Toimintojen kantaja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 18. maaliskuuta 2018 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Funktion kantoaalto on sen joukon sulkeminen , jossa funktio on nollasta poikkeava.

Klassisen funktion tuki

Funktion tuki on sen osajoukon sulkeminen, johon reaaliarvoinen funktio ei katoa: $u\kaksoispiste X\ \mathbb{R}$ $X$ $u$

{\mathrm {supp}}\,u=\overline {\left\{x\mid u(x)\neq 0\right\}}).

Yleisin tapaus on, kun funktio on määritelty topologisessa avaruudessa ja on jatkuva. Tällaisessa tapauksessa kantoaalto määritellään pienimmäksi suljetuksi osajoukoksi , jonka ulkopuolella on nolla. $u$ $X$ $X$ $u$

Kompakti kantaja

Toiminnot, joissa on kompakti tuki , ovat ne, joiden tuki on kompakti osajoukko . $X$ $X$

Jos esimerkiksi on todellinen rivi , niin kaikki jatkuvat funktiot , jotka katoavat kohdassa, ovat funktioita, joilla on kompakti tuki. $X$ $|x|>C$

Funktiota kutsutaan äärelliseksi , jos sen tuki on kompakti .

Yleisfunktion kantaja

Voit myös ottaa käyttöön yleisen funktion tuen käsitteen , eli funktionaalin joukolle äärettömän sileitä äärellisiä funktioita .

Muodollinen määritelmä

Tarkastellaan yleistettyä funktiota ja kaikkia joukkoja siten, että jos äärellinen funktio katoaa joukosta , niin arvo on 0. $f$ $K$ $\varphi$ $K$ $(f,\;\varphi )$

Pienintä (sisällytyksen mukaan) tällaisista joukoista kutsutaan yleisen funktion kantoaaltoksi $f$ . (Muuten voimme sanoa, että se on kaikkien sellaisten risteyskohta ). ${\mathrm {supp}}\,f$ $K$

On syytä huomata, että yleisen funktion tuki on ei- tyhjä kompakti joukko.

Huomautus

Huomaa, että tämä kantajan määritelmä ei ole sama kuin klassinen. Todellakin, yleinen funktio määritellään äärettömän sileiden äärellisten funktioiden avaruuteen , mikä tarkoittaa, että klassisen tuen on oltava :n osajoukko , kun taas yleistetyn funktion tuen on osajoukko . $f$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $X$

Esimerkkejä

Harkitse esimerkkinä Dirac-funktiota . $\delta(x)$

Otetaan mikä tahansa äärellinen funktio , jonka tuki ei sisällä pistettä 0. Koska ( käytetään lineaarifunktiona funktioon ) on nolla sellaisille funktioille, voidaan sanoa, että tuki on vain piste . $\varphi$ $(\delta ,\;\varphi )$ $\delta$ $\varphi$ $\delta$ $\{0\}$

Singular Carrier

Erityisesti Fourier-analyysissä on mielenkiintoista tutkia yleisen funktion singulaarista tukea . Se on intuitiivinen tulkinta joukoksi pisteitä, joissa "yleistetty funktio ei pelkisty tavalliseen".

Muodollinen määritelmä

Antaa olla yleistetty funktio . Se voidaan esittää muodossa , jossa on säännöllinen yleistetty funktio , ja se on yksittäinen yleistetty funktio . (Tällainen esitys ei ole yleisesti ottaen ainutlaatuinen.) $f$ $f=u+v$ $u$ $v$

Tukien leikkauskohtaa kaikissa mahdollisissa laajennuksissa kutsutaan yleisen funktion singulaaritueksi . ${\mathrm {supp}}\,v$ $f=u+v$ $f$

Klassinen merkintä yksikön kantajalle . ${\mathrm {sing\,supp}}\,f$

Esimerkkejä

Siten Dirac-funktion yksikkötuki on piste 0.

Tässä nimenomaisessa tapauksessa yksikkötuki ja vain yleisen funktion tuki ovat samat. Tämä ei kuitenkaan ole yleinen omaisuus. Esimerkiksi yleistetylle funktiolle, joka toimii kaavan mukaan

(f,\;\varphi )=\int \limits _{0}^{1}\varphi \,dx+\varphi (0),

kantoaalto on segmentti ja yksikkökantoaalto on piste 0. $[0,\;1]$

Toinen esimerkki on Heaviside-askelfunktion Fourier-muunnos , jota voidaan pitää vakiona as , lukuun ottamatta kohtaa, jossa . Koska tämä on ilmeisesti yksittäinen piste, on tarkempaa sanoa, että muunnoksella on singulaarituki jakaumana . $1/x$ $x=0$ $\{0\}$

Jakaumissa, joissa on useita muuttujia, yksikkötuet mahdollistavat aaltorintamajoukkojen määrittämisen ja Huygensin periaatteen ymmärtämisen laskennassa . Singulaaristen tukien avulla voidaan ymmärtää myös jakautumisteorialle ominaisia ilmiöitä, kuten yrityksiä kertoa jakaumia (Dirac-deltafunktion neliöinti ei ole mahdollista, lähinnä siksi, että kerrottavien jakaumien yksikkötuet on erotettava).

Singulaarinen tuki löytää tärkeän sovelluksen pseudodifferentiaalioperaattoreiden (PDO) teoriassa , erityisesti SAN:n pseudolokaliteettilauseessa .

Mittaa kantaja

Koska mittaukset (mukaan lukien todennäköisyysmitat ) reaaliviivalla ovat yleistettyjen funktioiden (jakaumien) erikoistapauksia , voidaan puhua myös suuren tukemisesta samalla tavalla. $\mathbb {R}$

Katso myös

Kirjallisuus

Shubin MA Pseudodifferentiaalioperaattorit ja spektriteoria . - 2. painos - M .: "Dobrosvet", 2003.