Heaviside-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Heaviside-funktio ( yksikköaskelfunktio , yksikköhyppyfunktio , mukana yksikkö , "askel" ) on paloittain vakiofunktio, joka on yhtä suuri kuin nolla argumentin negatiivisille arvoille ja yksi positiivisille arvoille [1] . Nollassa tätä funktiota ei yleensä määritellä, mutta sitä yleensä laajennetaan tässä kohdassa tietyllä määrällä niin, että funktion alue sisältää kaikki reaaliakselin pisteet. Useimmiten ei ole väliä minkä arvon funktio saa nollassa, joten Heaviside-funktiolle voidaan käyttää erilaisia määritelmiä, jotka sopivat syystä tai toisesta , esimerkiksi:

\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}

Heaviside-funktio on helppo kirjoittaa käyttämällä Iversonin sulkumerkkiä :

\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,].

Heaviside-funktiota käytetään laajalti ohjausteorian ja signaalinkäsittelyteorian matemaattisissa laitteissa edustamaan signaaleja, jotka siirtyvät tilasta toiseen tietyllä hetkellä. Matemaattisessa tilastossa tätä funktiota käytetään esimerkiksi empiirisen jakaumafunktion kirjoittamiseen . Nimetty Oliver Heavisiden mukaan .

Heaviside-funktio on Dirac-delta-funktion antiderivaata , joka voidaan kirjoittaa myös seuraavasti (määräinen integraali on numero, indefinitiivinen integraali [2] kuvaa antiderivaavaa ): $\theta '=\delta$

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\!\delta (t)\,dt.

Diskreetti muoto

Diskreetti Heaviside-funktio voidaan määritellä kokonaislukuargumentin funktiona : $n$

\theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}

missä on kokonaisluku . $n$

Diskreetti yksikköpulssi on ensimmäinen ero diskreetistä Heaviside-funktiosta:

\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].

Analyyttiset lomakkeet

Kätevämpää käyttöä varten Heaviside-toiminto voidaan arvioida jatkuvalla toiminnolla:

\theta (x)\noin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {th}}\,kx={\frac {1}{1+e^ {{-2kx}}}},

jossa suurempi vastaa funktion jyrkempää nousua pisteessä . Kun Heaviside - funktion siirtymäalueen vaadittu leveys on annettu , arvo voidaan arvioida muodossa . $k$ $x=0$ $\Delta {x}$ $k$ $k\noin {\frac {10}{\Delta {x}}}$

Jos hyväksymme , yhtälö voidaan kirjoittaa rajoittavaan muotoon: $\theta(0)=1/2$

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}{\frac {1}{2}}(1+{\mathrm {th}}\,kx)=\lim _{{k\ \infty }}{\frac {1}{1+e^{{-2kx}}}}.

Jatkuvilla funktioilla on useita muita approksimaatioita:

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}} \,kx\oikea);

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,{\mathrm {erf} }\,kx\oikea).

Tallennus

Identiteettifunktion integraalimuotoa käytetään usein ja se on hyödyllinen:

\theta (x)=-\lim _{{\varepsilon \to 0^{+}}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{-\infty }}^{ \infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{{-ix\tau }}\,d\tau .

Nolla-arvo

Toiminnon arvo nollassa annetaan usein muodossa , tai . - yleisin vaihtoehto, koska symmetrisistä syistä ensimmäisen tyypin epäjatkuvuuspisteessä on kätevää laajentaa funktiota vastaavien yksipuolisten rajojen aritmeettisella keskiarvolla, lisäksi tässä tapauksessa Heaviside-funktio on liittyy merkkitoimintoon : $\theta(0)=0$ $\theta(0)=1/2$ $\theta(0)=1$ $\theta(0)=1/2$

\theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\operaattorinimi{sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2} },&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

joka, ottaen huomioon merkkifunktion määritelmän, voidaan ilmaista muodossa

\theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {|x|}{x}}\right)={\frac {x+|x|}{ 2x}}

Nollan arvo voidaan määrittää eksplisiittisesti funktion syötteessä:

\theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

Fourier-muunnos

Heaviside-funktion derivaatta on yhtä suuri kuin delta-funktio (eli Heaviside-funktio on delta-funktion antiderivaata):

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\delta (t)\,dt

Siksi soveltamalla Fourier-muunnosta antiderivaatiiviseen deltafunktioon saamme sen kuvan muodossa: $\theta (t)$

{\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),

tuo on:

\theta (t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1 }{2}}\delta (\omega )\right)e^{{i\omega t}}\,d\omega

(toinen termi - vastaa nollataajuutta laajennuksessa - kuvaa jatkuvaa Heaviside-funktion siirtymää ylöspäin; ilman sitä saataisiin pariton funktio ).

Historia

Tätä toimintoa käytettiin jo ennen sen kätevän merkinnän ilmestymistä. Esimerkiksi Guglielmo Libri julkaisi 1830-luvulla useita artikkeleita [3] [4] funktiosta . Hänen mielestään on yhtä suuri kuin jos ; if (katso Nolla nollan potenssiin ); tai jos . Siten Libri päättelee, että on yhtä suuri kuin 1, jos , ja 0 muuten. Iversonin merkintää käyttämällä tämä voidaan kirjoittaa muodossa $0^{0^{x))$ $0^{x}$ $0$ $x>0$ $yksi$ $x=0$ $\infin$ $x<0$ $0^{0^{x))$ $x>0$

0^{0^{x}}=[\,x>0\,].

Tällaista merkintää ei kuitenkaan tuolloin ollut, ja Libri piti saavutuksena, että tämä funktio voitiin ilmaista tavallisilla matemaattisilla operaatioilla. Hän käytti tätä funktiota ilmaisemaan absoluuttista arvoa (nimitystä ei silloin ollut, Weierstrass otti sen käyttöön myöhemmin ) ja indikaattorina sellaisille olosuhteille kuin , ja jopa " on jakaja " [5] . $|x|$ $a\leq x\leq b$ $x$ $y$

Katso myös

Muistiinpanot

↑
Automaattisen ohjauksen teoriassa ja Laplacen operaattorien teoriassa sitä kutsutaan usein nimellä . Englanninkielisessä kirjallisuudessa tai on usein merkitty . Katso esim. $\scriptstyle {\eta (x)}$ $\scriptstyle {H(x)}$ $\scriptstyle {1(x)}$
- Volkov I.K., Kanatnikov A.N. Integraalimuunnokset ja operaatiolaskenta: Proc. yliopistoille / Toim. BC Zarubina, A. P. Krishchenko. - 2. painos - M . : Kustantaja MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 228 s. — (Matematiikka teknillisessä yliopistossa; numero XI). — ISBN 5-7038-1273-9 . ;
- Klassisen ja modernin automaattisen ohjauksen teorian menetelmät : Oppikirja 5 osana; 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä Vol. 1: Matemaattiset mallit, dynaamiset ominaisuudet ja automaattisten ohjausjärjestelmien analyysi / Ed. K. A. Pupkova, N. D. Egupova. - M .: Kustantaja MSTU im. N. E. Bauman, 2004. - 656 s. - ISBN 5-7038-2189-4 (osa 1).
↑ Zorich V.A. Matemaattinen analyysi. Osa I .. - M.: MTSNMO, 2012. - S. 358.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . Mémoire sur les fonctions lopettaa, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ Donald E. Knuth, Kaksi huomautusta notaatiosta, Amer. Matematiikka. Kuukausi 99 nro. 5 (toukokuu 1992), 403-422 ( arXiv: math/9205211 [math.HO] Arkistoitu 20. marraskuuta 2018 Wayback Machinessa ).