Funktiopariteetti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. lokakuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Parittomat ja parilliset kutsutaan funktioiksi , joilla on symmetriaa argumentin etumerkin muutoksen suhteen. Tämä käsite on tärkeä monilla matemaattisen analyysin aloilla , kuten potenssisarjojen teoriassa ja Fourier-sarjassa . Nimi liittyy potenssifunktioiden ominaisuuksiin: funktio on parillinen, kun se on parillinen, ja pariton, kun se on pariton. $f(x)=x^{n}$ $n$ $n$

Pariton funktio on funktio, joka kääntää arvonsa, kun riippumattoman muuttujan etumerkki muuttuu (sen kuvaaja on symmetrinen koordinaattien keskipisteen suhteen ).
Parillinen funktio on funktio, joka ei muuta arvoaan riippumattoman muuttujan etumerkin muuttuessa (sen kuvaaja on symmetrinen y- akselin suhteen).
Ei parillinen eikä pariton funktio (tai yleinen funktio ). Tämä luokka sisältää toimintoja, jotka eivät kuulu kahteen edelliseen luokkaan.

Tiukka määritelmä

Määritelmät otetaan käyttöön mille tahansa määrittelyalueelle , joka on symmetrinen nollan suhteen , esimerkiksi segmentille tai välille . $X \osajoukko \mathbb{R}$

Funktiota kutsutaan vaikka yhtälö $f:X \to \mathbb{R}$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Funktiota kutsutaan parittomaksi, jos yhtälö

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Funktioita, jotka eivät kuulu mihinkään yllä oleviin luokkiin, ei kutsuta parillisiksi eikä parittomiksi (tai yleisiksi funktioiksi).

Funktiot, jotka ottavat nolla-arvon koko määrittelyalueellaan ja tämä määritelmäalue on symmetrinen nollan suhteen, ovat sekä parillisia että parittomia; esimerkiksi funktiot f ( x ) = 0 ja f ( x ) = 0/ x . Mikä tahansa funktio, joka on sekä parillinen että pariton, on identtisesti yhtä suuri kuin nolla koko määrittelyalueellaan.

Ominaisuudet

Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen . $O$
Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen . $Oy$
Satunnainen funktio voidaan yksiselitteisesti esittää parittomien ja parillisten funktioiden summana: $f:[-X,X] \osajoukko \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

f(x) = g(x) + h(x),

missä

g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.

Funktioita g ( x ) ja h ( x ) kutsutaan vastaavasti funktion f ( x ) parittomaksi osaksi ja parilliseksi osaksi .

Parillisten funktioiden summa , erotus ja yleensä mikä tahansa lineaarinen yhdistelmä on parillinen, ja parittomat funktiot ovat parittomia. Siksi parilliset funktiot muodostavat lineaarisen vektoriavaruuden reaalilukukentän yli, sama pätee parittomiin funktioihin.
Kahden saman pariteetin funktion tulo on parillinen.
Kahden eri pariteetin funktion tulo on pariton.
Kahden parittoman funktion koostumus on pariton.
Parillisen ja parittoman funktion koostumus on parillinen.
Minkä tahansa parillisen luvun funktion koostumus on parillinen (mutta ei päinvastoin).
Parillisen funktion derivaatta on pariton ja parittoman parillinen.
Parillisten funktioiden määrätyille integraaleille tasa-arvo

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{-A}^{0}f(x)\;dx.

Vastaavasti parittomien funktioiden määrätyille integraaleille tasa-arvo

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=0.

Tämä tarkoittaa suhteita parillisten funktioiden vääriin integraaleihin :

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\ int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx

ja parittomista funktioista:

\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0

(vp tarkoittaa Cauchyn virheellisen integraalin pääarvoa).

Parillisen funktion Maclaurin-sarjan laajennus sisältää vain termejä, joilla on parillinen potenssi, ja pariton funktio vain parittomilla.
Jaksottaisen parillisen funktion Fourier-sarjan laajennus sisältää vain termejä, joissa on kosineja, ja jaksollinen pariton funktio sisältää vain termejä, joissa on siniä.
Jopa funktiot muodostavat kommutatiivisen algebran reaalilukukentän yli. Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa parittomien funktioiden kohdalla, koska niiden joukkoa ei suljeta kertolaskussa (kahden parittoman funktion tulo on parillinen funktio).

Esimerkkejä

Alla kaikkialla $x\in \mathbb {R} .$

Parittomat funktiot

Eksponenttio paritolla kokonaislukueksponentilla: missä on mielivaltainen kokonaisluku . $f(x)=x^{2k+1},$ $k\in \mathbb{Z}$
Signum : $f(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases))$
Kuutiojuuri ja yleensä minkä tahansa positiivisen parittoman asteen juuri $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $y={\sqrt[{2k+1}]{x)),\quad k\in \mathbb {N} .$
Trigonometriset funktiot : sinitangentin kotangentti kosekantti $f(x)=\sin x,$ $f(x)=\operaattorinimi {tg} x,$ $f(x)=\operaattorinimi {ctg} x,$ $f(x)=\operaattorinimi {cosec} x.$
Käänteiset trigonometriset funktiot : arksininen arktangentti arkosekantti $f(x)=\arcsin x,$ $f(x)=\operaattorinimi {arctg} x,$ $f(x)=\operaattorinimi {arccosec} x.$
Hyperboliset funktiot : hyperbolinen sini, hyperbolinen tangentti, hyperbolinen kotangentti ja hyperbolinen kosekantti.
Käänteiset hyperboliset funktiot : areasini, pintatangentti, pintakotangentti, pinta-asekantti.
Erikois- ja yleistoiminnot :
- Gudermann-funktio ja käänteinen Gudermann-funktio $f(x)=\operaattorinimi {gd} x=\operaattorinimi {arctg} (\operaattorinimi {sh} x)$ $f(x)=\operaattorinimi {arcgd} x=\operaattorinimi {arch} (\sec x).$
- integraalinen sini $f(x)=\operaattorinimi {Si} x.$
- Error Function ja Inverse Error Function $f(x)=\operaattorinimi {erf} x$ $f(x)=\operaattorinimi {erf} ^{-1}x.$
- Dawsonin funktio .
- Legendren Chi-funktio .
- Mathieun funktiot se i ( x ) .
- Rademacher-toiminto .

Parilliset funktiot

Eksponenttio parillisen kokonaisluvun eksponentin kanssa: missä on mielivaltainen kokonaisluku . $f(x)=x^{2k},$ $k\in \mathbb{Z}$
Absoluuttinen arvo (moduuli) : $f(x)=|x|.$
Jatkuva toiminto : $f(x)=a.$
Trigonometriset funktiot: kosini -sekantti $f(x)=\cos x,$ $f(x)=\sec x$
Hyperboliset funktiot: hyperbolinen kosini, hyperbolinen sekantti.
Erikois- ja yleistoiminnot:
- Dirac delta -toiminto $f(x)=\delta(x).$
- Gaussin funktio b =0 :lle . $f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\oikea)$
- Dirichlet-toiminto .
- Cardinal sine sinc x (sekä normalisoitu että normalisoimaton).
- Mathieu - funktiot ce i ( x ) .

Kirjallisuus

I. M. Gelfand , E. G. Glagoleva , E. E. Shnol . Funktiot ja kaaviot. Perustemppuja . - M . : Nauka, 1968. - (Fysiikan ja matematiikan koulun kirjasto, numero 2). (Englanninkielinen käännös: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 ja 1998)