleistettyjen funktioiden assosiatiivinen algebra, suljettu differentiaatioon ja antiderivatiiviseen. — Teoreettinen ja matemaattinen fysiikka . - 1981. - Osa 46. - Nro 3. - s. 305-309., G. K. Tolokonnikov. Algebroista Yu. M. Shirokov. I - Teoreettinen ja matemaattinen fysiikka . - 1982. - Osa 51. - Nro 3 - s. 366-375.
↑ Colombeau JF:n epälineaariset yleistyneet funktiot: niiden alkuperä, kehitys ja viimeaikainen kehitys. São Paulo Mathematical Sciences -lehti. −2013. - V. 7. - Ei. 2. - s. 201-239.
↑ Colombeau JF Elementary Johdanto uusiin yleisiin funktioihin. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 s. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Colombeau JF Jakaumien kertolasku. Matematiikan luentomuistiinpanot. 1532. - Berliini-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1992. - 195 s. — ISBN 3-540-56288-5 .

Katso myös

String kiista